2015届高考理科数学第二专题整合检测题70

专题六十二离散型随机变量及其分布列【高频考点解读】1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．【热点题型】题型一随机变量及其分布列的概念例1、(1)将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为()A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现点数之和D．两次出现相同点的种数(2)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．6【提分秘籍】在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意，随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．(1)描述随机试验的随机变量有多种形式，不论选取哪一种形式，随机变量可以表示随机试验的所有可能结果，同时随机变量在选定标准之后，它是一个变化的量；(2)在给定的概率分布列中X取各个值时表示的事件是互斥的．【热点题型】题型二离散型随机变量的分布列的性质例2、(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P0.51－2qq2则q等于()A．1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)(2)设随机变量X的概率分布为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝________．【提分秘籍】离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所刻画的随机现象，分布列中各个概率值非负、各个概率值之和等于1，主要用于解决两类问题，一是用来判断离散型随机变量分布列的正确性，二是用来计算随机变量取某些值的概率．【热点题型】题型三离散型随机变量分布列的求法例3、受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．【提分秘籍】求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值以及取这些值时的意义．②尽量寻求计算概率时的普遍规律．③检查分布列的所有概率值和是否为1.【热点题型】题型四超几何分布例4、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．【提分秘籍】超几何分布描述的是不放回的抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质是古典概型，可以利用古典概型的计算公式和计数原理求出随机变量X的每个取值的概率，并用表格的形式给出X的分布列．【高考风向标】1．（2014·安徽卷）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．2．（2014·北京卷）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小．(只需写出结论)3．（2014·福建卷）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.4．（2014·湖北卷）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？③安装3台发电机的情形．5．（2014·湖南卷）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．6．（2014·江西卷）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．12.eq\f(1,2)【解析】由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).7．（2014·江西卷）随机将1，2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，eq\o(C,\s\up6(－))表示C的对立事件，判断P(C)和P(eq\o(C,\s\up6(－)))的大小关系，并说明理由．那么，当n＝m＋1时，8．（2014·辽宁卷）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示．图1­4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.9．（2014·山东卷）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1­4所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,2)，在D上的概率为eq\f(1,3)；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,5)，在D上的概率为eq\f(3,5).假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．图1­4＝eq\f(3,10)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为eq\f(3,10).由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6.10．（2014·陕西卷）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.211．（2014·四川卷）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为eq\f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(3,8)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,8)，P(X＝－200)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8).所以X的分布列为：X1020100－200Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)12．（2014·天津卷）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3)，所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).13．（2014·重庆卷）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【随堂巩固】1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()eq\a\vs4\al(A.)X012P0.30.40.5eq\a\vs4\al(B.)X012P0.3－0.10.8eq\a\vs4\al(C.)X1234P0.20.50.30eq\a\vs4\al(D.)X012Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(3,7)解析：利用离散型随机变量分布列的性质检验即可．答案：C2．带活动门的小盒子里有来自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是()A.eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(4,10),C\o\al(5,30)) B.eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30))C.eq\f(C\o\al(3,20)C\o\al(2,10),C\o\al(5,30)) D.eq\f(C\o\al(4,20)C\o\al(1,10),C\o\al(5,30))解析：依题意，X服从超几何分布，∴P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30)).答案：B3．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ123…nPeq\f(k,n)eq\f(k,n)eq\f(k,n)…eq\f(k,n)则k的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：由eq\f(k,n)＋eq\f(k,n)＋…＋eq\f(k,n)＝1，∴k＝1.答案：B4．如右图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(X≥8)的值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)5．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)6．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－3－8则常数c的值为()A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：由分布列的性质得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c＋3－8c＝1,9c2－c≥0,3－8c≥0))，解得c＝eq\f(1,3).答案：C7．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)8．设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝________.9．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．解析：依题意η的取值可为0,1,2.∴P(η＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)11.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,kk＋1)(k＝1,2,3)，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________.解析：由题意知ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)))＝1，∴c＝eq\f(4,3).故P(0.5<ξ<2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)12.某学院为了调查本校学生2013年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组；[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．所以Y的分布列为：Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)13.口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，求：(1)n的值；(2)X的分布列．14.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3).(1)求该高中获得冠军个数X的分布