31三角函数的定义（精讲）（基础版）

3.1三角函数的定义（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一扇形的弧长与面积【例11】（2021·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．【答案】．【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．故答案为：．【例12】（2022·全国·贵阳一中二模）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________.【答案】【解析】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，所以有，故答案为：【例13】（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【答案】120【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，故答案为：1202．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形所在圆的半径为，由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，又由弧长公式，可得，即，当时，可得；当时，可得，故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（

）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【解析】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.故选：D．4．（2022·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（

）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米【答案】B【解析】由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离．故选：B．考点二三角函数的定义【例21】（2022·江西·芦溪中学）已知点是角终边上的一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因点是角终边上的一点，则，所以.故选：D【例22】（2022·安徽）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由角的终边经过点，即，所以.故选：D.【例23】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，故选：A.【例24】（2022·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】角的终边过点，，.故选：B.【一隅三反】1．（2022·四川成都）如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据三角函数定义，.故选：A2．（2022·安徽）已知角的终边上有一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，.故选：B3．（2022·河南新乡·二模（理））已知点A是的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，所以.故选：C4．（2022·重庆巴蜀中学）已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为角的终边过点，且，故可得，解得，则.故选：B.5．（2022·河南洛阳）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由正切函数的定义得．故选：C考点三象限的判断【例31】（2022·重庆·高三开学考试）若，则下列三角函数值为正值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以C选项正确.当时，，所以ABD选项错误.故选：C【例32】（2022·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故选：C【例33】（2022·浙江·高三专题练习）已知是第三象限角，满足，则是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】是第三象限角，，，则，，即为第二或第四象限角，又，为第四象限角．故选：D．【一隅三反】1．（2022·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；对于C：第二或第三象限角，故C错误；对于D：第三或第四象限角，故D正确.故选：D2．（2022·甘肃酒泉·高三期中）若角满足，，则角所在的象限是（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角．故选：C3．（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.4．（2022·昆明市）若，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因为，又，所以，所以是第二象限角.故选：B5．（2021·湖南高三月考）已知，，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】由得，则，又，所以是第二象限角.故选：B.考点四三角函数线【例41】（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】画出单位圆以及，，，∵，且，从图中可知的取值范围是故选：D.【例42】（2022·全国·高三专题练习）若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是（

）A．sinα＜tanα＜cosα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜cosα＜tanα D．tanα＜sinα＜cosα【答案】C【解析】如图所示作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α＜－，所以OM，MP均为负值，且，AT为正值，，故有sinα＜cosα＜tanα.故选：C【例43】（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先证明：当0＜x＜时，如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函数在上单调递增，所以又由函数在上单调递减，则所以所以，即故选：C．【一隅三反】1．（2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））设，使且同时成立的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦曲线得：时，由余弦曲线得：时，