理学目标规划

目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。目标规划是60年代初由美国科学家A.charnes和W.cooper在《管理模型和线性规划的工业应用》中一书提出的。

⑵线性规划立足于求满足所有约束条件的最优可行解，而目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解，得出决策问题的满意方案。

⑴线性规划只能处理一个目标的问题，而目标规划则能够统筹兼顾多个目标的关系，更能适用于经营管理中的多目标决策问题。目标规划与线性规划的比较:

⑶目标规划找到的最优解是指尽可能达到或接近一个或多个已给定目标值的满意解。

⑷线性规划对约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可以根据实际需要灵活地给予轻重缓急的考虑。第一节目标规划问题及其数学模型一、目标规划问题的提出【例4-1】产品生产问题。某企业计划生产I、II两种型号的产品，具体相关数据如下表所示：108利润1021设备工时1112原材料拥有量ⅡⅠ

产品消耗资源

解：若用xi（i＝1,2）分别表示I、II两种产品的生产量，则问题可以归结为如下的线性规划问题数学模型：

这是一个单目标的线性规划模型，可求出最优解为x1＝4件，x2＝3件，Maxz=62元。企业生产中可能有下列情况出现：⑴根据市场对该产品销售预测得知，产品I的利润有下降的趋势，故应考虑产品I的产量不应大于产品II的产量。⑵尽可能不超过计划使用原材料，因为超过计划后，需要高价采购原材料，导致成本增加。⑶应尽量充分利用原有的设备工时，而不希望加班生产。⑷应尽可能达到或超过原计划利润指标56。此时，企业决策者的考虑用数学表达式表述为：二、目标规划的一般概念1．目标值和偏差变量

目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。实现值或决策值：是指当决策变量xj

选定以后，目标函数的对应值。偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异,记为d。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为d＋。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为d－。

在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有d＋×d－

＝0,并规定d＋≥0,d－≥0

当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0，d－＝0

当未完成规定的指标则表示：d＋＝0，d－≥0

当恰好完成指标时则表示：d＋＝0，d－＝0∴d＋×d－

＝0成立。

引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，即目标约束。目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。2、目标约束和绝对约束

绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。3、优先因子与权系数

优先因子Pk

是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK

，k=1.2…K。权系数ωk

区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。4、目标规划的目标函数

目标函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为：

一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：⑴要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则：⑶要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则：⑵要求超过目标值，即对目标的正偏差要求不限，而负偏差越小越好，这时的目标函数为：对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。

对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。

5、满意解（具有层次意义的解）

目标规划问题的求解是在不破坏上一级目标的前提下，实现下一级目标的最优化。因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称为它为满意解。三、目标规划的一般模型

如例4-1，产品I的产量不应大于产品II的产量，其目标优先级为p1，则第一优先级的目标函数为：

第二个目标要求是应尽量充分利用原有的设备工时，而不希望加班生产，其目标优先级为p2，则其目标函数应为：

第三个目标要求是企业希望达到并超过计划利润56，其目标优先级为p3，则其相应的目标函数为：则例1对应的目标规划数学模型为：

对于任何一个多目标决策问题，不妨设问题有n个决策变量、m个绝对约束、L（≥1）个目标约束、K（K≤L）个优先等级。可以给出多目标决策问题的一般目标规划模型：四、建模步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；3、给各目标赋予相应的优先因子Pk（k=1.2…K）。2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由⑴恰好达到目标值，取。⑵允许超过目标值，取。⑶不允许超过目标值，取。

优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数。第二节目标规划的图解法

图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。

图解法解题步骤如下：

1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；

2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；3、求满足最高优先等级目标的解；

4、转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；

5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；

6、确定最优解和满意解。【例】用图解法求解例4-1目标规划问题【例】用图解法求解目标规划问题⑴⑵⑶0x2

x1⑷⑸⑹ABCEKMLJ012345678123456⑴⑵⑶Ax2

x1BCB(0.6250,4.6875)、C(0,5.2083)，B、C线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。第三节目标规划的单纯形法σmn+2mσm2σm1αK

PK

σ2n+2mσ22σ21α2P2

σ1n+2mσ12σ11α1P1

σkjemn+2mem2em1bomxjm

cjme2n+2me22e21bo2xj2cj2e1n+2me12e11bo1xj1cj1xn+2m

x2

x1bXBCBcn+2mc2c1Cj

一、目标规划单纯形法的一般形式目标规划求解时，其单纯形表的一般结构如下表：2、建立初始单纯形表。一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部。3、检验是否为满意解。判别准则如下：⑴首先检查σk

(k=1.2…K)是否全部大于零？如果全部大于零，则表示目标均已全部达到，获得最优解，停止计算转到第7步；否则转入⑵。二、单纯形法的计算步骤⑵如果某一个σ

k

<0。说明第k个优先等级的目标尚未达到,必须检查Pk这一的检验数σkj(j=1.2…n+2m).若Pk这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级）没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转到第3步；若Pk这一行全部负检验数的同列上面（较高优先等级）都有正检验数，说明目标虽没达到，但已不能改进，故得满意解，转到第7步。1、将目标规划问题的数学模型化为标准形。4、确定进基变量。在Pk行，从那些上面没有正检验数的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就是进基变量。若Pk行中有几个相同的绝对值最大者，则依次比较它们各列下部的检验数，取其绝对值最大的负检验数的所在列的xs为进基变量。假如仍无法确定，则选最左边的变量（变量下标小者）为进基变量。5、确定出基变量其方法同线性规划，即依据最小比值法则：故确定xr为出基变量，ers为主元素。若有几个相同的行可供选择时，选最上面那一行所对应得变量为xr

。6、旋转变换（变量迭代）以主元素为中心进行变换，得到新的单纯形表，获得一组新解，返回到第3步。7、对求得的解进行分析若计算结果满意，停止运算；若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数，或者改变目标值，重新进行第2步。【例4-2】用单纯形法求解下列目标规划问题

解：⑴本例中由于各目标约束中均存在负偏差变量，取为初始基变量，计算检验数，并将有关数据填入单纯形表中，如下表：-1110856-112110-11-110011211000000-8-1-2-10121表中第一列检验数计算方法为：即x2进基变量11—55.6即离基变量-115-536-1/21/211/250-1/21/2-113/2501/2-1/213/26000000表中第一列检验数计算方法为：即x1进基变量1-3即离基变量151-51410/3102即为离基变量1111因表中全部检验数均大于0，所以得到满意解：又因表中列的检验数等于0，则该问题存在多重解。则为进基变量-1/31/3-5-5/3121/6-1/6-4/34/31401/2-1/2-33-11201/2-1/2-2213000000因表中全部检验数均大于0，所以得到另一个满意解：1-1/31/3-2/32/3110/3-1/31/31/3-1/3110/301-1-66-2240-1-11-111000000111第五节WinQSB软件应用一、目标规划求解

目标规划求解的运算程序是GoalProgramming(GP)，该程序可以求解线性目标规划、整数目标规划和多目标规划问题。【例4-5】用WinQSB软件求解下述目标规划问题。⑴启动。开始→程序→WinQSB→GoalProgramming(GP)。⑵建立新的数据文件或打开已有的数据文件。在上图中点File出现下拉菜单New