初中数学教学的案例

数学优秀教学的案例

《数学课程标准》指出，数学课程不仅要考虑数学自身的特点，

更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基

础之上。①在以课例为载体的教师行动教育中，我们通过设计折纸活

动让学生动手实践，自主探索与合作交流，丰富了学生的学习方式和

教师的教学方式，在此过程中，学生找到了学习的乐趣，而教师对数

学教与学的方式也有了新的认识。

一、设计折纸活动的背景。

三角形的中位线一直是各种版本的教材中的经典内容，很多公

开课都选了这个内容。但在大量的听课与教学中，我们发现，对三

角形中位线性质的证明，是一个教学难点，只有少数优秀学生能在

课上独立完成，大多数学生在证明中面临困难。如何有效地解决这

个教学难点是我们课例研究的出发点。众所周知，用操作、观察、猜

想、分析的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的重要方法。由此，

我们想到了从学生已有的生活经验、数学基础出发，重新设计三角形

的中位线的教学过程。让学生从研究折纸中的图形性质探索出三角形

的中位线性质并加以说明。

一方面，折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、

纸帆船、千纸鹤、宝葫芦等。另一方面，折纸活动又是一种有效的操

作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图

形运动去发现问题、分析问题。而且折纸活动本身也承载着许多重要

的几

何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习

兴趣、好奇心与探索精神，有重要的价值。

二、教学目标。

1.在折纸的情境中，能综合运用角平分线、线段垂线的性质及与

三角形、四边形相关的一些性质和判定。

2.建立生活世界中的一些活动（剪纸与折纸游戏）与几何世界的多

种联系，激发学习几何的兴趣。

3.建立几何与现实生活问题的联系，培养数学的思考方式（联想、

类比、直觉思维）。

4.经历数学学习过程：观察一探索一猜想一验证，体会科学发现

的一般规律。

三、教学过程。

1.创设情境。

师：同学们，你们做过折纸游戏吗?折纸飞机、纸船、纸葫芦、

纸鹤等都很有趣。我们在日常生活中接触最多的纸张是长方形的，如

把这样一张纸折起一个角，就得到了一个直角三角形（教师演示），那

么怎样用长方形的纸片折出等腰三角形呢?请同学们折一下。

（学生联想以往的折纸方式折纸。）

2.提出问题。

（1）导入问题-把一个直角三角形折成长方形。

师：我们已经知道长方形纸片能折出直角三角形。现在考虑反方

向的问题，即直角三角形纸片能否折成长方形？

（学生以小组为单位，进行观察、尝试、讨论折纸，探索折法，

表达自己的发现。）

师：（实物投影）我们展开纸片，画出折痕，并标上字母（如图Do

回想折纸过程，你有什么发现?（教师提示：注意图中线段的位置与长

度的关系，图中是否有等腰三角形?哪些三角形全等?）

A

BGC

图1

生：（教师边归纳边板书）①EF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此

EFIIBC,EGIIAG

②折痕将三角形ABC分成四个全等的直角三角形，两个等腰三角

形。

③连接EC,AE=BE=EC=AB/2,A+B=90°

师：通过观察我们这张纸（图1）,大家知道了E是AB的中点，并

且得到三点发现，其中第三点中的两条性质我们以前证明过，今天我

们用折纸的方法又一次进行了说明。请大家过中点G、F作一条折痕，

思考这条折痕GF与斜边AB有什么关系?它能不能成为长方形的一边?

⑵一般问题-把一个任意三角形折成长方形。

师：现在，我们考虑更一般的问题，即一般三角形的纸片能否折

成长方形?请同学们折一折。

（学生尝试用任意三角形折长方形。教师巡视中指导：同学们可

以回想刚才是怎样折的。活动进行得差不多时，学生在投影仪上演示：

用高线转化成两个直角三角形的折叠过程。）

师：我们打开纸片展平，画出所有折痕，并标上字母（如图2）。

从刚才的折纸活动中，你发现了这个图形中线段、角和三角形之间存

在哪些位置、形状、数量关系?请各小组的同学讨论一下，发表小组

讨论结果。

A

BGDHC

图2

（教师边归纳边板书学生讨论的结果。）

①关于中点：AE=BE=AB/2,AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;

②斜边上中线：DE=AB/2,DF=AC/2;③关于中位线：EF=BC/2,GE=AD/2。

FH=AD/2o

3.提出猜想。

师：你认为在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段的一半

长？

学生发现：①线段的中点;②直角三角形斜边上的中线;③三角形

两边的中点连线。

师：我们实际上是找到了aABC两条边上的中点E、F,我们把连

接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。现在你们猜测一下这

个中位线与第三边有什么样的关系？

（学生提出猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的

一半。）

4.说明结论。

师：刚才大家猜出了三角形中位线的性质，现在你是否能验证这

个性质并加以说明。

（学生折纸，用折纸比较各条边长及各个角的大小。）

师：小组内讨论一下，如何验证?如何说明?（教师巡视中指导：

你的说明要让别人相信你是正确的。）哪位同学愿意来这里（讲台）向大

家说明!你们还有什么疑问提出来。

（学生相互说明与辩论。在实物投影仪上说明①A+B+C=180。；②

四边形EFHG是长方形。）

师：我们一起发现了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行

且等于第三边的一半，并通过折纸方法进行了验证与说明，以后我们

还要进一步证明与应用这个性质。

5.交流体验。

师：这节课你知道了什么?学会了什么?有什么发现?有什么体会?

还有什么问题与困惑？

生1：这节课使我知道了折纸中也有数学道理，感觉到生活中处

处有数学，今后要多观察，多思考。

生2：我在用直角三角形折长方形时，与组里其他同学的折法不

一样，经比较发现折的长方形没有其他同学的大。我又折了几次发现

这样拆（手举如图1方式的折纸）面积是最大的，是三角形面积的一半。

生3：我觉得用折纸比较线段和角的关系很方便，比如说可以同

时折两个一样的图形比来比去容易通过做产生出猜想，今后学几何要

多用这种方法。

师：同学们，我们在折纸操作中，通过观察，发现关系，形成猜

想，并证明我们的猜想，得出结论。这是人们发现新知识的重要方法。

6.布置作业。

师：今天课后的作业是用正方形的纸片折叠图形，按工作单进行

操作与探究，从中发现问题。

四、教学活动后教研

从上述过程可以看出，教学活动的过程经历了创设情境、提出问

题、提出猜想、说明结论、交流体验与布置作业6个环节。在随后的

教研活动中教师们对如下几个问题进行讨论，引发了我们更多的思

考。

1.关于活动式教学。

活动教学方式，主要强调学生从已有生活经验出发、在动手操作

的活动过程中学习，进而完成对知识的主动建构。但是数学探究活动

的发生又不同于科学探究活动，具体实物材料的摆弄和操作（折纸活

动）只是外在的活动，而实质性的数学探究往往发生在学生的头脑里-

教师的任务就是使学生经历直观一感性认识一理性思考的活动过程，

同时体验和感受数学发现过程（从猜想到说明/证明）的欣喜和挑战。而

折纸中的图形性质这一课例无疑关注了学生对过程性知识的学习并

增强了学生对数学学习过程的情感体验。布鲁纳也指出：我们教一门

科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与

获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。②可见，让学生在

活动中学会学习本身比学会什么更重要。

2o关于问题情境的设计。

杜威的教学五步③反映了他做中学的教育思想，具体地体现为教

师在教学中要为学生准备一个应用经验的真实情境-与学生现实生活

经验相联系的情境;与此同时给予一些暗示，使学生有兴趣了解某个

问题。本课例中把三角形折成一个长方形是以折纸情境中产生的真实

问题作为思维的刺激物，来激发学生迈向几何性质的学习。教师不是

把现成的教材提供给学生，而是要学生参与到活动中去，启发与引导

学生从自己的生活经验以及折纸活动中自然产生出方法（实际上是学

生已有生活经验的有效运用），来应对折纸情境中所产生的问题、考

虑从前没有认识到的事物，使经验有真正的增长，形成新性质的经验。

而且在情境的实践活动中存在着大量的默会知识，所以实施有效的活

动式教学的关键在于处理好显性知识与默会知识学习的四种关系-即

言传、内化、外显、意会的有机整合；O④并在此基础之上，有效地

进行知识的传承与创新。⑤

3.关于培养学生数学地思维。

数学的特点之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的关系，但它

们都有非常多的现实背景。该课例在教学设计中关注了这个特点，力

图体现数学事实的现实背景，并从中选取与学生生活世界密切相关的

情境，使学生思维的抽象过程犹如自然发生。这样，学生感受到了鲜

活的数学而不仅仅是它冰冷的美丽。数学的另一特点是严密性，表现

为逻辑严格与计算精确，这种严密过程正体现了人类认识的逐渐深

化。在课例中，我们也注意了学生的认知特点，在直观几何到证明几

何的严谨化过程之中做一过渡，进行几何说明，即要求学生做到让别

人信服你是正确的。以此启蒙证明与反驳的思维方式。同时，这反映

了一个逐渐追求严谨的过

程。在课例设计的问题解决活动中，体现了一些数学家常用的思

想方法：（1）思考问题的逆（反方向）问题，以提出新问题（如从用常见的

长方形纸折出三角形问题到反过来的用三角形纸折长方形问题）;（2）

从一般问题的特例（直角三角形折为长方形）人手，寻找问题解决的思

路乂3）把一个一般性问题（一般三角形折为长方形）转化为解决过的问

题（直角三角形折成长方形）的转化与化归思想乂4）归纳与分类的思想

（把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类）;（5）从变化中寻找不

变性的思想（折纸中变化的线段长度与长度的倍半关系）。

4.关于活动课过程的展开。

活动课中学生的数学活动如何展开?这取决于多种因素，主要有

教师特点、学生基础、内容水平、方法运用与情境引入，等等。毫无

疑问，学生的主动探索与尝试是活动课展开的核心，这里教师如何引

导是非常关键的。在设计教师的引导活动时，我们经历了验证学过定

理（复习）还是发现（数学）问题，以知识结构组织方式作为主要路线还

是以认知活动序进为主要线索及活动中默会层面的知识如何感悟等

问题的困扰，曾几易教学设计，几次实践探索。如，在第一稿的设计

中教师打算通过折纸活动复习本学期学过的线段垂直平分线、角的平

分线、直角三角形斜边中线等定理及含30o角的直角三角形性质定

理，还探究以前没有学过的三角形中位线定理。这实际上是通过折纸

验证定理，折纸活动把定理的复习与发现贯穿起来，课堂的容量自然

就不小了。但在后来学习共同体的研讨中，大家认识到通过折纸操作

验证已学过的几何定理，失去了操作的意义，也会占用较多的课堂时

间，教学重点要定位于学生通过折纸操作来发现新知识，为学生提供

更多机会和时间，让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归

纳与总结。促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看

待问题的方式，并藉此获得知识。又如，在第一次上课之后，执教老

师反思道：以往教学中注重的是几何论证，讲究的是逻辑推理的严密

性，不太关注知识是如何产生的;而折纸活动是操作几何，教师和学

生都一时难以适应从折纸的角度去探究、去发现、去验证。大家仔细

观察课堂录像后认为，要创设与学生实际生活经验密切相关的情节，

激活学生原有的经验，体现循序渐进和学以致用。又如，在后来的一

次平行班上课中，我们发现学生在折纸活动中思维放开了，有了多种

尝试和结果，能够较好地体现学生的主体性，但是操作与尝试的方向

不够明确，深度上也有欠缺。仔细观察课堂录像使我们认清了教学中

的另一主体⑥-教师的作用，教师如何点拨、引导使学生在多种尝试

和结果中提炼出关键问题与有用的知识，不仅是教学设计中要讲究

的，也是教学实践中师生智慧的体现，也与默会层