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第二章实数1认识无理数(第一课时)数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习
分数
数学八年级上册BS版02典例讲练
(1)以下各正方形的边长中,不是有理数的是(
C
)A.
面积为49的正方形C.
面积为8的正方形D.
面积为1.21的正方形C【思路导航】根据正方形的面积,判断正方形的边长是不是
有理数,就是看面积能不能写成一个整数或一个分数的平方
的形式.
(2)已知一个长方体的长、宽、高分别为
x
,
x
,3,体积为
60.根据长方体的体积公式,写出关于
x
的方程,并说明
x
是否
是有理数.【思路导航】先根据长方体的体积公式得到关于
x
的方程,再判断
x
是否是有理数即可.解:由题意,得3
x2=60.所以
x2=20.因为42<
x2<52,所以
x
不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以
x
也不是分数.所以
x
不是有理数.【点拨】(1)由题意得到某个数的平方是一个正数,要说明该
数不是有理数,需要说明该数既不是整数,也不是分数.解这类
问题的关键:若
x2=
a
,则当
a
不能写成一个整数或一个分数的
平方的形式时,
x
不是有理数.(2)整数的平方仍是整数,分数的平方仍是分数.
2
c
,
n
如图,在边长为1的小正方形拼成的网格图中,连接这些小正方
形的若干顶点,得到5条线段:
AB
,
AC
,
AD
,
AE
,
AF
.
请你
找出其中长度是有理数的线段和长度不是有理数的线段.【思路导航】先求出在网格线上的各条线段的长度,利用勾股
定理求出不在网格线上的各条线段长度的平方,再分出长度是
有理数和不是有理数的线段即可.解:由图可知,
AB
=4,
BC
=1,
BD
=3.在Rt△
ABC
中,由勾股定理,得
AC2=42+12=17.同理,得
AD2=42+32=25=52,
AE2=22+22=8,
AF2=22+32
=13.所以长度是有理数的线段有
AB
,
AD
;长度不是有理数的线段
有
AC
,
AE
,
AF
.
【点拨】在边长为1个单位长度的小正方形拼成的网格中,计算
两个端点都在小正方形的顶点上的线段的长度时,在网格线上
的线段(如
AB
)的长度是有理数;不在网格线上的线段(如
AC
,
AD
)应放在由网格线构成的直角三角形中,再利用勾股
定理求解,线段的长度可能是有理数,也可能不是有理数.
如图1,我们可以在边长为1的正方形网格中以这样的方式画出
面积为5的正方形.(1)请问:它的边长是有理数吗?(2)你能用类似的方法在图2中画出面积为8的正方形吗?图1图2解:(1)设大正方形的边长为
a
.由勾股定理,得
a2=22+12=5.因为22<
a2<32,所以
a
不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以
a
也不是分数.所以
a
不是有理数.故它的边长不是有理数.图1(2)可构造两条直角边的长分别为2,2的直角三角形,则以直角三角形的斜边为边的正方形的面积为22+22=8,如图
所示.
(1)试说明:
DE
=
DF
,
DE
⊥
DF
;(2)连接
EF
,若
AC
=10,求
EF2的值;(3)在(2)的条件下,线段
EF
的长是有理数吗?【思路导航】(1)根据已知条件证明△
BDG
≌△
ADC
和∠
EDG
+∠
FDA
=90°即可得到结论;(2)利用勾股定理可求得
EF2的值;(3)由
EF2的值便可判断线段
EF
的长是否是有理数.
(2)因为
AC
=10,所以
DE
=
DF
=5.在Rt△
DEF
中,由勾股定理,得
EF2=
DE2+
DF2=52+52=50.(3)因为72<50<82,所以
EF
的长不是整数.又因为分数的平方仍是分数,所以
EF
的长不是分数.所以线段
EF
的长不是有理数.【点拨】整数的平方仍然是整数,分数的平方仍然是分数.若一
个数的平方是整数,且又在两个连续自然数的平方之间,则这
个数不是有理数.
如图,在Rt△
ABC
中,∠
ABC
=90°,
AB
=8,
BC
=4,
DE
垂直平分斜边
AC
交
AB
于点
D
,垂足为
E
,连接
CD
.
线
段
BD
,
AC
,
AD
,
CD
的长中,哪些是有理数,哪些不是
有理数?解:在Rt△
ABC
中,∠
ABC
=90°,
AB
=8,
BC
=4,所以
AC2=
AB2+
BC2=82+42=80.因为82<80<92,所以
AC
的长既不是整数,也不是分数,即
AC
的长不是有理数.因为
DE
垂直平分斜边
AC
,所以
AD
=
CD
.
设
AD
=
x
,则
CD
=
x
,
BD
=
AB
-
AD
=8-
x
.在Rt△
BCD
中,由勾股定理,得
CD2=
BD2+
BC2,即
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