2021-2022学年山东省威海市乳山大孤山镇初级中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年山东省威海市乳山大孤山镇初级中学高

三数学理模拟试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.直线1：2x+by+3=0过椭圆C：10(+/=10的一个焦点，则b的值是()

A.-1B.2C.-1或1D.-2或2

参考答案：

C

【考点】直线与圆锥曲线的关系.

［分析］根据期卬片10求出焦点坐标，代入直线方程2x+by+3=0即可求出b的值.

【解答】解：••T0x2+y2=10

x210=1,c=Jl。-1=3,

焦点在y轴上

焦点(0.±3)

•直线1：2x+by+3=0过椭圆C：lOxOy'lO的一个焦点

把点的坐标代入直线方程可得：b=±l,

故选：C

2.已知tan0=2,则sin20+sinecos0-2cos?6=()

4534

A.-3B.4C.-4D.5

参考答案：

D

【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用.

【专题】计算题.

【分析】利用sin26+cos29=1,令原式除以sin26+cos26,从而把原式转化成关于tan9

的式子，把tan0=2代入即可.

【解答】解：sin20+sin6cos6-2cos~9

sin28+sin6cos9-2cos29

=sin20+cos29

tan28+tan8-2

=tan28+1

4+2-24

=4+1=5.

故选D.

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用.本题利用了sinZ9+cos20=l巧妙的

完成弦切互化.

3.定义在R上的函数“X）满足：/（x-l）=/a+1）=/（l-x）成立，且」（x）St-LQ]

上单调递增，设。=/（5力=/（&）（=/（2）,贝ija、b、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bc.b>c>a

D.c>b>a

参考答案：

A

4.已知正项等比数列（4｝中，用为其前项和月，且的4=L5=7则品=

（）

1531

A.2B.4C.

3317

T0.~2

参考答案：

B

略

5.在直角坐标系中，直线x+岛-3二。的倾斜角是（）

nn5”2”

A.6B.3c.TD.T

参考答案：

C

57r

因为直线的斜率为3，所以此直线的倾斜角为6.

6.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是

直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的

个数为

MMM

A.1B.2

c.3D.4

参考答案:

D

参考答案:

B

n

8.命题“若口-3,

则2”的逆否命题是

nn

a*一sina*ex——…鱼

A.若3,则2B.若3,则2

nn

aw一j3也a=­

C.若2,则3D.若2,则3

参考答案：

C

9.已知命题P实数x满足logaX>log&(lr),其中0<a<1；命题9实数x满足

-1<X<1；则P是0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

A

K

10.将函数y二cos2x+l的图象向右平移4个单位，再向下平移一个单位后得到y二f(x)的

图象，则函数f(x)=()

nn

A.cos(2x+4)B.cos(2x-4)C.sin2xD.-sin2x

参考答案：

C

考点：函数y=Asin(3x+0)的图象变换.

专题：三角函数的图像与性质.

分析：根据三角函数的平移关系即可得到结论.

K兀

解答：解：把函数尸cos2x+l的图象向右平移N个单位，得尸COS2(X-N)

+I=sin2x+1,

再向下平移1个单位，得y=sin2x+l-l=sin2x.

，函数f(x)=sin2x.

故选：C.

点评：本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础

题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知数列｛如｝的前〃项和为S,”KS-=2"，+"+1"€”求4=.

参考答案：

-J

12.已知平面向量Q=(xJ),2=(2.-2),若2〃讥则实数x的值为.

参考答案：

-I

略

13.如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是.

MdOflB

参考答案：

15

14..某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，

得到不合格的成绩的频率为0.4,则合格的人数是.

参考答案：

600

略

15.若在区间［0,1］上存在实数x使才(3x+a)<1成立，则a的取值范围

是«

参考答案：

(-8,1)【知识点】函数的单调性与最值B3

2*(3x+a)VI可化为aV2r-3x,

则在区间［0,1］上存在实数x使2'(3x+a)<1成立，等价于a<(2x-3x)修，

而2r-3x在［0,1］上单调递减，.\2f-3x的最大值为2"-0=1,

故a的取值范围是(-°°,1).

【思路点拨】才(3x+a)<1可化为a<2=3x,则在区间［0,1］上存在实数x使才

(3x+a)<1成立，等价于a<(2s-3x)网,利用函数的单调性可求最值.

16.对于函数f(x),若?a,b,cGR,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，

x,.

e+t

则称f(x)为“可构造三角形函数”，已知函数f(x)=ex+l是“可构造三角形函

数”，则实数t的取值范围是

参考答案：

总，2]

【考点】指数函数的图象与性质.

【分析】因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形，

则f(a)+f(b)>f(c)恒成立，将f(x)解析式用分离常数法变形，由均值不等式可

得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函

数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大

值的不等式，进而求出实数t的取值范围.

【解答】解：由题意可得f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c€R都恒成立，

e'+tt-1

由于f(x)=ex+l=l+ex+l,

①当t-1=0,f(x)=1,此时，f(a),f(b),f(c)都为1,构成一个等边三角形的

三边长，

满足条件.

②当t-l>0,f(x)在R上是减函数，l<f(a)<l+t-l=t,

同理l<f(b)<t,l<f(c)<t,

由f(a)+f(b)>f(c),可得2Nt,解得l<tW2.

③当f(x)在R上是增函数，t<f(a)<1,

同理t<f(b)<1,t<f(c)<1,

1

由f(a)+f(b)>f(c),可得2t21,解得l>t^2.

1

综上可得，2WtW2,

1

故实数t的取值范围是2,2].

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性

求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.

17.（09南通交流卷）为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树

木的底部周长（单位：cm）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片

树木中，底部周长小于110cm的株树大约是▲

参考答案：

答案：7000

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分14分）

己知动圆C过定点〃（°工），且在X轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线

C.

（1）求曲线C方程；

（2）点/为直线，：x-y-2二°上任意一点，过/作曲线c的切线，切点分别为

p、

Q,以产。面积的最小值及此时点A的坐标.

参考答案：

【知识点】椭圆方程直线与椭圆位置关系H5118

（1）r-4V.（2）其最小值为4,此时点/的坐标为（2°）.

（1）设动圆圆心坐标为「（XJ）,根据题意得

口'+3-2）'一办:4,

（2分）

化简得

JT：-4v

（2分）

（2）解法一：设直线的方程为〉=云牌，

X2=4y

由心r+A消去照得x-4H-4A0

X+X2="44

设PG，.v）,0（x,i，；），则〔XX1-4t）,且

A16*:-16A（2分）

zII/、

V.-X.y-v--r（x-x.）

以点尸为切点的切线的斜率为2其切线方程为.’2

同理过点Q的切线的方程为.2-4~

设两条切线的交点为小丹,外）在直线x-2=°上,

解得产4，即4（况-防

则：2k|h2=0,即

A=2_”

（2分）

代入A=-32-32*-16（A-If-16>0

.1PQUJl+lr；-x,h4\：'1+/&'+b

力（衰、〃）到直线尸。的距离为

|求'+22>

（2分）

=4（*1-2A-2）2=<（*-I）1+1]2

..当A1时，S“u最小，其最小值为4,此时点力的坐标为

(2,0).（4分）

解法二：设在直线工一产一2=°上，点广。-1'.）,。（七,上）在抛物线

X；二4y

■，I1Z

V：--x.y-y--xo

上，则以点尸为切点的切线的斜率为2I其切线方程为一02

同理以点2为切点的方程为

4

设两条切线的均过点则一

...点己。的坐标均满足方程

>U=2XX：~y,即直线尸。的方程为：

,=产一.%

(2分)

代入抛物线方程-4y消去y可得:

工'一次公4稣_0

・1尸。=,+I须-Wl=J+，梃：—16=

小心儿)到直线PQ的距离为

-2%

“一2一

frrr;

丫卢+1(2分)

如2

•■.S=||PO|-rf=||^-4v0|•&-4yo='(毛2-4>，0)，

工L工

1111

7

=7(仆>―43+8尸=-l(rc-2)+4广

4w

所以当M2时，51八,最小，其最小值为4,此时点/I的坐标为

(2,0).(4分)

【思路点拨】设动圆圆心坐标为C(XJ),根据题意得Jx'+U-2)'—"炉+4化即可得

曲线C方程；直线的方程为〉=hfb,与抛物线联立可得x-4收一480由此利

用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出二叩Q面积的最小值及

此时上点的坐标.

19.2017?平顶山一模)已知函数f(x)=|x-2|+|x+l.

(I)解不等式f(x)>5：

2

(H)若f(x)>(log2a).l°g啦a对任意实数x恒成立，求a的取值范围.

参考答案：

【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法.

【分析】(I)去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f(X)>5；

(II)利用绝对值的几何意义，求出f(x)的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即

可.

【解答】(本小题满分10分)

(x>2

解：(I)原不等式可化为：11-2x>5或13>5或［2x-l>5.…(3分)

解得：x<-2或x>3,

所以解集为：(-8,-2)U(3,+8).…

(II)因为|x-2+|x+lI>|x-2-(x+1)|=3,(7分)

所以f(x)23,当xW-1时等号成立.所以f(x)mi„=3.

2:<,2

又(log2a)-logAy^a<3^(log2a)-21og2a-340O-l《log2a43

故28....(io分)

【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用,

考查转化思想以及计算能力.

20.(本小题满分12分)函数於)=Asin(cox+3)的部分图象如图所示

(1)求犬x)的解析式;

(2)设g(x)=,求函数g(x)在在上的最大值，并确定此时x的值.

参考答案:

解析：（1）由图知A=2,

=，则=4x,3=.

又/=2sin=2sin=0,

sin=O,

•・・Ov0v,

?.一<（!>—<,

，0—=0,即9=,

，段）的解析式为段）=2sin.（6分）

（2）由（1）可得/=2sin

=2sin,

，g（x）==4x

=2—2cos,（8分）

,；・——<3x+<,

当3x+=兀，即X=时，g（x）max=4.（12分）

略

,,o-e.4*./V八..皿/(*)yfist.nIcosX-cos1*--_D

21.(本小题满分12分)已知函数J-2,TxeR

(I)求函数了")的最大值和最小正周期；(H)设的内角的对边分

别且〜3,/(0=0,若S&+G=2anA求&力的值.

参考答案：

73l+cos2x1开

/(X)=——stn2x---------------------sin(2x—)-1

解析：(1)226........3分

7=至=开

则/5)的最大值为0,最小正周期是一三一..............6分

(2)/(°=Sin<2C-.)・1=0则51nQC-.)=1

vO<C<?r0<2C<2^--<2C--<—/r2C--=-C=-

666623

a_1

•••sm(4+C)=2sin4由正弦定理得g=2①............................9分

由余弦定理得3即必=9②

由①②解得a=君b=243.....................................12分

22.(本小题满分12分)

已知a是实常数，函数〃*)-*加,+。，’，

(1)若曲线¥=〃<)在x=1处的切线过点川0尸2),求实数a的值；

(2)若"Q有两个极值点X”x2(X,<x2)

——<a<0

①求证：2;

②求证：2。

参考答案：

（1）由已知：/'（。*（«＞0）,切点

pM……1分

切线方程：•（勿.】）（"一）把（0尸2）代入得：2=

1……3分

（2）（I）依题意：/'（*）=°有两个不等实根

设g㈤二—，则：«（*）*-♦20（«＞°）

①当aNO时：gV）＞0,所以g（G是增函数，