青海省海南藏族自治州2024届高考二模数学试卷（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省海南藏族自治州2024届高考二模数学试卷（理）第I卷一、选择题1.设集合，且，则集合可以为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，此时，不合题意；对于B，，符合题意；对于C，，不合题意；对于D，，不合题意.故选：B2.从6人中选3人参加演讲比赛，则不同的选择共有（）A.15种 B.18种 C.20种 D.120种〖答案〗C〖解析〗从6人中选3人参加演讲比赛，则不同的选择共有种.故选：C3.函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵函数，∴，解得．故选：D．4.在菱形中，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，在菱形中，，所以向量与的夹角等于向量与的夹角，所以向量与的夹角为.故选：C.5.设满足约束条件则的最大值是（）A. B.0 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗由题意x，y满足平面区域如图：联立，解得，所以当直线经过时，z取到最大值为.故选：D6.已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（）A.286 B.293 C.252 D.246〖答案〗B〖解析〗由题意得，，，所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.故选：B.7.已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，曲线，则曲线M上的点到点和距离之和为，根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆，其中，则，所以曲线M的的方程为，设点满足且，可得，圆的圆心为，半径为1，则，又函数在单调递减，所以，所以的最小值是.故选：C8.某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖，则有种选法；若第三行不选择猴，则有种选法，故所求概率为.故选：C.9.已知函数，且.若的最小值为，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数，且，的最小值为，则，所以，故，所以，所以，令得，故的单调递增区间为.故选：A10.在四面体中,平面平面,是直角三角形，，则二面角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设的中点分别为，连接，则，因为，所以，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，而平面，则，因为是直角三角形，，所以，所以，且，因为，且平面，所以平面，又因为平面，则，所以为二面角的平面角，且.故选：A.11.已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（）A.14 B.12 C.16 D.18〖答案〗A〖解析〗将代入，得，将代入，得，所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，所以，解得，故由抛物线定义知.故选：A12.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因为为奇函数，所以，所以的图象关于点中心对称，则.因为为偶函数，所以，所以图象关于直线轴对称.由，得，所以，则，则的周期为4，，则.故选：D第II卷二、填空题13.在复数范围内，方程的解集为__________.〖答案〗〖解析〗由，得，得或，则或.故〖答案〗为：.14.若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为__________，方差为__________.〖答案〗〖解析〗因为数据的中位数为16，方差为64，所以数据的中位数为4，方差为，所以数据的中位数为，方差为4.故〖答案〗为：3；4.15.已知直四棱柱的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，为棱上的一点，且，若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，底面ABCD是边长为2的菱形，且，因为以为球心球经过点，所以球的半径为1，又，所以，所以该球与直四棱柱的公共部分的体积为.故〖答案〗为：.16.已知是内一点，，则______.〖答案〗〖解析〗在中，，设，由余弦定理可得，可得，在中，，所以，由正弦定理得，即，可得，在中，由余弦定理得，可得，所以，可得，因此．故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.

优秀人数非优秀人数合计强化训练前

强化训练后

合计

将上面的表格补充完整，并回答能否有的把握认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.附:.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）强化训练后的平均成绩约为（2）根据图1可知，强化训练前的优秀人数为，此时非优秀人数为，根据图2可知，强化训练后的优秀人数为，此时非优秀人数为，补充完整的表格为

优秀人数非优秀人数合计强化训练前4060100强化训练后6040100合计100100200则，所以有的把握认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.18.如图，在三棱锥中，平面平．（1）证明：．（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，又，面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，则，则，设平面的法向量为，则，即，令得．所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）由是等比数列，设公比为，则由得，所以，所以，所以，故由得，所以，所以，所以；（2）由（1）可得，当时，.当时，.经检验不适合，所以，所以，则数列的前项和，，两式相减可得，所以.20.设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点.（1）判断曲线是否有拐点，并说明理由；（2）已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值.（1）解：由函数，可得，由，得，又由，得，所以曲线没有拐点.（2）解：由函数，可得，因为为曲线的一个拐点，所以，所以，解得，经检验，当时，，所以.当或时，，则的单调递增区间为；当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为，故当时，取得极大值，且极大值为；当时，取得极小值，且极小值为.21.已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.（1）求的方程；（2）证明：直线的斜率存在，且直线过定点.（1）解：因为虚轴长为，所以，将的坐标代入方程，得，解得，故的方程为.（2）证明：设，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为．当直线斜率不存在时，设，联立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直线的斜率存在，设直线的方程为，代入的方程得，则，由，可得，即，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为，直线过点，与条件矛盾，舍去；当时，直线的方程为，直线过定点（二）选考题[选修坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求.解：（1）因为曲线：即，所以由得曲线的极坐标方程为：，曲线的方程为，所以由得曲线的极坐标方程为：，整理得.（2）射线与曲线交于点A，故，故，射线与曲线交于点，故，故