浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有〖答案〗必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸.一、单选题（每小题5分共40分）1.集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，则，故B正确.故选：B2.已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（）①，则②，则③，则④，则A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④〖答案〗C〖解析〗若，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，则，故①正确；若，则或与相交或异面，故②错误；若，由垂直同一条直线的两个平面平行，则，故③正确；若，由线面垂直和线面平行的性质可得，故④正确.故选：C.3.已知非零向量，，则“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的（）条件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗因为非零向量，，所以当两向量，数量积大于0时，两向量，夹角是锐角或是零度的角，而当两向量，夹角是锐角时，两向量，数量积大于0，所以“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的必要不充分条件.故选：A4.东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种.A.120 B.240 C.480 D.720〖答案〗B〖解析〗因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种，又因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有种，所以全部排法有：种，故选：B5.已知等差数列，前项和为是方程两根，则（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗D〖解析〗因为是方程两根，所以，所以，所以.故选：D6.空间点，则点到直线的距离（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，所以，所以，所以点A到直线BC的距离.故选：D.7已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以是第四象限角，所以，而，故，化简得，而，代入得，解得(正根舍去)，故B正确.故选：B8.三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗中，，由余弦定理得；设底面的外心为，外接圆的半径为；由正弦定理，则；连结，此时的外接球的球心在上，利用直角可得：，设的外接球的半径为；此时，在直角中，，即，解得；所以，三棱锥的外接球的表面积.故选：.二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9.已知直线和直线，则下列说法正确的是（）A.若，则表示与轴平行或重合的直线B.直线可以表示任意一条直线C.若，则D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确；对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若，且或，则，故C错误；对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确.故选：ABD.10.已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.存在最大值〖答案〗ACD〖解析〗由已知，又，，所以，，A正确，B错误；，，所以，C正确；因为且，所以等比数列递减数列，于是，则的最大值为，D正确.故选：ACD11.已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（）A. B.在定义域上单调递增C.是偶函数 D.函数有两个极值点〖答案〗AD〖解析〗对于A，令得，即，A正确；对于B，若在定义域上单调递增，当时，，令，得，即，与在定义域上单调递增矛盾，故B错误；对于C，若偶函数，则，且，因为，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C错误；对于D，当时，，记，则所以，令解得或，因为不恒为零，所以在两边异号，所以为的极值点，所以函数有两个极值点，D正确.故选：AD三、填空题（每小题5分共15分）12.复数，则的虚部为______．〖答案〗1〖解析〗因为，所以，，故的虚部为1.故〖答案〗为：113.一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______〖答案〗172〖解析〗10个数据从小到大排列为：，，上四分位数是第8个数据，即172.故〖答案〗为：172.14.在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为______〖答案〗〖解析〗因为为边上一点，过作交于，则，当在之间时，无法构成，此时如图所示，所以在的延长线上，可得，所以，，因为，所以，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，当且仅当时取等，此时解得，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题（共77分）15.函数，求的最大值和最小值解：，又时递减，时递增，且，，，16.如图多面体，底面为菱形，，，，平面平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.解：（1）在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.（2）菱形中，所以为等边三角形，取中点，连接，所以，又，所以，又平面，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设，则，又，所以，所以，即，所以，设平面的一个法向量为，则，取设平面的一个法向量，则，取，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面所成锐角的余弦值为.17.（1）求圆和圆的公切线（2）若与抛物线相交，求弦长解：（1）当斜率存在时，设公切线为，因为与两圆相切，所以，解得.切线当斜率不存在时，也符合题意，综上：公切线为：或；（2）当切线和时经检验无交点，当切线为时，求得弦长为1，当切线为时，代入，得：，由韦达定理得，所以由弦长公式得：，，综上：弦长为1或18.在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项.（1）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；（2）已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和.解：（1）易知斐波那契数列对应的特征方程为，解得两个实根分别为，令，代入可得，解得，所以斐波那契数列的通项公式为（2）易知数列对应的特征方程为，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差为1的等差数列，，所以，所以19.已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线且交双曲