高级计算机图形学 中国科学技术大学计算机学院

高级计算机图形学

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中国科学技术大学计算机学院

黄章进

zhuang@

第四章之第四节

OpenGL中的变换

______________________J

基本内容寡占

•学习在OpenGL中如何进行变换

•旋转

•平移

•缩放

•平滑旋转技术

•四元数

•虚拟跟踪球

________________7

OpenGL中的标架

•根据绘制流水线中出现的先后顺序：

•对象或模型标架

世界标架

•眼或照相机标架

•裁剪标架

规范化设备标架

•窗口或屏幕标架

__________J

OpenGL中的表示建

•在模型标架中定义各个对象

•把对象放置到应用程序场景（世界标架）中

，用模型变换改变它们的大小、方向和位置

•用视图变换把场景变换到照相机标架中。

•标架变换对应到一个仿射变换，从模型坐标，世界

坐标->眼坐标的变换都可以用4x4矩阵表示

OpenGL把模型变换和视图变换合并为模-视变换，

对应矩阵为模-视矩阵

____________________________________________>

OpenGL中的表示

•投影变换把场景变换到裁剪标架中，视见体

变轨力裁剪立方体，然后把视见状外的对象

从场景里莪剪掉

•顶点的齐次裁剪坐标经过透视除法，即用w

分量去除其他分量，得到三维的规范化设备

坐标表示

•根据视口信息，把规范化设备坐标变换为三

维的窗口坐标

窗口坐标单位是像素，保留了深度信息

•去掉深度分量，就得到了二维的屏幕坐标

OpenGL中的矩阵三三当wfei

•在OpenGL中矩阵是状态的一部分

•有多种类型

•模型视图(GL_MODELVIEW)

•投影(GL_PROJECTION)

•纹理(GL_TEXTURE)(不讲)

•颜色(GL_COLOR)(不讲)

•用于操作的单组函数

•选择所操作的对象

•glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

•glMatrixMode(GL_PROJECTION);

当前变换矩阵(CTM)

•从概念上说，当前变换矩阵(CTM)就是一

个4x4阶的齐次坐标矩阵，它是状态的一

部分,被应用到经过流水线中的所有顶点

•CTM是在应用程序中定义的，并被加载到

变换单元中―

p工顶点

顶点-----CTM

7

CTM运算

•CTM可以被改变，改变的方法是加载一个新的

CTM或者右乘一个矩阵

加载单位阵：c<—I

加载任意矩阵：C-M

加载一个平移矩阵：C-T

加载一个旋转矩阵：C-R

加载一个缩放矩阵：C-S

右乘任意矩阵：C—CM

右乘一个平移矩阵：C―CT

右乘一个旋转矩阵：C-CR

右乘一个缩放矩阵：C―CS

绕固定点的旋转

从单位阵开始：C<-I

把固定点移到原点：C―CT

旋转：C―CR

把固定点移回到原处：C―CT/

结果：C=TRT1是逆向的

这是做矩阵右乘的结果

注意：在程序中最后指定的运算是最先被执行的运算

倒转次序

我们想要得到C=T-1RT

所以必须按下面的次序进行运算

C<-I

C<-CT1

C—CR

C—CT

每个运算对应于程序中的一个函数调用

注意：在程序中最后指定的运算是最先被执行的运算

________________________________________>

OpenGL中的CTM夹

•在OpenGL的流水线中有一个模型视图矩阵和

一个投影矩阵，这两个矩阵复合在一起构成

CTM

•可以通过首先设置正确的矩阵模式处理每个矩

阵

丁而占丁而占

­二►模型视图——A投影!—三►

I_____________I

I

CTM

旋转、平移、缩放

加载单位阵：

glLoadldentity()

右乘变换矩阵：

glRotatef(theta,vx,vy,vz)

•theta以角度为单位，(vx,vy,vz)定义旋转轴

glTranslatef(dx,dy,dz)

glScalef(sx,sy,sz)

每个函数的参数还可以是d(double)类型

示例

•固定点为(1。2。3.0),绕2轴旋转30。

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

glLoadldentity();//止匕命令不会才巴投影

矩阵重设

glTranslated(1.0,2.0,3.0);

glRotated(30.0^0・0,0.0,1.0);

glTranslatef(-1.0^-2・0,-3.0);

•记住在程序中最后指定的矩阵是最先被执行的

(操作J

任意矩阵

•可以加载应用程序中定义的矩阵，或者使

之与CTM相乘

glLoadMatrixf(m)

glMultMatrixf(m)

•矩阵m是有16个元素的一维数组，按列定

义了4x4矩阵

•^glMultMatrixf(m)中m右乘当前矩

阵，Op㊀nGL没提供左乘

任意矩阵

・16维向量m=(m0,m1..,nii5)指定的歹4主序知■

阵为

mom4m8mn

mmmm

M=x5913

加2m6miomi4

m3m7mnm15

•C语言定义的矩阵m[4][4]是行主序的，元素

m[i皿相当于OpenGL变换矩阵的洌j行元素。

为避免行列混淆，声明矩阵为m[16]

•许多情况中需要保存变换矩阵，待稍后再

用

•遍历层次数据结构

•当执行显示列表时避免状态改变

•OpenGL为每种类型的矩阵维持一个堆栈

应用下述函数处理矩阵堆栈(也是由

glMatrixMod㊀设置次巨阵类型)

glPushMatrix()

glPopMatrix()

读入后台矩阵

•OpenGL状态中有些信息是以矩阵形式保存的

•可以利用查询函数读入矩阵(以及其它部分的状态)

glGetIntegerv

glGetFloatv

glGetBooleanv

glGetDoublev

•例如，对于模型视图矩阵：

doublem[16];

glGetDoublev(GL_MODELVIEW_MATRIX,m);

______________________________________________J

变换的应用上士

•例如：应用空闲函数旋转立方体，鼠标函

数改变旋转的方向

•从一个画立方体的程序开始（cube©

立方体中心在原点

各方向与坐标轴平行

intmain(intargc,char**argv){

glutlnit(&argczargv);

glutlnitDisplayMode(GLUT_DOUBLE|GLUT_RGB|

GLUT_DEPTH);

glutlnitWindowSize(500,500);

glutCreateWindow(ncolorcube”);

glutReshapeFunc(myReshape);

glutDisplayFunc(display);

glutldleFunc(spinCube);

glutMouseFunc(mouse);

glEnable(GL_DEPTH_TEST);

glutMainLoop();

}

空闲与鼠标的回调函数

voidspinCube(){

theta[axis]+=2.0;

if(theta[axis]>360.0)

theta[axis]-=360.0;

glutPostRedisplay();

}

voidmouse(GLintbtnzGLintstate,GLintx,GLinty)

(

if(btn==GLUT_LEFT_BUTTON&&state==GLUT_DOWN)

axis=0;

if(btn==GLUT_MIDDLE_BUTTON&&state==GLUT_DOWN)

axis=1;

if(btn==GLUT_RIGHT_BUTTON&&state==GLUT_DOWN)

axis=2;

显示回调函数

voiddisplay(void){

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

glLoadldentity();

glRotatef(theta[0],1.0,0.0,0.0);

glRotatef(theta[1],0.0,1.0,0.0);

glRotatef(theta[2]z0.0,0.0,1.0);

colorcube();

glFlush();

glutSwapBuffers();

注意：由于回调函数的参数形式是固定的，类似于theta和axis等变量必

须定义为全局变量

照相机信息在标准的形状改变回调函数中定义

模型视图矩阵和投影矩阵

•在OpenGL中模型视图矩阵可以用来

・定位照相机

•可以利用旋转和平移，但通常采用gluLookat()会更简

单

•建立对象模型

•投影矩阵用来定义视景体以及选择照相机镜头

•虽然两者有同样的函数进行处理，但应用时必

须非常仔细，因为累加的改变总是右乘到CTM

Ji

例如，用同样的矩阵旋转模型视图矩阵和投影矩阵并不

是等价的操作。对模型视图矩阵的左乘等价于对投影矩

阵的右乘

_______________________________________7

平滑旋转

•从实用的观点来看，经常需要通过变换来

平滑移功和旋转一'个对彖

问题：找到一个模型视图矩阵序列Mo，Mi，

M〃使得当把它们依次作用到一个或多个好象上

时，得到平滑的变换效果

•在定向对象时，可以利用一个事实，那就

是任一旋转后应着球面上的文卤的一部分

•求出旋转轴与角度

教材：虚拟跟踪球

增量式旋转

•考虑两种途径

对于一组旋转矩阵Ro,Rj…，R神求出每个的

Euler角，再应用R,=R.RR/x

!//v

•不是很有效

•利用最终的位置确定旋转轴与旋转角度，再逐

步增加这个角度

•四元数方法比上述两种方法都有效

_________J

Hamilton,W.R.

•威廉•哈密顿1805-1865

•爱尔兰数学家、物理学家

•出生于1805年8月3日与4日的

午夜

•小时学习14种语言，17岁自

学数学

•1843四元数公式刻在

Brougham桥的石头上

•四十岁后成为酒鬼

/wiki/Quaternion

4*1・

四元数鼻一.

•四元数是把复数从二维到四维的不可交

换推广

•既含有标量又含有向量的表示

•有一个实部和三个虚部i,j,k

q=q0+q1i+q2j+q^i=(%,q)

•p_j2_^-2_jjk=-1

•向量q/i+qj+q3k

____________________________________________________________________________________________________J

四元数的运算事匹事;■

•加法：q+q'=（外+荻'，q+q）

•乘法：qq'=（%而"qq'，，o'q+%q'+q-q）

•共根：q*=（%,-q）

•长度：\qI=（%2+q.q）“2

•模：\qI2=QQ+Iql2=qq*

•单位元：乘法（1,0）;加法（0,0）

•逆元：=g*/lqP=（%,-q）/lqI2

•单位四元数：|q|二1，有q-i=q*

axb=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]

四元数与旋转

•四元数的向量部分表示空间点：p=(0,p)

•r~(cos9/2,sin^/2v),其中v#一个单位,

向量Sr/

•r是单位四元数^

r1-(cos8/2,-sinO/2v),

•p”=rp「T也是一个点,是恁♦绕方向v旋转

。角后的位置

固定点为原点

例子

•求出绕x轴和y轴旋转90。的四元数,并求

出其积

用r-(cos0/2,sin8/2v),0=90。，对X轴，

v二(L0,0),

.=乎(U,o,o)

类似的，々=*(1,0,1,0)

从而，rxry=1(1,1,1,1)

/-sweetser/java/qcalc/qcalc.html

SLERP-球面线性插值

•SphericalLinearintERPolation:沿最短圆

•当两个方向很接近时,采用线性插值避免

I除。

用四元数定义旋转注国BB联

•四元数可以表示在球面上的平滑旋转，而

且非常有效。

•处理过程为

・模型视图矩阵9四元数

•用四元数进行运算

・四元数9模型视图矩阵

______________________________J

四元数与旋转

•四元数q=(w,%,y,z)对应的旋转矩阵为

1-2/-2?2xy-2wz2xz+2wy0

2xy+2wzl-2x2-2z22yz~2wx0

M=

2xz-2wy2yz+2wxl-2x2-2y20

0001

矩阵到四元数的转换

MatToQuat(floatm[4][4]rQUAY，quat)£

floattr,s,q[4];

intifj,k;

intnxt[3]={1,2,0};

tr=m[0][0]+m[1][1]+

if(tr>0.0)<

s=sqrt(tr+1.0);

quat->w=s/2.0;

s=0.5/s;

quat->x=(m[l][2]-*5；

quat->y=(m[2][0]-m[0][2])*s;

quat->z=(m[0][l]-m[l][0})•s;

yelse(

j=0;

if(m[l][l]>m[0][0])i=1;

if(m[2][2]>m[i][i])i=2j

j=nxt[i];

k=nxt[j];

S=sqrt((m[i][i]-(inQjQ]+m[k][k]))+1.0);

q[i]=s,0.5;

if(s!=0.0)s=0.5/s;

q[3]=(m[j][k]-m[k][j])*s;

q[j]=+m[j][i])*s;

q[k]=(m£i][k]+m[k][i])•s;

quat->x=q[0];

■

四元数到矩阵的转换

QuatToMatrix(QUAT*quat,floatm[4][4]){

floatwx,wyzwz,xx,yy,yz,xy,xz,zz,x2,y2,z2;

x2=quat->x+quat->x;y2=quat->y+quat->y;

z2=quat->z+quat->z;

xx=quat->x♦x2;xy=quat->x♦y2;xz=quat->x*z2;

yy=quat->y*y2;yz=(|iiat->y*z2;zz=quat->z♦z2;

wx=quat->w*x2;wy=(|uat->w*y2;wz=quat->w*z2;

=1.0-(yy+zz);ni[l][0]=xy-wz;

=xz+wy;m[3][0]=0.0;

=xy+wz;m[l][l]=1.0-(xx+zz);

=yz-wx;m[3][l]=0.0;

=xz-wy;m[l][2]=yz+wx;

=1.0-(xx+yy);m[3][2]=0.0;

=0;in[l][3]=0;

=0;m[3][3]=1;

•交互计算机图形学的一个主要问题就是如

何应用二维的设备(如鼠标)控制三维的

对象

例如：如何构造一个实例矩阵？

•替代方式

虚拟跟踪球

三维输入设备，如：空间球(spaceball)

应用屏幕区域：根据不同的鼠标按钮状态，利

用到中心点的距离控制角度、位置、放缩

物理跟踪球

•跟踪球是一个底朝上的鼠标

•如果球和滚轴之间有小的摩擦力，我们可以推

动球使其模持滚动产生连续的变化

•两种可能的操作模式

连续推动或跟踪手的运动

旋转

_____________________7

鼠标模拟跟踪球

•问题:我们希望从鼠标得到两种行为模式

•我们用鼠标模拟无摩擦（理想）跟踪球

•一'旦开始旋转，就会一直旋转，除非强迫停止

•分两步解决：

•把跟踪球位置映射到鼠标位置

用GLUT得到恰当的模式

跟踪球的标架

原点在球心

X

投影跟踪球位置

•把球面上一点正交投影到y=0平面

Z

逆投影

•因为投影平面和上半球面都是二维曲面,

我们可以逆向投影

•y=0平面上一点(xQz)对应到半球面上的

点(x,y,z),这里

2_*2_2ifr>|x|>0,r>|z|>0

y=Jrxz

计算旋转

•假设我们从鼠标得到两个点

•可以把它们投影到半球面上的点P1和p2

•这两个点确定了球面上的一个大圆

•找到恰当的旋转轴和选择角度就可以把P1

旋转到p2

利用叉积确定旋转轴备餐喊

•旋转轴就是原点和Pl,P2这两个点所确定

平面的法向.

旋转角

•Pl和p2的夹角为

sin0|=———

IPi"P2I

•如果我们缓慢移动鼠标或者频繁采样鼠标

位置，那么。将很小，我们可用近似计算

公式

sin0«0

用GLUT实现

•我们用空闲、运动和鼠标回调函数实现虚

拟跟踪球

•用三个逻辑值来控制鼠标的动作

•trackingMouse：如果真〉更新跟踪球位

置

•redrawContinue：十口果真,空闲回调函数

发出刷新信号

•trackbalIMove：如果真,更新旋转矩阵

•在这个例子里，我们用虚拟跟踪球旋转之

前建模的彩色立方体

#defineboolint/*ifsystemdoesnotsupport

booltype*/

#definefalse0

#definetrue1

#defineM_PI3.14159/*ifnotinmath.h*/

intwinWidth,winHeight;

floatangle=0.0,axis[3],trans[3];

booltrackingMouse=false;

boolredrawContinue=false;

booltrackbalIMove=false;

floatlastPos[3]={0.0,0.0,0.0};

intcurx,cury;

_int_sta_rtX,_st2artY;_________7

Voidtrackball_ptov(int*,inty,intwidth,

intheight,floatv[3])

floatd,a;

/*projectx,yontoahemispherecentered

withinwidth,height,notezisuphere*/

v[0]=(2.0*x-width)/width;

v[1]=(height-2.0*y)/height;

d=sqrt(v[0]*v[0]+v[1]*v[1]);

v[2]=cos((M_PI/2.0)*((d<1.0)?d

：1.0));

a=1.0/sqrt(v[0]*v[0]+v[l]*v[l]+

v[2]*v[2]);

v[0]*=a;v[1]*=a;v[2]*=a;

glutMotionFunc(1)

voidmouseMotion(int*,inty)

{

floatcurPos[3]

dx,dy,dz;

/*computepositiononhemisphere*/

trackball_ptov(xAy,winWidth,winHeightAcurPos);

if(trackingMouse)

computethechangeinposition

onthehemisphere*/

dx=curPos[0]-lastPos[0];

dy=curPos[1]-lastPos[1];

dz=curPos[2]-lastPos[2];

glutMotionFunc(2)

if(dx||dy||dz)

/*computethetaandcrossproduct*/

angle=90.0*sqrt(dx*dx+dy*dy+dz*dz);

axis[0]=lastPos[1]*curPos[2]一

lastPos[2]*curPos[1];

axis[1]=lastPos[2]*curPos[0]一

lastPos[0]*curPos[2];

axis[2]=lastPos[0]*curPos[1]一

lastPos[1]*curPos[0];

/*updateposition*/

last