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第二章实数1认识无理数(第一课时)数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习

分数

数学八年级上册BS版02典例讲练

(1)以下各正方形的边长中,不是有理数的是(

C

)A.

面积为49的正方形C.

面积为8的正方形D.

面积为1.21的正方形C【思路导航】根据正方形的面积,判断正方形的边长是不是

有理数,就是看面积能不能写成一个整数或一个分数的平方

的形式.

(2)已知一个长方体的长、宽、高分别为

x

x

,3,体积为

60.根据长方体的体积公式,写出关于

x

的方程,并说明

x

是否

是有理数.【思路导航】先根据长方体的体积公式得到关于

x

的方程,再判断

x

是否是有理数即可.解:由题意,得3

x2=60.所以

x2=20.因为42<

x2<52,所以

x

不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以

x

也不是分数.所以

x

不是有理数.【点拨】(1)由题意得到某个数的平方是一个正数,要说明该

数不是有理数,需要说明该数既不是整数,也不是分数.解这类

问题的关键:若

x2=

a

,则当

a

不能写成一个整数或一个分数的

平方的形式时,

x

不是有理数.(2)整数的平方仍是整数,分数的平方仍是分数.

2

c

n

如图,在边长为1的小正方形拼成的网格图中,连接这些小正方

形的若干顶点,得到5条线段:

AB

AC

AD

AE

AF

.

请你

找出其中长度是有理数的线段和长度不是有理数的线段.【思路导航】先求出在网格线上的各条线段的长度,利用勾股

定理求出不在网格线上的各条线段长度的平方,再分出长度是

有理数和不是有理数的线段即可.解:由图可知,

AB

=4,

BC

=1,

BD

=3.在Rt△

ABC

中,由勾股定理,得

AC2=42+12=17.同理,得

AD2=42+32=25=52,

AE2=22+22=8,

AF2=22+32

=13.所以长度是有理数的线段有

AB

AD

;长度不是有理数的线段

AC

AE

AF

.

【点拨】在边长为1个单位长度的小正方形拼成的网格中,计算

两个端点都在小正方形的顶点上的线段的长度时,在网格线上

的线段(如

AB

)的长度是有理数;不在网格线上的线段(如

AC

AD

)应放在由网格线构成的直角三角形中,再利用勾股

定理求解,线段的长度可能是有理数,也可能不是有理数.

如图1,我们可以在边长为1的正方形网格中以这样的方式画出

面积为5的正方形.(1)请问:它的边长是有理数吗?(2)你能用类似的方法在图2中画出面积为8的正方形吗?图1图2解:(1)设大正方形的边长为

a

.由勾股定理,得

a2=22+12=5.因为22<

a2<32,所以

a

不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以

a

也不是分数.所以

a

不是有理数.故它的边长不是有理数.图1(2)可构造两条直角边的长分别为2,2的直角三角形,则以直角三角形的斜边为边的正方形的面积为22+22=8,如图

所示.

(1)试说明:

DE

DF

DE

DF

;(2)连接

EF

,若

AC

=10,求

EF2的值;(3)在(2)的条件下,线段

EF

的长是有理数吗?【思路导航】(1)根据已知条件证明△

BDG

≌△

ADC

和∠

EDG

+∠

FDA

=90°即可得到结论;(2)利用勾股定理可求得

EF2的值;(3)由

EF2的值便可判断线段

EF

的长是否是有理数.

(2)因为

AC

=10,所以

DE

DF

=5.在Rt△

DEF

中,由勾股定理,得

EF2=

DE2+

DF2=52+52=50.(3)因为72<50<82,所以

EF

的长不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以

EF

的长不是分数.所以线段

EF

的长不是有理数.【点拨】整数的平方仍然是整数,分数的平方仍然是分数.若一

个数的平方是整数,且又在两个连续自然数的平方之间,则这

个数不是有理数.

如图,在Rt△

ABC

中,∠

ABC

=90°,

AB

=8,

BC

=4,

DE

垂直平分斜边

AC

AB

于点

D

,垂足为

E

,连接

CD

.

线

BD

AC

AD

CD

的长中,哪些是有理数,哪些不是

有理数?解:在Rt△

ABC

中,∠

ABC

=90°,

AB

=8,

BC

=4,所以

AC2=

AB2+

BC2=82+42=80.因为82<80<92,所以

AC

的长既不是整数,也不是分数,即

AC

的长不是有理数.因为

DE

垂直平分斜边

AC

,所以

AD

CD

.

AD

x

,则

CD

x

BD

AB

AD

=8-

x

.在Rt△

BCD

中,由勾股定理,得

CD2=

BD2+

BC2,即

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