2017届高考数学第一轮总复习配套练习题20

第十一节导数在研究函数中的应用[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2015·内江一模)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则实数c的取值范围为 ()A. B.C. D.1.A【解析】由题意可知f'(x)=x2-x+c=0有两个不同的实根,所以Δ=1-4c>0,即c<.2.(2016·湖南师大附中月考)函数y=的图象大致为 ()2.D【解析】由y=得y'=,因此可知函数y=在区间(0,1),(1,e)内单调递减,在区间[e,+∞)上单调递增,故选项D正确.3.(2015·北京海淀区期末考试)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,那么函数f(x)的极值点的个数是 ()A.5 B.4 C.3 D.23.C【解析】当x≤0时,f'(x)=(x+1)2ex+1(x+4),令f'(x)=0解得x=-1或x=-4,又当x∈(-4,-1)∪(-1,0)时.f'(x)>0,故x=-1不是f(x)的极值点;当x∈(-∞,-4)时,f'(x)<0,当x∈(-4,0)时f'(x)>0,故x=-4是f(x)的一个极值点.又因为f(x)是定义域为R的偶函数.所以当x>0时,x=4为f(x)的一个极值点,所以f(x)在x=0左右两侧函数的单调性不一致,故x=0也为f(x)的一个取值点,综合可得f(x)的极值点个数为3个.4.(2016·福建大田一中月考)已知函数f(x)=lnx--ax-b,若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ()A.(-∞,0) B.(-∞,0]C. D.4.B【解析】由f(x)=lnx--ax-b,得f'(x)=-a,因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以对∀x∈(0,+∞),都有f'(x)=-a≥0恒成立,即对∀x>0,都有a≤,因为>0,所以a≤0,所以实数a的取值范围是(-∞,0].5.(2016·湖北龙泉中学、宜昌一中联考)已知函数f(x)=xetx-ex+1,其中t∈R,e是自然对数的底数.若方程f(x)=1无实数根,则实数t的取值范围为 ()A. B.C. D.5.B【解析】由f(x)=1得xetx=ex,即x=ex(1-t)>0,∴f(x)=1无负实根,故有=1-t.令g(x)=,则g'(x)=,由g'(x)>0得0<x<e,由g'(x)<0得x>e,∴g(x)在(0,e)内单调递增,g(x)在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)=,∴g(x)的值域为.要使得方程f(x)=1无实数根,则1-t>,即t<1-.6.若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是 ()A.4 B.2 C.2 D.6.D【解析】由f(x)=-eax(a>0,b>0)得f'(x)=-eax,因为当x=0时,f(x)=-,所以切点为,k=-,故切线方程为y+=-x,即ax+by+1=0.由于切线与圆x2+y2=1相切,所以d==1即a2+b2=1,所以,即a+b≤(当且仅当a=b时等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)7.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=.

7.3【解析】f'(x)=,由f(x)在x=1处取得极值知f'(1)=0,解得a=3.8.(广东汕头金山中学期中考试)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,则函数f(x)在a>2时的单调递增区间为.

8.(0,1)和【解析】由f(x)=x2-(a+2)x+alnx可知,函数的定义域为{x|x>0},且f'(x)=2x-(a+2)+,因为a>2,所以当0<x<1或<x时,有f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,1)和.9.(2015·西北师大附中三诊)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c有两个极值点x1,x2,且-1<x1<1<x2<2,则直线bx-(a-1)y+3=0的斜率的取值范围是.

9.【解析】由题可知f'(x)=x2+2ax+2b,故x1,x2为方程x2+2ax+2b=0的两根,且-1<x1<1<x2<2,所以而直线bx-(a-1)y+3=0的斜率为k=,其表示不等式组①②③构成的平面区域内的动点P(a,b)到定点(1,0)的连线的斜率,利用线性规划知识易求得k=.三、解答题(共10分)10.(10分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在单调递增,在单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2,等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).[高考冲关]1.(5分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)1.A【解析】当x>0时,'=<0,故函数g(x)=在区间(0,+∞)递减,又函数f(x)为奇函数,故函数g(x)为偶函数,因为f(-1)=0,所以f(1)=0,g(1)=g(-1)=0,故f(x)>0等价于故其解集为(-∞,-1)∪(0,1).2.(5分)(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是 ()A.f B.fC.f D.f2.C【解析】由于f'(x)>k>1,则f(x)是R上的增函数,构造函数g(x)=f(x)-kx(k>1),则有g'(x)=f'(x)-k>0,即g(x)是R上的增函数,而g(0)=f(0)=-1,又k>1,则有>0,可得g=f>g(0)=-1,则有f-1=,故选项C一定错误.3.(5分)(2015·湖南雅礼中学月考)已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2-8x+11)+f(x2-6y+10)≤0,则当y≥3时,函数F(x,y)=x2+y2的最小值与最大值的和为.

3.62【解析】易知f(x)是奇函数,又∵f'(x)=1+cosx≥0,∴f(x)为增函数,∴f(y2-8x+11)≤f(-x2+6y-10),∴y2-8x+11≤-x2+6y-10,即(x-4)2+(y-3)2≤4,又y≥3,则(x,y)对应可行域是以(4,3)为圆心,2为半径的上半圆面,易求得F(x,y)min=13,F(x,y)max=49,其和为62.4.(12分)(2015·河北衡水调研)已知函数f(x)=x2+alnx.(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值.(2)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;并求证在区间[1,+∞)上函数f(x)的图象恒在函数g(x)=x3的图象的下方.4.【解析】(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f'(x)=x-,令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为.(2)当a=1时,易知函数f(x)在[1,e]上为增函数,所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1.设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,则F'(x)=x+-2x2=,当x>1时,F'(x)<0,故F(x)在区间(1,+∞)上是减函数.又因为F(1)=-<0,所以在区间[1,+∞)上F(x)<0恒成立,即f(x)<g(x)恒成立.因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上函数f(x)的图象性在函数g(x)图象的下方.5.(13分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).5.【解析】(1)因为f'(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).①当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;②当b>2时,若x满足2<ex+e-x<2b-2,即0<x<ln(b-1+)时,g'(x)<0,而g(0)=0,因此当0<x≤ln(b-1+)时,g(x)<0,综上,b的最大值为2.(3)由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2.当b=2时,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928;当b=+1时,ln(b-1+)=ln,g(ln)=--2+(3+2)ln2<0,ln2<<0.6934,所以ln2的近似值为0.693.