概率论与数理统计第2版-第3章-多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布03目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其

联合密度函数一、随机试验定义1一、随机试验例1解一、随机试验一、随机试验定义2为随机向量的（联合）分布函数.设为二维随机变量,对任意的称二、联合分布函数由定义可知,对平面上任一点,定义3为随机变量的(联合)分布函数.定义4设为维随机变量,对任意的称二、联合分布函数定义4联合分布函数的性质:当固定时，是变量的单调非减函数;当固定时，是变量的单调非减函数;

二、联合分布函数定理1123对任意的,有矩形公式当固定时，是变量的右连续函数;当固定时，是变量的右连续函数;二、联合分布函数45如图所示:联合分布函数的矩形公式设二维随机变量仅可能取有限个值，则称为二维离散型随机变量.设二维随机变量为二维随机变量的联合分布律.其中三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义5定义6二维随机变量的联合分布律的表格法表示.三、二维离散型随机变量及其联合分布律三、二维离散型随机变量及其联合分布律例2解(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数则称为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量

的联合（概率）密度函数.设二维随机变量

的联合分布函数为,如果存在二元非负实值函数,使得对任意的有定义7四、二维连续型随机变量及其联合密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8设为二维连续⑴非负性⑵规范性型随机变量的联合密度函数，则四、二维连续型随机变量及其联合密度函数（联合密度函数的性质）定理2（二维连续型随机变量的性质）为连续函数,在的连续点处有任意一条平面曲线,有;对平面上任意一区域,有四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定理3123设二维随机变量的联合密度函数为常数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例3其余01OPTION02OPTION03OPTION求联合分布函数(1)由密度函数性质所以.(2)由已知得四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

(3)如右图所示:目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布设二维随机变量的联合密度函数为则称随机变量服从区域上的二维均匀分布.其中是平面上的某个区域,为区域的面积,一、二维均匀分布定义1设服从区域上的均匀分布,(1)因区域的面积为1,故由定义得联合密度函数为:计算概率一、二维均匀分布例1解1写出的联合密度函数2(2)所求概率为一、二维均匀分布定义2如果的联合密度函数为并记为则称服从参数为的二维正态分布,其中二、二维正态分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性称设二维随机变量的联合分布函数为为随机变量的边缘分布函数;为随机变量的边缘分布函数.一、边缘分布函数定义1设二维随机变量的联合密度函数为分别计算边缘分布函数.一、边缘分布函数例1在第一节例4中已得

的联合分布函数，一、边缘分布函数解在第一节例4中已得

的联合分布函数，故与的边缘分布函数分别为一、边缘分布函数解定义2，称概率设二维离散型随机变量的联合分布律为为随机变量的边缘分布律，记为

，并有二、二维离散型随机变量的边缘分布律在第一节例3中计算与的边缘分布律。直接在

联合分布律表格中计算行和、列和得二、二维离散型随机变量的边缘分布律例2解所以的边缘分布律为所以的边缘分布律为二、二维离散型随机变量的边缘分布律则随机变量的边缘密度函数为类似地，随机变量的边缘密度函数为

设二维随机变量的联合密度函数为三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定义3试求第一节例3中随机变量的边缘密度函数.首先确定的值域,当时所以的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例3解然后，确定的值域,当时所以的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数设,则,由边缘密度函数的定义得三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定理1所以，同理.

证明已知,求的密度函数.由定理1知，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例4解所以都有

设为二维随机变量，若对任意的与相互独立.四、随机变量的相互独立性成立，则称随机变量定义4的一切公共连续点上都有相互独立的充分必要条件是对任意的设为二维连续型随机变量，那么，与相互独立的充分必要条件是在四、随机变量的相互独立性定理2设为二维离散型随机变量，那么，与都有成立.定理3四、随机变量的相互独立性例5（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得所以与的边缘分布律分别为四、随机变量的相互独立性解在第一节例4中，是否相互独立？为什么？不相互独立.的联合密度函数及边缘密度函数如下四、随机变量的相互独立性例6解在它们的公共连续点处,

因此不相互独立.四、随机变量的相互独立性设,那么与相互独立的充分必要条件是充分条件当时所以，对任意，都有因此相互独立.四、随机变量的相互独立性定理4证明所以必要条件

当相互独立时,对任意的都有

特别地，当时四、随机变量的相互独立性该等式也成立,四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：定义5

的一切公共连续点上成立。都有那么就称随机变量连续型随机变量有设为维随机变量，若对任意的相互独立。对多维随机变量独立性的定义如下：四、随机变量的相互独立性，都有相互独立的充要条件是在当为离散型随机变量时，随机变量当为连续型随机变量时，随机变量的一切公共连续点处都有相互独立的充要条件是对任意的成立.目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.4条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律二、二维连续型随机变量的条件密度函数设二维离散型随机变量的联合分布律为条件下的条件分布律为当时，在给定对固定的,记在给定条件下的随机变量为,其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1条件分布律

满足分布律的两条性质：一、二维离散型随机变量的条件分布律01OPTION02OPTION设二维离散型随机变量的联合分布律条件下的条件分布律为当时，在给定对固定的,记在给定条件下的随机变量为，其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1续设为二维连续型随机变量的联合密度函数,当时，在给定条件下的条件密度函数为对固定的，记在给定条件下的随机变量为二、二维连续型随机变量的条件密度函数其值域记为定义2条件密度函数

满足密度函数的两条性质:二、二维连续型随机变量的条件密度函数12密度函数为当时，在给定条件下的条件其值域记为二、二维连续型随机变量的条件密度函数对固定的，记在给定条件下的随机变量为,同理可以验证条件密度函数

满足密度函数的两条性质.设为二维连续型随机变量的联合密度函数,分布函数为当时，在给定条件下的条件当时，在给定条件下的条件分布函数为二、二维连续型随机变量的条件密度函数定义3在第一节例4中求条件分布函数.写出给定条件下的条件值域;求条件密度函数;写出给定条件下的条件值域及;二、二维连续型随机变量的条件密度函数例101OPTION02OPTION03OPTION04OPTION⑴例4中随机变量的联合密度函数为在给定条件下的条件值域为二、二维连续型随机变量的条件密度函数解(2)所以(3)在给定条件下

的条件值域为二、二维连续型随机变量的条件密度函数二、二维连续型随机变量的条件密度函数故二、二维连续型随机变量的条件密度函数已知,当时,求的联合密度函数.由已知得由条件密度函数的定义知.

二、二维连续型随机变量的条件密度函数所以例2解目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.5二维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布设与相互独立,则⑴设，且与相互独立，则⑵设,且与相互独立，则定理1可推广到个相互独立的随机变量的和.一、二维离散型随机变量函数的分布定理1（分布的可加性）一、二维离散型随机变量函数的分布（1）因为，那么，与分别表示与，则。由

重贝努利试验的独立性及重复性知，这里相互独立同分布，也相互独立同分布。又因为，相互独立。那么，表示着重的贝努利试验中“成功”的次数，由此得到，相互独立，所以与重贝努利试验中证明“成功”的次数。可设一、二维离散型随机变量函数的分布(2)因为所以在第一节例2中，讨论得优的科目数的分布情况，求的分布律直接在的联合分布律表格中每格左上角标出的值，有一、二维离散型随机变量函数的分布将取值相同格子中的概率相加，即得例1解一、二维离散型随机变量函数的分布因此，有如下结论。如果二维离散型随机变量的联合分布律为则随机变量的函数的分布律为且取相同值对应的那些概率应合并相加。设二维随机变量的联合密度函数为求的密度函数.其余二、二维连续型随机变量函数的分布（1）因为则时例2解二、二维连续型随机变量函数的分布整理得当时设随机变量的联合密度函数为,则随机变量的函数的密度函数为特别地，当与相互独立时,上式成为该公式称为卷积公式.或或二、二维连续型随机变量函数的分布定理2二、二维连续型随机变量函数的分布对任意的，由的任意性知同理得显然，当随机变量与相互独立时，，证明正态分布的可加性:设,且与相互独立,则更一般地,有其中均为常数,且

不全为零.二、二维连续型随机变量函数的分布定理3二、二维连续型随机变量函数的分布由卷积公式得

令代入课前导读中的公式结论得所以，定理3可推广至个独立正态分布随机变量的情形。证明例3由第三节定理1得又由定理3得，，所以已知的密度函数