2023-2024学年广东省清远市高一下学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省清远市高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取130名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有400，560，340名学生，则从C学校中应抽取的人数为(

)A.34 B.40 C.56 D.682.要得到函数f(x)=sin(2x−23)，x∈R的图象，只需将函数g(x)=sinA.横坐标向左平移π3个单位长度，纵坐标不变B.横坐标向右平移π3个单位长度，纵坐标不变

C.横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变D.3.下列说法中，正确的是(

)A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.一个多面体至少有4个面

C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台4.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为(

)A.π6 B.π C.4π D.5.弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度ℎ厘米的关系可用函数ℎ= Asinωt(A>0,ω>0)来确定，其图象如图所示，则ω的值是(

)

A.π8 B.π6 C.π46.已知正方形ABCD的边长为2，AB=a，BC=b，AC=A.0 B.8 C.22 7.设z为复数，若|z+2i|=1，则|z|的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.48.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面αA.126 B.106 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数不大于2”，R=“点数为1”.则下列结论正确的是(

)A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件

C.E，G不是互斥事件 D.G，R是互斥事件10.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲68 71 72 72 82乙66 70 72 78 79则(

)A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数

C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差D.甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足m=(1,−3)，n=(a+b+c,a−b +c)且m⊥nA.a+c=2bB.角B的最大值为π3

C.A:C=1:2D.若asin三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=3−4i，则z2+i的虚部为

．13.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b=21，a=4，则c=14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且点E满足PE=13PC，已知AB=2，AD=22，PA=2，则P到平面

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=m2−m−6m+3(1)z为实数;(2)z为纯虚数;(3)z为虚数．16.(本小题15分)

某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的众数;(2)求a，b的值;(3)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．17.(本小题15分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos(1)求B;(2)若C=π4且△ABC的面积为3+318.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD//BC，∠ABC=90

(1)求证：MN//平面ABCD;(2)求证：CD⊥PD;(3)若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，求二面角B−PC−D的正切值．19.(本小题17分)将连续正整数1，2，3，⋯，n(n∈N∗)从小到大排列构成一个数123⋯n，F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数字，P(n)(1)求P(101);(2)当n≤2024时，求F(n)的表达式;(3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，ℎ(n)=f(n)−g(n)，S={n|ℎ(n)=1,n≤100,n∈N∗}，求当n∈S时P(n)参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.C

6.D

7.A

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.−1113.5

14.215.解：解：(1)当m2−2m−15=0且m+3≠0时，复数z为实数，

解得m=5，所以当m=5时，复数z为实数．

(2)当m2−m−6m+3=0且m+3≠0，且m2−2m−15≠0时，复数z为纯虚数，

由m2−m−6m+3=0，得m=3或m=−2，

由m+3≠0，且m2−2m−15≠0得m≠−3且m≠5，

所以当m=3或m=−2，复数z为纯虚数．

(3)当m2−2m−15≠0且m+3≠0时，复数z为虚数，

解得m≠−3且m≠5，所以当m≠−3且m≠5时，复数z为虚数，

综上，当m=5时，复数z为实数;

当16.解：(1)由频率分布直方图可知面试成绩在区间[65,75]内的候选者最多，可以将这个区间的中点作为众数的估计值，

所以估计这100名候选者面试成绩的众数为65+752=70．

(2)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045+0.020+b)×10=0.7，解得b=0.005，

所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，

即(a+b)×10=0.3，所以a=0.025．

(3)前三个分组频率之和为0.75，

前四个分组频率之和为0.95，

所以第80百分位数在75和85之间，

即为75+17.解：(1)由bcosC+3bsinC−a−c=0及正弦定理得sinBcosC+ 3sinBsinC−sinA−sinC= 0，

∵sinA=sin(π−B− C)=sin(B+ C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以3sinBsinC−cosBsinC−sinC= 0．

由于sinC≠0，3sinB−18.解：(1)证明：连接AC，

在△ACP中，因为M、N为对应边上的中点，

所以MN为中位线，MN//AC，

又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴MN/​/平面ABCD．

(2)证明：在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，

∴△ABD是等腰直角三角形，又BC=2，则AB=1，CD=BD=2，∴BC2=CD2+BD2，

∴△BCD是等腰直角三角形，CD⊥DB，

∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，PB⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，

平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PB⊥平面ABCD，

又CD⊂平面ABCD，所以PB⊥CD，

又PB∩BD=B，DB⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，

所以CD⊥平面PBD．

又PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD．

(3)∵直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，

由(1)可得直线PB⊥平面ABCD，

∴∠PDB为直线PD与底面ABCD所成的角，

又BC=2，则AB=1，CD=BD=2，

∴在Rt△PBD中，cos∠PDB=BDPD=13，∴PD=32，PB=4，

设BC的中点为E，连接DE，过点E作PC的垂线交PC于F，

连接DF由(1)知，DE⊥CB，DE⊥PB，且PB、BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，则DE⊥平面PBC，

∵PC⊂平面PBC，∴DE⊥PC．∵DE、EF⊂平面DEF，∴PC⊥平面DEF，

∵DF⊂平面DEF，∴PC⊥DF．

又PC⊥EF，则∠DFE是二面角B−PC−D的平面角．

∵DE=AB=1，EF⊥CF，∠PBC=90∘，BC=2，PB=419.解：(1)当n=101时，F(101)=9+90×2+2×3=195，

即这个数中共有195个数字，其中数字0的个数为12，

则恰好取到0的概率为P(101)=12195=465；

(2)当1≤n≤9时，这个数由n个1位数组成，F(n)=n;

当10≤n≤99时，这个数由9个1位数组成，n−9个两位数组成，则F(n)=2n−9;

当100≤n≤999时，这个数由9个1位数组成，90个两位数组成，n−99个三位数组成，

Fn=3n−108;

当1000≤n≤2024时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，

n−999个四位数组成，F(n)=4n−1107;

综上所述：F(n)=n,1⩽n⩽92n−9,10⩽n⩽993n−108,100⩽n⩽9994n−1107,1000⩽n⩽2024(n∈N∗)；

(3)n=b(1≤b≤9,b∈N∗)时，g(n)=0，

当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N∗,b∈N