2015届高考理科数学课时拓展检测试题38

1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝lneq\f(1,|x|) B．y＝x3C．y＝2|x| D．y＝cosx解：y＝lneq\f(1,|x|)为偶函数，且x>0时，y＝lneq\f(1,|x|)＝－lnx为减函数．故选A.2．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0；则x＜0时()A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解：由二者的奇偶性结合图象，可得答案，故选B.3.(eq\a\vs4\al(2013·沈阳一模))已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))成立的x的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))解：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))，则－eq\f(5,3)<2x－1<eq\f(5,3)，解得－eq\f(1,3)<x<eq\f(4,3).故选B.4.若函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝2，且f(2)＝2，则f(2014)＝()A．2 B．－2 C．1 D．2010解：由f(x＋2)＝eq\f(2,f（x）)得f(x＋4)＝eq\f(2,f（x＋2）)＝f(x)，∴4是函数f(x)的周期，∴f(2014)＝f(503×4＋2)＝f(2)＝2.故选A.5.(eq\a\vs4\al(2012·重庆))已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分不必要的条件C．必要不充分的条件D．充要条件解：由f(x)是定义在R上的偶函数知，若f(x)在[0，1]上是增函数，则f(x)在[－1，0]上是减函数，又f(x)以2为周期，则f(x)在[3，4]上也是减函数，反之也成立．故选D.6.(eq\a\vs4\al(2012·山东改编))定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2.当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＝()A．336 B．337 C．1678D．2014解：由已知得函数f(x)以6为周期，据分段函数在其两段上的解析式得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(4－6)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，因此f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，故由周期函数的性质得f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝335×1＋1＋2＋(－1)＋0＝337.故选B.7.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a-x＋2，且g(b)＝a，则f(2)的值为.解：∵f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，f(－x)＋g(－x)＝a-x－ax＋2，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(x)－g(x)＝ax－a－x－2.∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2，∴a＝2，f(2)＝22－2－2＝eq\f(15,4).故填eq\f(15,4).8.(eq\a\vs4\al(2013·四川))已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________.解：当x<0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝x2＋4x，作出函数f(x)的图象，解得不等式f(x)＜5的解集是－5<x<5，∴f(x＋2)＜5的解集是－5＜x＋2＜5，即－7<x<3.故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，3)).9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.(1)判断函数f(x)是否为周期函数；(2)求f(5.5)的值.解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝f（2－x），,f（x）＝f（－x）))⇒f(－x)＝f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为2的周期函数．(2)f(5.5)＝f(4＋1.5)＝f(1.5)＝f(2－1.5)＝f(0.5)＝0.25.10.已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集.解：(1)由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x－1<2，,－2<3－2x<2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<x<3，,\f(1,2)<x<\f(5,2)，))解得eq\f(1,2)<x<eq\f(5,2)，故函数g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).(2)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0.∴f(x－1)≤－f(3－2x)．又∵f(x)为奇函数，∴f(x－1)≤f(2x－3)，而f(x)在(－2，2)上单调递减，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥2x－3，,\f(1,2)<x<\f(5,2)，))解得eq\f(1,2)<x≤2，∴不等式g(x)≤0的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).11.设f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)的值.解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，f(x)是以4为周期的函数．(2)x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(－x)＝－2x－x2，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2，因为f(x)以4为周期，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.(3)由(1)、(2)可知f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝503×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋1＝1.设函数f(x)是定义在[－1，0)∪(0，1]上的偶函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝x3－ax(a∈R).(1)求f(x)的解析式；(2)若a∈(0，1]时，f(a)＝0，求a的值；(3)是否存在实数a使得x∈(0，1]时，f(x)的最大值为1?解：(1)令x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)，∴f(－x)＝－x3＋ax.又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝－x3＋ax，x∈(0，1]．∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－ax，x∈[－1，0），,－x3＋ax，x∈（0，1].))(2)∵a∈(0，1]且f(a)＝0，∴－a3＋a2＝0，a2(－a＋1)＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)．故a＝1.(3)当x∈(0，1]时，f(x)＝－x3＋ax，∴f′(x)＝－3x2＋a，∵0＜x2≤1，∴－3≤－3x2＜0，①当a＞3时，f(x)在(0，1]上是递增的，∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1，解得a＝2，不合题意，舍去．②当0≤a≤3时，f′(x)＝a－3x2，令f′(x)＝0，得x＝eq\r(\f(a,3))或x＝－eq\r(\f(a,3))(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,3))))eq\r(\f(a,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))，1))f′(x)＋0－f(x)↗最大值↘∴f(x)在x＝eq\r(\f(a,3))处取最大值为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,3))))eq\s\up12(3)＋a·eq\r(\f(a,3))＝1⇒0<