江苏省泰州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，若，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，则，解得.故选：C.2.复数（为复数单位）的共轭复数是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则复数（为复数单位）的共轭复数是.故选：A.3.采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗简单随机抽样每个个体被抽到的概率，含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为.故选：D.4.望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为（）米.A.30 B.32 C.34 D.36〖答案〗B〖解析〗在中，由题意可得，由正弦定理可得，可得（米），又因为，所以（米）.故选：B.5.若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：.故选：A.6.在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为，由条件可得，，，，则，，则，所以为等腰直角三角形，所以，即.故选：B.7.已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，故，因为，所以，则，因为，所以，则，故.故选：C.8.在中，点在线段上，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗中，点在线段上，，，如图所示，则，，由正弦定理，中，，中，，由，则，即，得，.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（）A.极差为6 B.平均数为5.25C.30百分位数为3 D.众数为6〖答案〗AC〖解析〗数据2，6，8，2，3，4，6，8，从小到大排为2，2，3，4，6，6，8，8，极差为，A选项正确；平均数为，B选项错误；，30百分位数是第3个数据，所以30百分位数为3，C选项正确；众数为6和8，D选项错误.故选：AC.10.已知三个非零向量，，共面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则存在实数，使〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，，，根据向量的传递性得，故选项A正确；对于选项B，若，，因为它们为共面向量，则，故选项B正确；对于选项C，由得，因为，，是三个非零向量，所以得，无法推出，故选项C错误；对于选项D，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故选项D正确.故选：ABD.11.已知事件A，B发生的概率分别为，则（）A.若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为B.若A，B互斥，则A，B至少有一个发生的概率为C.若A，B相互独立，则A，B至多有一个发生的概率为D.若A，B相互独立，则A，B至少有一个发生的概率为〖答案〗BD〖解析〗依题意，，对于A，，则A，B至多有一个发生的概率为，A错误；对于B，，则A，B至少有一个发生的概率，B正确；对于C，，A，B至多有一个发生的概率为，C错误；对于D，，则A，B至少有一个发生的概率，D正确.故选：BD.12.已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（）A.与始终保持垂直B.的最小值为C.经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为D.以为球心，为半径的球面与平面的交线长为〖答案〗AC〖解析〗对于A，连接，由正方形的性质可得，由正方体的性质可得，又，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，所以平面，因为平面，所以，A正确；对于B，把沿展开到与共面，如图，则三点共线时，最小，且最小值为，在中，，由余弦定理可得，B不正确；对于C，分别取的中点，连接，由正方体的性质可知四边形是菱形，且是过面积最小的截面，理由如下：过点作于，设，则，由直角三角形性质可得：，，，由可得，显然时，取到最小值，此时截面面积最小，最小面积为，C正确；对于D，过点作于点，由平面，可得，又因为，所以平面，以为球心，为半径的球面被平面所截的圆面的圆心为，半径为，则，所以，即，以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心的圆周，其长度为，D不正确.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．〖答案〗〖解析〗由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故〖答案〗为：2π．15.已知，，则满足的一个的值为______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，又，，即，化简可得，，或，又，，故，，故满足题意.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.16.已知的垂心为点，面积为15，且，则______；若，则______.〖答案〗305〖解析〗如图，是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；，由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以，.故〖答案〗为：305.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为实数，复数，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为，若纯虚数，则，解得.（2）若，则，可得，解得，所以的取值范围.18.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点，.求证：（1）∥平面；（2）.解：（1）连接，如图，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以∥平面.（2）因为，即，又，且，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则四边形为菱形，所以.19.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件与是否相互独立，并证明.解：（1）两人摸出球的所有情况：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），共12种；事件包含的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），共6种；事件包含的情况有：（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1）（4，2），共6种；所以，故小明的判断不正确.（2）事件包含的情况有：（1，2），（2，1），故；因为，；所以事件与不相互独立.20.已知.（1）若，试判断的形状，并证明；（2）设的中点为.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①；②；③的面积为.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.解：（1）因为，所以，从而，于是，故为直角三角形.（2），记角的对边分别为，由①得，由余弦定理得，化简得；由②得，由得，；由③得，，即；①②③，由①得；由②得，解得，所以的面积为.①③②，由③得，因为，所以，由①得，所以，因为的中点为，所以，于是②③①，由余弦定理得，由②得，所以，由③得，所以，因为，所以.21.如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.（1）若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；（2）若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.解：（1）取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因平面，，平面，所以平面平面；因为平面平面，平面平面，所以，即为的中点，所以.（2）由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点，连接，由图1可知，均为等边三角形，所以，，且；因为，所以平面，因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为