高中数学提升训练3.4函数的应用（一）

2020—2021高中数学新教材人教A版必修配套提升训练

3.4函数的应用（一）

1.函数的意义；2.一次函数模型；3.二次函数模型；4.分段函数模型；5.生产生活中的“最优化”问题

一、单选题

1.（2020.浙江高一课时练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%,因库存积压，若按9

折出售，每件还可获利（）

A.45元B.35元C.25元D.15元

【答案】C

【解析】

无折扣的售价为：200x125%=250（元），

打折后售价为：250x0.9=225（元），

获利;225-200=25（元）,

所以若按9折出售，每件还可获利25元。

故选C.

2.（2020浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示.出

水口的出水速度如图乙所示，某天。点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.

进水量出水量畜水量

6

5

4

3

2

1

110

时间

间

时123456时间

甲

乙丙

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水,

则一定正确的是（）

A.①B.①②

C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】

由甲、乙两图可知进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速

度是2,故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2,故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减

少速度也是0,故③不正确.

3.（2020.浙江高一课时练习）用一段长为8an的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（）

A.9cm2B.16cm2C.4cm2D.5cm2

【答案】C

【解析】

设矩形模型的长和宽分别为x,y,则x>0,y>0,由题意可得2（x+y）=8,所以x+y=4,

所以矩形菜园的面积S=<竺之=±=4,当且仅当x=y=2时取等号，

-44

所以当矩形菜园的长和宽都为2cm时，面积最大，为4C〃?2.答案：C

4.（2020•浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为产5X+3000,

而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（）

A.200本B.400本C.600本D.800本

【答案】C

【解析】

该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，

则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）>0,

解得x>600.

.•.该厂为了不亏本，日印图书至少为600本.

故选：C.

5.（2020.浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km）,以后每1km价为1.8

元（不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图像大致为（）

【解析】

•••出租车起步价为5元(起步价内行驶的里程是3加2).

•••(0,3］对应的值都是5,

•••以后每1版价为1.8元，

不足\km按1km计价，

/.3<x<4Bt,y=5+1.8=6.8,

4Vx<5时，y=5+l.8+1.8=8.6,故选B.

6.(2020・浙江高一课时练习)面积为S的长方形的某边长度为x,则该长方形的周长L与1的函数关系为

5

A.L=x-\——(x>0)

x

S

B.£=x+—(0<x<S)

x

2s

C.L-2xH----(x>0)

x

2s

D.L=2x-\----(0<x<S)

x

【答案】C

【解析】

面积为S的长方形的某边长度为1,则另一边长为：周长为L=2x+±*(x>0).

XX

故答案为：C.

7.(2020・上海高一课时练习)甲、乙两人同时从4地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是

先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达8地.已知甲骑自行车比乙骑自行车快.若每人离开

甲地的距离S与所用时间，的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是

C.甲是（3）,乙是（2）D.甲是（3）,乙是（4）

【答案】B

【解析】

显然甲图象为（1）或（3）,乙图象为（2）或（4）.又因为甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中随

X的变化比乙后一半路程y随X的变化要快，所以甲为（1）,乙为（4）.选B.

8.（2020・陕西长安一中高一开学考试）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开

源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长

x、y应为（）.

A.x=\5,y=UB.x=\2,y=\5

C.x=14,y=10D.x=10,y=14

【答案】A

【解析】

由三角形相似得=亲，得x=124-y）,由0<x<20得,8Wy<24,

52

S=孙=-^（丁一12）-+180,.'.当y=12时,S有最大值，此时x=15.选A

9.（2020•全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y=6x+

30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）

A.2000套B,3000套

C.4000套D.5000套

【答案】D

【解析】

因利润z=12x-（6x+30000）,所以z=6x-30000,由z>0解得A>5000,故至少II生产文具盒5000套.

故选：D

10.（2020•四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主

要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除;

（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中

前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元,

新的个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级

每月应纳税所得额X元（含税）xV30003000<x<1200012000<x<25000

税率31020

现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则

他该月应交纳的个税金额为（）

A.1800B.1000C.790D.560

【答案】C

【解析】

李某月应纳税所得额（含税）为：18000-5000-1000-2000=10000元，

不超过3000的部分税额为3000x3%=90元，

超过3000元至12000元的部分税额为（10000-3000）x10%=7000x10%=700元，

所以李某月应缴纳的个税金额为90+700=790元.

故选：C.

二、多选题

11.（2019•山东牡丹荷泽一中高一月考）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时

的生产情况画出了某种产品的总产量）（单位：千克）与时间x（单位：小时）的函数图像，则以下关于该

产品生产状况的正确判断是（）.

A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少

C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同

D.最后两小时内，该车间没有生产该产品

【答案】BD

【解析】

由该车间持续5个小时的生产总产量y（单位：千克）与时间X（单位：小时）的函数图像，得：前3小时

的产量逐步减少，故A错，B正确；

后2小时均没有生产，故C错，D正确。

故选：BD

⑵（2020.全国）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3加（不超过35?按起步价付费）；

超过3碗但不超过8k"时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8A"时，超过部分按每千米2.85元收费，

另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2加，乘客需付费8元

B.出租车行驶4h〃，乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10h〃，乘客需付费25.45元

D.某人乘出租车行驶两次的费用超过他乘出租车行驶10A〃一次的费用

E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km

【答案】CDE

【解析】

在A中，出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；在5中，出租车行

驶4km,乘客需付费8+1x2.15+1=1155元,3错误；

在C中，出租车行驶10km,乘客需付技8+2.15x5+2.85x（10—8）+1=25.45元，CiE确：

在。中，乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2x2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45,

。正确;

在E中，设出租车行驶xk加时,，付费y元，由8+5x2.15+l=19.75<22.6知x>8，因此山

y=8+2.15x5+2.85（x-8）+1=226解得尤=9,E正确.

故选：CDE.

13.（2020.全国）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离

都是如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结

论正确的是（）

A>lkrnl

“/

J+..*

，：

I.

7J*~|0203044）5（>Mmin）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60加”

B.甲从家到公园的时间是30,〃山

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0WxW30时，y与x的关系式为y=A尤

E.当30WXW60时，y与x的关系式为y=2

【答案】BD

【解析】

在A中，甲在公园休息的时间是lOmin,所以只走了50min,A错误；

由题中图象知，8正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从

公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当0WXW30时，设丁="（％。0）,则2=3（）攵，解得左=右，。正确；

当304》<40（3寸，题中图象是平行于x轴的线段，E错误.

故选：BD.

14.（2019•全国高一课时练习）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费

和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲

厂的总费用M（千元）乙厂的总费用为（千元）与印制证书数量》（千个）的函数关系图分别如图中甲、

乙所示，则（）

A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B.甲厂的费用H与证书数量x之间的函数关系式为必=0.5x+l

C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用为与证书数量%之间的函数关系式为|

E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用

【答案】ABCD

【解析】

由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；

甲厂的费用必与证书数量x满足的函数关系为乂=0.5x+l,故B正确；

当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3+2=1.5元，故C正确；

易知当x>2时，/2与x之间的函数关系式为%=/x+g,故D正确

159

当％=8时，x=05x8+1=5,必=1*8+1=/,因为x>为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更

节省费用，故E不正确.

故选：ABCD

三、填空题

15.（2020•全国高一课时练习）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间f的函数关系如

图所示，则下列说法正确的是.（填序号）

①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.

【答案】④

【解析】

由图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，

即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快，又甲、乙的路程S取值范围相同，

即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.

故答案为：④

16.(2020・浙江高一课时练习)已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以6()千米/小时的速度从A到达

3地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函

数，表达式为.

60r(0<t<2.5)

【答案】%=<150(2.5<?<3.5)

—5Of+325(3.5<t46.5)

【解析】

从A到5用时当=2.5h,在8地停留lh内，距离不变，

60

返回A地时，距离减少.

60/(0</<2.5)

因此x=<150(2.5<?<3.5)

-50/+325(3.5</<6.5)

17.(2019,北京丰台)某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，

则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，

折扣优惠按下表累计计算.

可以享受折扣优惠金折扣优惠

额率

不超过500元的部分5%

超过500元的部分10%

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为一元.

【答案】1120

【解析】

由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，

0,0<x<600

0.05(x-600),600<x<1100

0.1(x7100)+25,x>1100

V,y=30>25

.,.x>ll(X)

A0.1(x-1100)+25=30

解得，x=1150,

1150-30=1120,

故此人购物实际所付金额为1120元.

四、双空题

18.(2020.邢台市第二中学高一开学考试)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、

京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果

进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到

支付款的80%.

①当户10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则尤的最大值为.

【答案】130.15.

【解析】

(l)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，

y<120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

y>120元时,有（y-x）x80%>yx70%恒成立，即8（y—x）>7y,x",即x4佶=15元.

8I8人in

所以x的最大值为15.

19.（2020•浙江高一单元测试）某品牌连锁便利店有〃个分店，A,BC三种商品在各分店均有销售，这三种

商品的单价和重量如表1所示：

商品A商品B商品C

单价（元）152030

每件重量（千克）0.20.30.4

表1

某日总店向各分店分配的商品A.B.C的数量如表2所示:

商品分店分店1分店2..........分店〃

A1220m\

B1520m2

C201563

表2

表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C的总价和总重量:

分店1分店2..........分店〃

总价（元）a

总重量（千克）h

表3

则a=；b=

【答案】10800.2班+0.3叫+0.4:%

【解析】

根据分店1所分配的A、B、C三种商品的数量和商品单价计算出分店1商品的总价（元）

4=12x15+15x20+20x30=1080；

根据分店n所分配的A、B、C三种商品的数量和每件商品的重量计算出分店n商品的总重量(千克)

b=0.2ml+0.3m2+0.4/n3；

20.(2019•广东南沙高一期中)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，价格依次为7()元/盒、65元/盒、85元/盒、9()元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:

一次购买水果的总价达到128元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的

80%.

①当x=15时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.

【答案】14016

【解析】

顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为70+85=155>128,故需要支付140元.

(128-x)x0.8>0.7xl28,故xW16.

故答案为：140：16.

21.(2020•海南高一期末)某种商品在第》(1<%<30,%€?4*)天的销售价格(单位：元)为

10+2x,l<x<10

/(%)=]_1-“，第x天的销售量(单位：件)为g*)=30-x，则第14天该商品的销售“

35--x,10<x<30

入为元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为元.

【答案】448600

【解析】

由题意可得〃14)g(14)=28x16=448(元)，

即第14天该商品的销售收入为448元.

(10+2x)(30-x),l<x<10

销售收入yxeN"，

35--xl(30-x),10<x<30

-2X2+50X+300,1<X<10

即y=<1,

-X2-50X+1050,10<X<30

当IWxWlO时，y=—2x2+50x+300=—2(x—胃)+612.5，

故当x=10时，y取最大值,为三=600,

当10<x«30时，易知y<gxl()2—50x10+1050=600.

故当x=1()时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.

故答案为：448；600.

五、解答题

22.(2020•全国高一课时练习)某列火车从4地开往8地,全程277A机火车出发10〃而开出13姐?后，以UOkm/h

的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间，之间的关系，并求离开4地2/7时火车行驶

的路程.

【答案】5=13+120^0yl233(km)

【解析】

因为火车匀速行驶的时间为(277-13)+120=^(h)，

所以0领小装.因为火车匀速行驶th所行驶路程为120/km.

所以火车行驶总路程s与匀速行驶时间r之间的关系是s=13+120(0领｝yj.

离开A地2/?时火车行驶的路程s=13+l20x(2-\)=233(km).

23.(2020•全国高一课时练习)一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一

张，其余人可享受半票优惠乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价|■优惠这两家旅行社的原价是一

样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.

【答案】当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠.

【解析】

设家庭中孩子数为xCX>1,xeN*)，旅游收费为y，旅游原价为a,

甲旅行社收费：y=a+^(x+l)=£(x+3),乙旅行社收费：y=g(x+2),

；；(x+2)-3(x+3)=—(x-1),

326

...当X=1时，两家旅行社收费相等；当X>1时，甲旅行社更优惠.

即当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠.

24.（2019•浙江南湖嘉兴一中高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售

的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百

台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：

Rx）=《，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：

10.2（%>5）

（I）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？

（II）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

【答案】（I）产品应控制在大于100台，小于820台的范围内.

（II）当工厂生产400台产品时:赢利最多

【解析】

依题意，G（x）=x+2.设利润函数为/（x）,则

—0.4x^+3.2x—2.8(0WXW5)

/(x)=R(x)-G(x)=

8.2—x(x>5)

（I）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）>0,当0WxW5时，

解不等式-0.4x2+3.2x-2.8>0-

即》2一8》+7<0.

1<x<7/.1<x<5.

当x>5时，解不等式8.2-x>0,

得x<8.2,5<x<8.2,

综上所述，要使工厂赢利，x应满足l<x<8.2,

即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内.

（ID0<x<5时，/（x）=-0.4（x—4）2+3.6故当了=4时，/（%）有最大值3.6.

而当x>5时，/(x)<8.2-5=3.2

所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多

25.（2020•全国高一课时练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）

与年产量X（吨）之间的函数关系式可以近似表示为y=3-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210

吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.

【解析】

设可获得的总利润为R（x）万元，则

2.21

/?(x)=40x-y=40x-y+48x-8000=-y+88x-8000=-j(x-220)2+1680(琬210)；

”（x）在［0,210］上是增函数，

2

...当x=21（）时，7?（x）max=-1（210-220）+1680=1660.

.••年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.

26.（2020.荆州市北门中学高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽

/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，

通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本。（幻万元，且

10x2+100%,0<x<40

C（x）=l10000•由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能

'501%+-^^-4500,x>40

、x

全部销售完.

（1）求出2018年的利润乙（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）

（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.

-10x2+400%-2500,0<x<40

【答案】⑴L（x）=（（10000A,八；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大，

2000-1x+-----I,x>40

且最大利润为1800万元.

【解析】

（I）当0<x<4