决胜2020中考数学压轴题全揭秘下12圆的有关性质与计算试题

专题12圆的有关性质与计算

【典例分析】

【考点1】垂径定理

【例1】（2021•湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是这段弧所在圆的圆心，

45=40,%，点C是AB的中点，且CD=10m,那么这段弯路所在圆的半径为（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，可以推出4>=劭=20,假设设半径为八那么加r-10,OB=r,结合勾股定理可推出半径r

的值.

【详解】

解：-.-OC±AB,

AD=DB=20m.

在向AA。。中，=OD2+AD\

设半径为r得：r2=（r-10）2+202,

解得：r=25m>

这段弯路的半径为25根

应选：A.

【点

此题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为「后，用「表示出阳、烟的长度.

【变式1T】（2021•四川中考真题）如图，AB,然分别是。0的直径和弦，0。，AC于点。连接被

BC,且AB=10,AC=8,那么切的长为（）

A.2指B.4C.2713D.4.8

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据圆周角定理得/ACB=90°,那么利用勾股定理计算出BC=6,再根据垂径定理得到

CO=AO=■!■AC=4,然后利用勾股定理计算BD的长.

2

【详解】

♦."8为直径，

二ZACB=90°，

BC=^AB2-AC2=Vl02-82=6，

■:OD1AC，

：.CD=AD^-AC^4,

2

在RtACBO中，BD=y]42+62=2713-

应选C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.

【变式卜2】（2021•四川中考真题）如图，。。的直径AB垂直于弦CO,垂足是点E,NCAO=22.5°,

0C=6,那么CO的长为（）

A.6近B.372C.6D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据垂径定理得到CE=Z）E,再根据圆周角定理得到NBOC=2NA=45°，可得AOCE为等腰直角三

角形，所以CE=»OC=3&，从而得到CO的长.

2

【详解】

AB为直径，

CE=DE，

•••NB0C和/A分别为BC所对的圆心角和圆周角，NA=22.5°,

；•ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°，

：.AOCE为等腰直角三角形，

V0C=6,

cE=—OC=—x6=3y/2,

22

/•CD=2CE=6&

应选A.

【点睛】

此题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半：垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧.

【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系

【例2X2021•四川自贡中考真题)如图，。。中，弦A3与CD相交于点E,AB=C£>,连接4)、BC.

求证：WAD=BCt

⑵AE=CE.

【答案】")见解析；〔2)见解析.

【解析】

【分析】

⑴由AB=CD知AB=C£>'即AD+AC=BC+AC'据此可得答案；

(2)由AD=BC知AD=BC,结合/ADE=NCBE,NDAE=NBCE可证△ADEg/\CBE,从而得出答案.

【详解】

证明(1)VAB=CD,

'''AB=CD']AD+AC^BC+AC'

AD=BC<

(2),：AD=BC'

，AD=BC,

又•.•/ADE=NCBE,ZDAE=ZBCE,

/.△ADE^ACBE(ASA),

/.AE=CE.

【点睛】

此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角

相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二〃，一项相等，其余二项皆相等.

【变式2-1］（2021•黑龙江中考真题）如图，在。。中，团团，AD_LOC于D.求证：AB=2AD.

AB=2AC

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD交。0于E,可得病=篇、AB=AE,可得出结论.

【详解】

V0C1AD,

•■•AE=2AC-AE=2AD,

'­"AB=2AC-

.*****

•1AE=AB>

.*.AB=AE,

.".AB=2AD,

【点睛】

此题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解此题的关键.

【变式2-2］（2021•江苏中考真题）如图，。。的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=

PC.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出48=8,进而得出AD=CB，根据等弧所对的圆周角相等得出

ZC=ZA,根据等角对等边证得结论.

【详解】

解：如图，连接AC.

■:AB=CD,

­•AB=CD

AB+BD=CD+DB>即A£>=CB

Z.ZC=ZA.

；•PA=PC.

【点睛】

此题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

【考点3】圆周角定理及其推论

【例3】(2021•陕西中考真题)如图，AB是。。的直径，EF,EB是。0的弦，且EF=EB,EF与AB交于点C,

连接0F,假设NA0F=40°,那么NF的度数是()

A.20°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接FB,由邻补角定义可得NF0B=140°,由圆周角定理求得NFEB=70°,根据等腰三角形的性质分别求出

ZOFBs/EFB的度数，继而根据/EFO=/EBF-/OFB即可求得答案.

【详解】

连接EB,

那么NF0B=180°-ZA0F=180°-40°=140°,

1

/.ZFEB=-ZF0B=70°,

2

VFO=BO,

Z0FB=Z0BF=(180°-/FOB)+2=20°,

VEF=EB,

.,.ZEFB=ZEBF=(180°-/FEB)+2=55°,

：.ZEFO=ZEBF-ZOFB=55°-20°=35°,

应选B.

【点睛】

此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解

题的关键.

【变式3-1](2021•北京中考真题)锐角NA0B如图，(1)在射线0A上取一点C,以点。为圆心，0C长为

半径作PQ,交射线0B于点D,连接CD；

(2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M,N；

(3)连接0M,MN.

根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是()

A.ZC0M=ZC0DB.假设0M=MN,那么NA0B=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

【答案】I)

【解析】

【分析】

由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【详解】

解：由作图知CM=CD=DN,

二NC0M=NC0D,故A选项正确;

V0M=0N=MN,

/.△0MX是等边三角形，

AZM0N=60°,

VCM=CD=DN,

AZM0A=ZA0B=ZB0N=-ZM0N=20o,故B选项正确;

3

ZM0A=ZA0B=ZB0N=20°,

/.Z0CD=Z0CM=80°,

：.ZMCD=160°,

又NCMN-LNA0N=20°,

2

AZMCD+ZCMN=180",

AMNCD,故C选项正确；

VMC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

；.3CD>MN,故D选项错误;

应选：D.

【点睛】

此题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.

【变式3-2](2021•湖北中考真题)如图，点A,B,C均在。。上，当NO3C=40°时，NA的度数

是()

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NBOC的度数，然后根据圆周角定理可得到NA的度数.

【详解】

•;OB=OC，

■■■NOCB=/OBC=4Q。,

ZBOC=180o-4()o-40°=1(X)°,

ZA=-ZBOC=50°.

2

应选A

【点睛】

此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所时的圆心角的

一半.

【考点4】圆内接四边形

【例4】（2021•贵州中考真题）如图，四边形四切为。。的内接四边形，N/=100°,那么N比E的度数

为;

【答案】100°

【解析】

【分析】

直接利用圆内接四边形的性质，即可解答

【详解】

♦.•四边形40为。。的内接四边形，

4=100°,

故答案为1000

【点睛】

此题考查圆内接四边形的性质，难度不大

【变式4-1］（2021•甘肃中考真题）如图，四边形ABCQ内接于O。，假设NA=40。，那么NC=（）

A.110°B.120°C.135°D.140°

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用圆内接四边形的对角互补计算NC的度数.

【详解】

四边形ABCD内接于。0,ZA=40°,

二〃=180°—40°=140°,

应选D.

【点睛】

此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补

【变式4-2］（2021•四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于。0,P为DE上的一点（点尸不与

点。重合），那么NCPO的度数为（）

A.30°B.36°C.60°D.72°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆周角的性质即可求解.

【详解】

连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72°,即/COD=72°,

同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，

故ZCPD=72°XL36°,

2

应选B.

【点睛】

此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.

【考点5】正多边形和圆

【例5】（2021•山东中考真题）如图，五边形ABCDE是。0的内接正五边形，AF是。0的直径，那么

ZBDF的度数是0.

【答案】54

【解析】

【分析】

连接AD,根据圆周角定理得到NADF=90°,根据五边形的内角和得到NABC=NC=108°,求得NABD=72°,

由圆周角定理得到NF=NABD=72°,求得NFAD=18°,于是得到结论.

【详解】

连接AD,

：AF是。0的直径，

AZADF=90°,

♦.•五边形ABCDE是。0的内接正五边形，

AZABC=ZC=108°,

：.ZABD=72°,

.,.ZF=ZABD=72°,

/.ZFAD=18°,

AZCDF=ZDAF=18°,

/.ZBDF=36°+18°=54°,

故答案为54.

【点睛】

此题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题.

【变式5-1］（2021•山东中考真题）假设正六边形的内切圆半径为2,那么其外接圆半径为

【答案】逋

3

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，可得0G=2,NQ4B=6O°,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.

【详解】

解：如图，连接。4、03,作OGLA3于G：

那么OG=2,

六边形ABCDEF正六边形，

二AOAB是等边三角形，

NO4B=60°,

OG2迪

.OA

sin60°一耳亍

2

二正六边形的内切圆半径为2,那么其外接圆半径为生叵.

3

故答案为生叵.

3

【点睛】

此题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形

问题的解题思路.

【变式5-2］（2021•陕西中考真题）假设正六边形的边长为3,那么其较长的一条对角线长为

【答案】6.

【解析】

【分析】

根据正六边形的半径就是其外接圆半径，那么最长的对角线就是外接圆的宜径，据此进行求解即可.

【详解】

360°

正六边形的中心角为—=60°,

6

.,•△A0B是等边三角形，

/.0B=AB=3,

；.BE=20B=6,

即正六边形最长的对角线为6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是解题的关

键.

【考点6】弧长和扇形的面积计算(含阴影局部面积计算)

【例6】(2021•广西中考真题)如图，AABC是0。的内接三角形，为。。直径，A3=6,AO平

分44C,交BC于点E,交。。于点O,连接30.

(1)求证：NBAD=/CBD；

(2)假设NA£B=125。，求80的长(结果保存万).

7

【答案】(1)见解析；(2)80的长=/乃.

6

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；

(2)连接8,根据平角定义得到NA£C=55°，根据圆周角定理得到NACE=35°,得到

ZBOD=2ZBAD=70°，根据弧长公式即可得到结论.

【详解】

⑴证明：；AD平分ZR4C,

二ZCAD=ZBAD，

■：/CAD=/CBD,

二ZBAD=ZCBD；

(2)解：连接CO，

•?NAEB=125°,

ZAEC=55°,

；AB为。。直径,

，ZACE=90°,

：.NC4£=35°，

/.ADAB=ZCAE=35°,

：.ZBOD=2ZB4Z>=70°,

70”x37

80的长=--71.

1806

【点睛】

此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键.

【变式6-1］（2021•湖北中考真题）如图，等边三角形A8C的边长为2,以A为圆心，1为半径作圆分别

交AB,AC边于D,E,再以点C为圆心，CO长为半径作圆交8C边于口，连接E,F,那么图中

阴影局部的面积为.

【答案】—+^--

1224

【解析】

【分析】

与BC=与又2=5

过A作于M，EN工BC于N,根据等边三角形的性质得到AM

求得硒=—，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论.

22

【详解】

过A作于M，ENLBC于N,

•••等边三角形ABC的边长为2,ABAC=NB=ZACB=60°，

AM=—BC=—x2=y/3，

22

-.-AO=AE=1,

：.AD=BD,AE=CE,

Z7214A/G

EN=—AM=—，

22

•二图中阴影局部的面积=—S扇形AOE-SAC£F—（SgCD-S扇j诊ocF）

733

=-----F----------，

1224

故答案为：—+^--.

1224

【点睛】

此题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

【变式6-2］（2021•四川中考真题）如图，在AAOC中，。4=3.OC=lcm,将AAOC绕点0顺时针

旋转90后得到ABQD,那么AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）加.

乃c1719

A.—B.2%C.—7tD.—71

288

【答案】B

【解析】

【分析】

根据旋转的性质可以得到阴影局部的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可

求解.

【详解】

解：•.•AAO&ABOD

二阴影局部的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积二孙万行―9°皿r=2万

360360

应选:B.

【点睛】

考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影局部的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积

是解题关键.

【考点7】与圆锥有关的计算

【例7】（2021•湖南中考真题）如图，在等腰"BC中，ZBAC=120°,AD是NS4C的角平分线，且

AO=6,以点A为圆心，AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F,

(1)求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影局部)的面积；

(2)将阴影局部剪掉，余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无

重叠，求这个圆锥的高h.

【答案】⑴36月-12万：⑵〃=4逝.

【解析】

【分析】

(1)利用等腰三角形的性质得到ADLBC,BD=CD,那么可计算出BD=6石，然后利用扇形的面

积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形［图中阴影局部〕的面积=5..©一$扇形EAF进行计算；(2)

设圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

120-7T-6

的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2m=口；。,解得r=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的

180

rwih.

【详解】

•.•在等腰AABC中，NBAC=120°,

••・4=30。，

•••AD是/BAC的角平分线，

/.AD±BC.BD=CD,

/.BD=6AD=6百，

•••BC=2BD=126，

二由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影局部)的面积

=S.ABC-S扇形EAF=；*6x12由一吗/=366-12兀.

(2)设圆锥的底面圆的半径为r,

12O-7T-6

根据题意得2口=，解得r=2，

180

这个圆锥的高h=J^W=4^.

【点睛】

此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式.

【变式7-1］（2021•广西中考真题）圆锥的底面半径是1,高是岳，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角

是度.

【答案】90

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出圆锥的母线为4,进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解.

【详解】

解：设圆锥的母线为a,根据勾股定理得，a=4,

设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为〃°,

nx4

根据题意得2万xl=------，解得〃=90，

180

即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°.

故答案为90.

【点睛】

此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.

【变式7-2］（2021•辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216,母线长为5,该圆锥的底面

半径为.

【答案】3

【解析】

【分析】

设该圆锥的底面半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2万r=——,然后解关于r的方程即可.

180

【详解】

216-7T-5

设该圆锥的底面半径为八根据题意得2万r=-------解得r=3.故答案为3.

180

【点睛】

此题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

【变式7-3］（2021•西藏中考真题）如图，从一张腰长为90c加，顶角为120°的等腰三角形铁皮。钻中剪

出一个最大的扇形08,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），那么该圆锥的底面半径

为（）

A.15cmB.12cmC.10cmD.20cm

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆半径为「，根据

圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r.

【详解】

过。作O£_LAB于E，

OA=OB=90cm,ZAOB=\2Q）.

ZA=ZB=30°>

/.OE=—OA=45cm

2

120万x45

弧CO的长==30万

180

设圆锥的底面圆的半径为r,那么2万尸30万，解得r=15.

应选：A.

【点睛】

此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.

【达标训练】

一、单项选择题

1.（2021•山东中考真题）如图，AABC是。。的内接三角形，NA=119。，过点C的圆的切线交B。于

点尸，那么NP的度数为（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意连接OC,ACOP为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的

NCOP的度，再根据直角三角形可得NP的度数.

【详解】

根据题意连接0C.因为NA=119°

所以可得BC所对的大圆心角为ZBOC=2x119°=238°

因为BD为直径，所以可得/COD=238°-180°=58°

山于ACOP为直角三角形

所以可得NP=900-58°=32°

应选A.

【点睛】

此题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.

2.（2021•广西中考真题）如图，A,8,C,。是。。上的点，那么图中与N4相等的角是（）

A.DBB.NCC.ZDEBD.ZD

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用圆周角定理进行判断.

【详解】

解：；NA与NO都是BC所对的圆周角，

ZD=ZA.

应选：D.

【点睛】

此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.

3.（2021•吉林中考真题）如图，在。。中，AB所对的圆周角4cB=50°,假设P为AB上一点，

ZAOP=55°,那么NPOB的度数为（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆心角与圆周角关系定理求出/AOB的度数，进而由角的和差求得结果.

【详解】

解：；NACB=50°,

/.ZA0B=2ZACB=100",

VZAOP=550,

AZP0B=45°,

应选：B.

【点睛】

此题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2

信倍.

4.（2021•山东中考真题）如图，BC是半圆。的直径，D,E是BC上两点，连接80,CE并延长交

于点A，连接8，0E,如果NA=70。，那么NOOE的度数为（）

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接CD,由圆周角定理得出/BDC=90°,求出/ACD=90°~ZA=20°,再由圆周角定理得出ND0E=2N

ACD=40°即可,

【详解】

连接CD,如下图：

•••BC是半圆。的直径，

...NBDC=90°,

AZADC=90°,

AZACD=90°-ZA=20°,

AZD0E-2ZACD=40°,

应选C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

5.(2021•贵州中考真题)如图，半径为3的。A经过原点0和点C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上一点,

那么tanZOBC为0

A.-B.272C.—D.

3743

【答案】C

【解析】

试题分析：连结CD,可得CD为宜径，在RtZXOCD中，CD=6,0C=2,根据勾股定理求得0D=4女

所以tanNCD(>Y2,由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,那么tan/OBoYZ,故答案选C.

44

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义.

6.(2021•甘肃中考真题)如图，AB是。。的直径，点C、D是圆上两点，且NA0C=126°,那么NCDB=

()

A.54°B.64°C.27°D.37°

【答案】C

【解析】

【分析】

由NA0C=126°,可求得NB0C的度数，然后由圆周角定理，求得NCDB的度数.

【详解】

解:VZA0C=126°,

.,.ZB0C=180°-ZA0C=54",

'：/CDB=-ZB0C=27°

2

应选：C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理.注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

7.(2021•贵州中考真题)如图，圆心角NA0B=110°,那么圆周角NACB=()

A.55°B.110°C.120°D.125°

【答案】D

【解析】

分析：根据圆周角定理进行求解.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

详解：根据圆周角定理，得NACB=，（360°-ZA0B）=-X250°=125°.应选D.

22

点睛：此题考查了圆周角定理.注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系.

8.（2021•浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.那么原来

的纸带宽为0

A.1B.垃C.73D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

结合题意标上字母，作BG_LAC，根据题意可得：是边长为2的等边三角形，等边三角形的高为

原来的纸带宽度，在RtASGA中，根据勾股定理即可求得答案.

【详解】

如图，作BGJ_4C，

依题可得：AABC是边长为2的等边三角形，

在RtABGA中，

VAB=2.AG=1,

；•BG=6

即原来的纸宽为

故答案为：C.

【点睛】

此题考查正多边形和圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这

个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.熟练掌握正六边形的性质.

9.（2021•浙江中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于。。，连结BO,那么的度数是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出/ABC、CD=CB,根据等腰三角形的性质求出NCBD,计算即可.

【详解】

•••五边形ABCDE为正五边形

ZABC=ZC=1（5-2）xl80°=108°

,/CD=CB

：.ZCBD=（180°-108°）=36°

ZABD=ZABC-ZCBD=72°

应选：C.

【点睛】

此题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）

X18O0是解题的关键.

10.（2021•宁夏中考真题）如图，正六边形ABCOE尸的边长为2,分别以点A,。为圆心，以A&DC为

半径作扇形A3尸，扇形。CE.那么图中阴影局部的面积是（）

A.6"\/3—7iB.6\/3—7iC.12>/3—7iD.12^3—Tt

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意和图形可知阴影局部的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答此题.

【详解】

解：：正六边形ABCDEF的边长为2,

2x2sin60

.•.正六边形ABCDf/的面积是：（）X6ZZ6X2X—=673■ZE45=ZEDC=120•

22

图中阴影局部的面积是：66—图”且*2=66-包，

3603

应选：B.

【点睛】

此题考查正多边形和圆、扇形面枳的计算，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

11.（2021•江苏中考真题）如图，正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与

正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和[阴影局部面积〕是（）

A.66-7B.60-2万C.6乖）+兀D.6G+2%

【答案】A

【解析】

【分析】

图中阴影局部面积等于6个小半圆的面积和-（大圆的面积-正六边形的面积）即可得到结果.

【详解】

解：6个月牙形的面积之和=3万一（22乃-6xgx2xJi）=6G-乃，

应选A.

【点睛】

此题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.

12.（2021•山东中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点3为圆心，AB为半径画弧，交

对角线3。于点E,那么图中阴影局部的面积是（结果保存万）（）

A.8—万B.16—2万C.8—2万D.8--^-

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据5阴=5△｛劭-S扇形品/计算即可.

【详解】

0e01,,45?^-,42

S阴=S&A8D_S扇形明£=]X4x4痛6=6-271,

应选：C.

【点睛】

此题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割

法求阴影局部面枳.

13.（2021•浙江中考真题）假设扇形的圆心角为90°,半径为6,那么该扇形的弧长为0

3

A.-71B.2冗C.3万D.6乃

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据弧长公式计算即可.

【详解】

Q077X6

解：该扇形的弧长=--------=3兀.

180

应选C.

【点睛】

此题考查了弧长的计算：弧长公式：1=喀（弧长为1,圆心角度数为n,圆的半径为R）.

18（）

14.（2021•湖南中考真题）一个扇形的半径为6,圆心角为120。，那么该扇形的面积是（）

A.2nB・4五C.12nD.24n

【答案】c

【解析】

【分析】

根据扇形的面积公式s=j-计算即可.

360

【详解】

s"0x"62

=12万，

360

应选C.

【点睛】

此题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式s=2K是解题的关键.

360

15.（2021•浙江中考真题）如图，△ABC内接于圆。，NB=65°,NC=70°,假设BC=2夜，那么

弧BC的长为0

A.71B.yJljTC.2兀D.2V2；

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB,0C.首先证明△（«（：是等腰直角三角形，求出0B即可解决问题.

【详解】

连接OB,0C.

VZA=180°-ZABC-ZACB=180°-65°-70°=45°,

AZB0C=90°,

♦.•BC=2&,

/.0B=0C=2,

90x万x2

二BC的长为

180

应选A.

【点睛】

此题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识

16.（2021♦山东中考真题）如图，点A、B,C,D在。0上，AB=AC,ZA=40°,BD〃AC,假设00的半

径为2.那么图中阴影局部的面积是（）

A.空-"B.空-内C.4万G4乃l

323T-T

【答案】B

【解析】

【分析】

连接BC、0D、0B,先证△B0D是等边三角形,再根据阴影局部的面积是S制.厂SAB。。计算可得.

【详解】

如下图，连接BC、0D,0B,

VZA=40°,AB=AC,

.../ACB=70°,

VBD/7AC,

AZABD=ZA=40°,

AZACD=ZABD=40°,

AZBCD=30°,

那么NB0D=2/BCD=60°,

又OD=OB,

.♦.△BOD是等边三角形，

那么图中阴影局部的面积是S扇形BOD-SABOD

_60^-2262

--------------_XZ

3604

=|n->/3.

应选B.

【点睛】

此题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、

扇形的面积公式等知识点.

二、填空题

17.（2021•广西中考真题）？九章算术?作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的?

几何原本?并称现代数学的两大源泉.在?九章算术?中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯

锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如下图，：锯口深为1

寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），那么该圆材的直径为寸.

【答案】26.

【解析】

【分析】

设。。的半径为广，在用AADO中，AD=5,OD=r-1,OA=r,那么有产=5?+（一1）2,解方程即可.

【详解】

设。。的半径为r.

在mAADO中，AD=5,OD=r-l,OA=r,

那么有产=52+（一1）2,

解得厂=13,

二。。的直径为26寸，

故答案为26.

【点

此题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

18.（2021•江苏中考真题）如图，点小B、C在上，BC=6,/防空30°,那么。。的半径为.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解.

【详解】

解：连接0B,0C

VZB0C=2ZBAC=60°,又0B=0C,

...△B0C是等边三角形

.,.0B=BC=6,

故答案为6.

【点睛】

此题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质.

19.（2021•安徽中考真题）如图，△ABC内接于。0,ZCAB=30",ZCBA=45°,CD_LAB于点D,假设00

的半径为2,那么CD的长为

【答案】V2

【解析】

【分析】

连接0A,0C,根据/C0A=2/CBA=90°可求出AC=2啦，然后在RtZXACD中利用三角函数即可求得CD的长.

【详解】

解：连接OA,0C,

VZC0A=2ZCBA=90°,

...在RtAAOC中，AC=7（?A2+OC2=V22+22=2V2，

VCD±AB,

.•.在Rt/XACD中，CD=AC•sin/CAD=2&x』=虚，

2

故答案为逝.

【点睛】

此题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.

20.（2021•辽宁中考真题）如图，4c是。。的直径，B,。是。0上的点，假设。。的半径为3,N4厉=30°,

那么BC的长为

【答案】2n.

【解析】

【分析】

根据圆周角定理求出NA0B,得到/BOC的度数，根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：由圆周角定理得，NAOB=2NADB=60°,

.♦./仇心=180°-60°=120°,

,,..120万x3c

BC的长=--------=2%>

180

故答案为：2口.

【点睛】

此题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键.

21.（2021•湖南中考真题）？九章算术?是我国古代数学成就的杰出代表作，其中?方田？章计算弧田面积所

用的经验公式是：弧田面积=4（弦X矢+矢工.孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影局部），

公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC_L

弦A8时，。。平分AB）可以求解.现弦AB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的

面积为平方米.

【答案】10

【解析】

【分析】

根据垂径定理得到AD=4,由勾股定理得到OD=J。®_仞2=3,求得。4—。。=2,根据弧田面积

=!（弦义矢+矢“）即可得到结论.

2

【详解】

解：•.•弦AB=8米，半径OC_L弦AB,

/.AD=4,

••OD^y/OA2-AD2=3'

；•OA-OD=2,

...弧田面积=；（弦x矢+矢2）=1X（8X2+22）=10,

故答案为：10

【点睛】

此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答.

22.（2021•江苏中考真题）如图，点A、B、C、D、E在。。上，且弧A3为50。，那么

ZE+ZC=.

【答案】155°

【解析】

【分析】

先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心

角的关系，那么可求得NE+NC.

【详解】

弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB为50°，所以N3=50°.

顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以:

ZE=-Z1,ZC=-Z2,

22

ZE+ZC=1（Zl+Z2）=1（360°-Z3）=；（360。-50°）=155°.

【点睛】

此题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.

23.（2021•甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。。经过原点。，与x轴、）'轴分别交于A、B

两点，点8坐标为（0,2百），。。与。。交于点C,NOC4=30°,那么圆中阴影局部的面积为_____.

【答案】2万-2月

【解析】

【分析】

由圆周角定