河北省沧州市2024届高三下学期6月保温考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧州市2024届高三下学期6月保温考试数学试卷一、选择题1.已知是两个平面，是两条直线，且，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗用平面代表平面，平面代表平面，当如图所示时显然m与平面不垂直，反之，当时，又，根据线面垂直的性质有，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：A.2.在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得：，所以，所以，因为满足条件的有两个，所以，即，所以的取值范围是故选：D3.过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，由题意知，，，，所以，根据圆的对称性易知，则，解得．故选：A．4.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4 B.1.45 C.1.5 D.1.55〖答案〗B〖解析〗由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为，该校学生每天学习时间的方差为.故选：B5.已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是偶函数，则，又函数为偶函数，则，即，所以函数是周期为2的函数，则，，且当时，是减函数，由可得，即.故选：C6.已知实数，，满足（），则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据已知，可得，则，因为，所以，所以上式，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是.故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知知：，化简得，令，则，，所以.故选：D.8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记函数，首先证明其凹凸性：，在上为“凹函数”.由琴生不等式，得，即.所以，即当时，取最小值，所以.故选：B.二、选择题9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.事件与是互斥事件 B.事件与是对立事件C.事件与是互斥事件 D.事件与相互独立〖答案〗AB〖解析〗对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确；对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误；对于D：，则，即事件与不相互独立，D错误；故选：AB.10.已知双曲线：（）左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（）A.双曲线的离心率为 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意可知：，因为直线：，可知直线过右焦点，斜率，设直线的倾斜角为，则，可得，设，由，可得，，，故B正确；在中，可知，由余弦定理可得：，即，解得或（舍去），可得双曲线的离心率为，，故D正确，A错误；在中，可知，由余弦定理，即，解得，故C错误；故选：BD.11.圆锥内半径最大球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（）A.设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形B.设内切球的半径为，外接球的半径为，则C.设圆锥的体积为，内切球的体积为，则D.设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为〖答案〗ABD〖解析〗作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确；又，所以，设球心为（即为的重心），所以，，即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确；设圆锥的体积为，则，内切球的体积为，则，所以，故C错误；设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，过点作交于点，则，所以，即，解得，所以平面截内切球截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故D正确；故选：ABD三、填空题12.已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则_______．〖答案〗2〖解析〗由题意可得，即，则.故〖答案〗为：2.13.近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有______种方案.〖答案〗36〖解析〗将第1天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为1，2，3，第2天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为4，5，6，由于大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，则仅有2、3或5、6两种排法，若大剧院与洪崖洞的时段为2、3，则“轻轨穿楼”在1，4，5中选一个，有种选法，其余3个项目在剩下的3个时段全排列，共有种排法，故共有种排法；同理若大剧院与洪崖洞的时段为5、6，也有18种排法，故共有（种）方案，故〖答案〗为：3614.椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记,存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗显然直线斜率都存在，且，由，得，则，而，于是，设，则，因此，解得，所以椭圆的离心率为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知为等差数列的前n项和，，，.（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和，若，求n的最小值.解：（1）设数列的公差为d，依题意，，即，解得，所以的通项公式是.（2）由（1）知，所以，，恒成立，令，由，由于，所以.所以所以的最小值为4.16.“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，.（1）（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（2）根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?附：若随机变量，则，；样本的最小二乘估计公式为：，，.解：（1）（i）由，有，且，所以模型②中关于的回归方程为.（ii）由表格中的数据，有，即，模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．当时，模型②的收益增量的预测值为（万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．（2）由已知单个“南澳牡蛎”质量，则，由正态分布的对称性可知，，设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只，故，所以，所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性仅为．17.已知函数，且在上的最大值为．（1）求实数a的值；（2）讨论函数在内的零点个数，并加以证明．解：（1）因为，所以，当时，有．当a＝0时，，不符合条件；当时，，则在上单调递减，即，不符合条件；当时，．则在上单调递增，即，解得a＝1；（2）由（1）知在单调递增.因为，，所以在内存在唯一的零点.当，，因为，，所以在内存在零点，即，因为，所以当时，有，即在上单调递减，所以当时，，即在上单调递增，所以有，即在无零点，当时，，所以在上单调递减，因为，，所以在内有且仅有一个零点．综上所述，在内有两个零点．18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.（1）证明：方法1：，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面.方法2：过作直线与平行，延长与交于点，连接.因为底面是矩形，是的中点，所以，且.所以，则直线与直线相交，记交点为.因为是的中点，可得，则，所以.因为，所以点即点，所以四点共面.（2）解：因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即，令，则，所以.设，则.设与平面所成角为，则，解得或，则或.19.已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．（1）求抛物线C的方程；（2）若点，连接AD，BD，证