2018届高考文科数学第一轮总复习检测10

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【最新考纲】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：C3．(2015·安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0知圆心(1，1)，半径为1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.答案：D4．(2015·湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．解析：画出图形，利用圆心到直线的距离求解．如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝eq\f(5,\r(32＋（－4）2))＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.答案：25．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×（－1）－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(55),5).答案：eq\f(2\r(55),5)一种思想直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法：1．几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．2．代数方法：弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(（1＋k2）[（xA＋xB）2－4xAxB]).三条性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：1．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2．圆心在任一弦的中垂线上．3．两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直线与圆相交．答案：B2．圆C:x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为()A．x＋eq\r(3)y－2＝0B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0D．x－eq\r(3)y＋2＝0解析：易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP＝eq\f(\r(3),1－2)＝－eq\r(3)，所以所求切线的斜率为eq\f(\r(3),3).故切线方程为y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.答案：D3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(3),5)D.eq\f(\r(3),5)解析：圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，因为C(1，0)到直线l：x－2y＋1＝0的距离为eq\f(2,\r(5))，所以|AB|＝2eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：A4．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4解析：由题意知直线2ax＋by＋6＝0过圆心C(－1，2)，所以a－b－3＝0.当点M(a，b)到圆心距离最小时，切线长最短．|MC|＝eq\r(（a＋1）2＋（b－2）2)＝eq\r(2a2－8a＋26)，∴a＝2时最小．此时b＝－1，切线长等于eq\r(|MC|2－r2)＝4.答案：C5．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)解析：因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，其方程为x＋y－1＝0.圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|0－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，又坐标原点O到AB的距离为eq\f(1,\r(2))，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝1.答案：A6．过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)解析：由y＝eq\r(1－x2)，得x2＋y2＝1(y≥0)．直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图．则S△AOB＝eq\f(1,2)·sin∠AOB，当∠AOB＝90°时，S△AOB最大，此时AB＝eq\r(2).∴点O到直线l的距离d＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，因此∠OCB＝30°，∴l的斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).答案：B二、填空题7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．解析：∵圆C1的圆心C1(3，0)，圆C2的圆心C2(0，3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0AB的中垂线即直线C1C2，答案：x＋y－3＝08．(2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1)).因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))))eq\s\up12(2)＋12＝22，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)9．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．解析：依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.答案：2三、解答题10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－eq\r(3)y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2eq\r(3)，求直线MN的方程．解：(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－eq\r(3)y＝4的距离，则r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距离d＝eq\f(|m|,\r(5)).由垂径分弦定理得：eq\f(m2,5)＋(eq\r(3))2＝22，即m＝±eq\r(5).所以直线MN的方程为：2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0.11．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为eq\f(1,3)的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．解：(1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.∵直线l与圆C交于M，N两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3(*)所以k的取值范围是(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)．(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为eq\f(1,3)的两段弧，则劣弧eq\o(MN,\s\up8(︵))所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r＝2.在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin45°＝eq\r(2)，故圆心C(0，4)到直线kx－y＝0的距离eq\f(|0－4|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，∴1＋k2＝8，k＝±eq\r(7)，经验证k＝±eq\r(7)满足不等式(*)，故l的方程为y＝±eq\r(7)x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±eq\r(7)x.直线(圆)的方程、直线与圆的位置关系本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系．高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查．另外，应认真体会数形结合思想的应用，能够充分利用直线、圆的几何性质简化运算．强化点1直线方程与两直线的位置关系eq\a\vs4\al()(1)(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5)B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5)D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)(2)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：(1)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).(2)设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号．同理|MB|＋|MD|＝|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号．连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．∵kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又∵kBD＝eq\f(5－（－1）,1－7)＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴M(2，4)．答案：(1)D(2)(2，4)直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想分类讨论思想的应用．【变式训练】(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0解析：∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴eq\f(|m|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，∴m＝±5.所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：A强化点2圆的方程eq\a\vs4\al()(1)(2015·全国Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10(2)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，∴M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，∴|MN|＝4eq\r(6).(2)法一设圆心坐标为(a，－a)，则eq\f(|a－（－a）|,\r(2))＝eq\f(|a－（－a）－4|,\r(2))，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).圆心是直线x＋y＝0被这两条平行线所截线段的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0，0)，与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求圆的圆心坐标是(1，－1)．所求圆C的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(1)C(2)B求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：1.几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质:(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；2.代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【变式训练】(2015·课标全国Ⅰ卷)已知三点A(1，0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3)D.eq\f(4,3)解析：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝eq\f(2,3)|AD|＝eq\f(2\r(3),3)，从而|OE|＝eq\r(|OA|2＋|AE|2)＝eq\r(1＋\f(4,3))＝eq\f(\r(21),3).答案：B强化点3直线与圆的综合问题(多维探究)直线与圆的综合问题是高考中的命题重点、热点．考查涉及的内容是直线与圆的位置关系、切线与弦长问题、有时与函数、不等式、向量交汇命题．常见的命题角度有：(1)与圆的切线方程与弦长相关计算；(2)根据直线与圆的位置关系求相关字母参数的范围、最值；(3)直线与圆、向量、不等式交汇等综合考查学生分析求解问题的能力．角度一圆的切线与弦长问题1．(2015·湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为_______________________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．解析：(1)由题意知点C的坐标为(1，eq\r(2))，圆的半径r＝eq\r(2).所以圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2.(2)在(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2中，令x＝0，解得y＝eq\r(2)±1，故B(0，eq\r(2)＋1)．直线BC的斜率为eq\f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋eq\r(2)＋1.令y＝0，解得x＝－eq\r(2)－1，故所求截距为－eq\r(2)－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2(2)－eq\r(2)－1角度二根据直线与圆的位置关系解决有关最值与范围问题2．(1)过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)(2)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－eq\r(3)，1＋eq\r(3)]B．(－∞，1－eq\r(3)]∪[1＋eq\r(3)，＋∞)C．[2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)]D．(－∞，2－2eq\r(2)]∪[2＋2eq\r(2)，＋∞)解析：(1)由y＝eq\r(1－x2)，得x2＋y2＝1(y≥0)．直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图．则S△AOB＝eq\f(1,2)·sin∠AOB，当∠AOB＝90°时，S△AOB最大，此时AB＝eq\r(2).∴点O到直线l的距离d＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，因此∠OCB＝30°，∴l的斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).(2)圆心(1，1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为eq\f(|m＋n|,\r(（m＋1）2＋（n＋1）2))＝1，所以m＋n＋1＝mn≤eq\f(1,4)(m＋n)2，所以m＋n≥2＋2eq\r(2)或m＋n≤2－2eq\r(2).答案：(1)B(2)D角度三直线与圆和不等式、向量等知识的综合问题3．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8.由题设可得eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.1．解决直线与圆综合问题的常用结论(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.(2)圆与直线l相交的情形：①圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．2．解决直线与圆综合问题的一般思路：分析题意，根据直线与圆位置关系列出相应关系式，然后求解．同时注意数形结合思想的应用．【变式训练】(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.答案：BA级基础巩固一、选择题1．直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1没有公共点的充要条件是()A．k∈(－eq\r(2)，eq\r(2))B．k∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)C．k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))D．k∈(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)解析：由直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1没有公共点可知，圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离大于圆的半径，即eq\f(|2|,\r(k2＋1))>1，由此解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，因此，直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1没有公共点的充要条件是k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．答案：C2．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝eq\f(1,2)，b＝－4B．k＝－eq\f(1,2)，b＝4C．k＝eq\f(1,2)，b＝4D．k＝－eq\f(1,2)，b＝－4解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝eq\f(1,2)，b＝－4.答案：A3．(2015·福建卷)若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．解析：将(1，1)代入直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取“＝”．答案：C4．若直线y＝k(x－2)与曲线y＝eq\r(1－x2)有交点，则()A．k有最大值eq\f(\r(3),3)，最小值－eq\f(\r(3),3)B．k有最大值eq\f(1,2)，最小值－eq\f(1,2)C．k有最大值0，最小值－eq\f(\r(3),3)D．k有最大值0，最小值－eq\f(1,2)解析：如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率k最小．此时eq\f(|k·0＋0－2k|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝－eq\f(\r(3),3)(舍去正值)；当直线过半圆圆心时，k最大，为0.答案：C5．(2015·重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．4eq\r(2)C．6D．2eq\r(10)解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.答案：C二、填空题6．已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．解析：由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0，0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)．又知过两圆圆心直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.答案：x－y－2＝07．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．解析：由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤eq\f(9,4)，即ab的最大值是eq\f(9,4)(当且仅当a＝b时取等号)答案：eq\f(9,4)8．过直线x＋y－2eq\r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2.∴x2＋y2＝4.又x＋y－2eq\r(2)＝0，联立解得x＝y＝eq\r(2)，即P(eq\r(2)，eq\r(2))．答案：(eq\r(2)，eq\r(2))三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2.解得a＝－eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2).))解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以eq\r(x2＋（y－3）2)＝2eq\r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，∴点M在以D(0，－1)为圆心，以2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋（2a－3）3)≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤eq\f(12,5).所以点C的横坐标a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).B级能力提升1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1)