2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=1−2i，则z=(

)A.2+i B.−2+i C.−2−i D.2−i2.已知某校有3000名男学生，2400名女学生，为了了解该校学生的体重情况，按男､女分层抽样的方法随机抽取180名学生进行调查，则被抽取到的女学生人数是(

)A.60 B.80 C.100 D.1203.已知向量a=−2,m+1,b=1,3，且A.−5 B.5 C.−7 D.74.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，CA.33 B.63 C.5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥n，则n//α B.若m//α，m//β，则α//β

C.若m//α，m⊥n，则n⊥α D.若m⊥α，m//β，则α⊥β6.在平静的湖面上，小船甲从A处沿北偏西15∘的方向匀速行驶，同时，在A的正东方向，且相距202千米的B处，小船乙沿北偏西60∘的方向行驶，经过2A.52千米/时 B.53千米/时 C.10千米/时 D.7.在边长为2的正△ABC中，AE=λAB,λ∈0,1,AF=μAC,μ∈0,1，点DA.1516 B.1916 C.25168.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则m−n=(

)A.10 B.53 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1+i,z为z的共轭复数，若z0=zA.z0在复平面内对应的点位于x轴上 B.z0的实部为0

C.z0的虚部为−110.已知a,b,cA.a+2c，a+2b，b−c B.a+2b，a−b，b−c

C.11.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1A.三棱锥A−D1PC的体积不变 B.

A1P//平面ACD1

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的方向向是为a=2,−1,1，平面α的一个法向量为b=−1,2,1，则直线l与平面α所成的角是13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是

立方米．14.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，4sinB=3bcosA，AD是内角A的角平分线，▵ABC和▵ABD的面积分别是S1，S2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量(单位：kg)进行统计，所得数据都在1,4内，按1,1.5,1.5,2，2,2.5,(1)求图中a的值；(2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；(3)若这批鱼有1000条，估计这批鱼中重量在1.5,2.5内

数量．16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PC，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点．(1)证明：PB//平面ACE．(2)证明：平面PBD⊥平面ACE．17.(本小题15分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C=2A,c=4(1)求cosA(2)若a=3，求▵ABC的周长．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD=2AB=2BC=4,BC//AD，E,F分别是棱AD,AP的中点，PA=PD=22，平面PAD⊥平面(1)证明：AC⊥平面PBE．(2)求二面角P−BF−E的正弦值．19.(本小题17分)在复数域中，对于正整数n满足zn=1的所有复数ωk=cos2kπn+isin2kπnk∈Z称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有zm≠1，则称这种复数为(1)直接写出复数z的3次单位根，并指出那些是复数z的3次本原单位根(无需证明)．(2)①若ωk是复数z的8次本原单位根，证明：1+②若ωk是复数z的n次本原单位根，证明：1+ωk参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

7.A

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ABD

12.π613.0.672π

14.833

15.解：(1)由频率分布直方图可得0.1+2a+0.6+0.5+0.4×0.5=1解得a=0.2；

(2)设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为m，因为0.1+0.2+0.6×0.5=0.45<0.5，0.45+0.5×0.5=0.7>0.5所以m∈则0.45+m−2.5×0.5=0.5，解得即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为2.6kg；

(3)由频率分布直方图可知这批鱼中重量在1.5,2.5内的频率是0.2+0.6×0.5=0.4则这批鱼中重量在1.5,2.5内的数量是1000×0.4=400条.

16.解：(1)记AC∩BD=O，连接OE．因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点．因为E是PD的中点，所以OE//PB．因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB//平面ACE．

(2)连接OP．因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点．因为PA=PC，所以OP⊥AC．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为OP,BD⊂平面PBD，且OP∩BD=O，所以AC⊥平面PBD．因为AC⊂平面ACE，所以平面PBD⊥平面ACE．

17.解：(1)因为C=2A，所以sinC=2又c=43a，所以sin因为sinA>0，所以cos

(2)因为a=3，所以c=4由余弦定理a2=b整理得3b2−16b+21=0，解得b=因cosA=23当b=3时，cosC=当b=73时，则b=73，▵ABC的周长为

18.解：(1)连接CE．因为E是AD的中点，所以AD=2AE．因为AD=2AB=2BC=4,BC//AD，所以四边形ABCE是菱形，则BE⊥AC．因为PA=PD,E是AD的中点，所以PE⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC．因为BE,PE⊂平面PBE，且BE∩PE=E，所以AC⊥平面PBE．

(2)取BC的中点H，连接EH，易证EH,ED,EP两两垂直，故以E为原点，以EH,ED，EP的方向分别为由题中数据可得B则BF=设平面PBF的法向量为n=则n⋅BF=−3设平面BEF的法向量为m=则m⋅BF=−3设二面角P−BF−E为θ，则cosθ故sinθ=1−cos2

19.解：(1)由题意可得zn=1的解为