离散型随机变量的均值教案-高二下学期数学人教A版选择性

7.3离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值浮山中学潘淑靖一、教学目标1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；2.理解离散型随机变量的均值的性质；3.会利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题.二、教学重难点1.教学重点理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.教学难点会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.三、教学过程（一）新课导入复习：离散型随机变量的分布列及其性质.1.分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，⋯，xn，我们称X取每一个值的概率，i2.离散型随机变量分布列的性质：（1）pi≥0，i=1，2，…（2）p1问题引入：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢？类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.（二）新知探索假设甲射箭10次，射中7环、8环、9环，10环的次数分别为1，2，3，4.则甲10次射箭射中的平均环数为x=将上式写成如下形式：x那么，这里的110，210，310假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为.甲n次射箭射中的平均环数为.当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于.即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为.从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，X…P…则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为，所以.即该运动员罚球1次的得分X.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么.例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.解：X的分布列为.因此，.事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.思考：如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？即和（其中a，b为常数）分别与有怎样的关系？设X的分布列为.根据随机变量均值的定义，类似地，可以证明.一般地，有.例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.歌曲ABC猜对的概率获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.分析:根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金.因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列.解:分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立P（X=0）=P(A)=0.2，P(X=1000)=P(ABP(X=3000)=P(ABX的分布列为：X0100030006000P则X的均值为：E(X)=0x0.2+1000x0.32+3000x0.288+6000x0.192=2336巩固练习某地最近出台一项某证件考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会一旦某次考试通过，即可领取证件，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加该证件考试，设他每次考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9,求李明一年内参加该证件考试次数X的分布列及均值.解：X可取的值为1，2，3，4则P(X=1)=0.6，P(X=2)=（1−0.6）×0.7=0.28，P(X=3)=（1−0.6）×（1−0.7）×0.8=0.096.P(X=4)=（1−0.6）×（1−0.7）×（1−0.8）=0.024.所以抽取次数X的分布列为：X1234PX的均值为：E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.方法技巧：求离散型随机变量的均值的一般步骤(1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；(2)求概率：计算出P(X=k)；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X).其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.已知随机变量X的分布列为：X21012P111m1若Y=−2X，则E(Y)=______.解：由随机变量分布列的性质，得14+13+15+m+120=1，解得∴E(X)=(−2)×14+(−1)×13+0×15+1×16+2×由Y=−2X，得E(Y)=−2E(X)，即E(Y)=−2×(−1730.)=17方法技巧：若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b，a，b为常数，求E(Y)的两种思路：(1)先求出E(X)，再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y).随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三、等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).解(1)：X的所有可能取值有6，2，1，2，P(X=6)=126/200=0.63，P(X=2)=50/200=0.25，P(X=1)=20/200=0.1，P(X=−2)=4/200=0.02.故的分布列为：X6212P(2)解：E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(−2)×0.02=4.34(万元).方法技巧：均值再实际中有广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.（四）课堂小