6.4.3.3课时余弦定理正弦定理应用举例练习高一下学期数学人教A版

6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例一、基础巩固1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为()A.12m B.8mC.33m D.43m2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(忽略两人的身高差距)()A.d1>d2 B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20m3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.1762nmile/h B.34C.1722nmile/h D.344.若某人在A点测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达B点,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A.110米 B.112米C.220米 D.224米5.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离,已知AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为()A.3km B.2kmC.1.5km D.2km6.某人从A处出发,沿北偏东60°行走33km到达B处,再沿正东方向行走2km到达C处,则A,C两地间的距离为km.

7.坡度为45°的斜坡长为100m,现在要把坡度改为30°,则坡底要伸长m.8.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为3a2的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=9.岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以10海里每小时的速度向东南方向航行(如图所示),观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处,随即以103海里每小时的速度前往拦截.(1)问:海监船接到通知时,距离岛A多少海里?(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间.二、能力提升10.如图,从气球A处测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BC是()A.240(31)m B.180(21)mC.120(31)m D.30(3+1)m11.起重机装置示意图如图所示,已知支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30m B.153C.153m D.45m12.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500m,则电视塔AB的高度是()A.1002m B.400mC.2003m D.500m13.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=45.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为(A.485海里/时 B.385海里/时C.27海里/时 D.46海里/时14.海上某货轮在A处看灯塔B,灯塔B在它的北偏东75°,距离为126nmile处;在A处看灯塔C,灯塔C在它的北偏西30°,距离为83nmile处;货轮由A处沿正北航行到D处时,发现灯塔B在其东偏南30°的方向处,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.15.如图,游客从景点A下山至C有两种路径:一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山.甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8min,AC长为1260m,若cosA=1213,sinB=6365.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,求乙步行的速度v三、拓展创新16.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座城市B,C,D,三座城市在同一直线上.已知B,C两市相距20km,C,D两市相距34km,C市在B,D两市之间,如图所示.某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D市感到地表震动.已知震波在地表传播的速度为1.5km/s,求震中A到B,C,D三市的距离.参考答案一、基础巩固1.答案:D解析:由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°30°30°=120°,由正弦定理,得ABsin即AB=ACsinCsinB=2.答案:B解析:仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1<d2.3.答案:A解析:如图所示,在△PMN中,由正弦定理,得PMsin45∴MN=346nmile,∴航行速度v=MN4=4.答案:A解析:如图,CD为金字塔,设CD=h米,又∠DBC=∠BDC=45°,故BC=h米.在△ACD中,AB=80米,∠DAC=30°,则由已知,得ACtan∠DAC=DC,即(80+h)×33=h,解得h=40(3+1)≈109.选项A最接近.故选A5.答案:A解析:根据余弦定理AB2=AC2+BC22AC·BC·cosC,∴AB=AC26.答案:7解析:如图所示,由题意可知AB=33km,BC=2km,∠ABC=150°.由余弦定理,得AC2=27+42×33×2×cos150°=49,则AC=7km.故A,C两地间的距离为7km.7.答案:50(6-解析:画出示意图,如图所示.BD=100m,∠BDA=45°,∠BCA=30°,设CD=xm,则(x+DA)·tan30°=DAtan45°,又因为DA=BDcos45°=100×22=502所以x=DAtan45°tan30°DA=502×18.解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又∠ACD=60°,∴∠DAC=60°.∴AD=CD=32a在△BCD中,∠DBC=180°30°105°=45°,由正弦定理有DBsin∴BD=CD·sin∠BCDsin∠DBC在△ADB中,∵AB2=AD2+BD22·AD·BD·cos∠ADB=34a2+3+34a22×32a×3+∴AB=64a∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a9.解:(1)根据题意得∠BAC=45°,∠ABC=75°,BC=10海里,所以∠ACB=180°75°45°=60°.在△ABC中,由ABsin∠ACB=BCsin∠BAC所以海监船接到通知时,距离岛A56海里.(2)设海监船航行时间为t小时,则BD=103t海里,CD=10t海里,又因为∠BCD=180°∠ACB=180°60°=120°,所以BD2=BC2+CD22BC·CD·cos120°,所以300t2=100+100t22×10×10t×-1所以2t2t1=0,解得t=1或t=12(舍去)所以CD=10海里,BC=CD,所以∠CBD=12×(180°120°)=∠ABD=75°+30°=105°.所以海监船沿南偏东75°方向航行,航行时间为1小时.二、能力提升10.答案:C解析:由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60m,∴AC=120m.在△ABC中,∠BAC=75°30°=45°,∠ABC=180°45°30°=105°,由正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠11.答案:B解析:在△ABC中,AC=15m,AB=519m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=AC2+∴sin∠ACB=32又∠ACB+∠ACD=180°,∴sin∠ACD=sin∠ACB=32在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×32=12.答案:D解析:设AB=xm,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=AB=xm.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=3xm.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500m,由余弦定理得(3x)2=x2+50022×500xcos120°,解得x=500.13.答案:A解析:因为cosθ=45,0°<θ<45°,所以sinθ=35,cos(45°θ)=在△ABC中,BC2=(202)2+1022×202×10×7210所以BC=285海里,该货船的船速为28512=485海里14.解:由题意,画出示意图.(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=126nmile.由正弦定理,得AD=ABsin60°·sin45°=(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC22AD·AC·cos30°=242+(83)22×24×83×32=192,故CD=815.解:在△ABC中,∵cosA=1213,sinB=63∴sinA=1-由正弦定理,得BC=AC·sin乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550(m),甲还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得500v解得125043≤v∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度vm/min的取值范围是1三、拓展创新16.解:由题意可知,在