高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何

中学数学学问点总结空间向量及立体几何

一、考点概要：

1、空间向量及其运算

(1)空间向量的基本学问：

①定义：空间向量的定义和平面对量一样，那些具有大小和方向的量叫做向

量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：

i定理：假如三个向量.最♦不共面,那么对于空间任一向量亘，存在

唯一的有序实数组x、v、z,使：=盘+)a+母。且把%、叫做空间的一个基底,丕至亘都

叫基向量。

五正交基底：假如空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个

基底叫正交基底。

iii单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单

位正交基底，通常用卜J''表示。

iv空间四点共面：设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间中随意一点

P,都存在唯一的有序实数组X、丫、z,使.=历+z五。

③共线向量(平行向量)：

i定义：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些

向量叫做共线向量或平行向量，记作迹。

ii规定：零向量及随意向量共线；

道共线向量定理：对空间随意两个向量-"平行的充要条件是:存在

实数入，使3=花。

④共面对量：

i定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量；空间的随意两

个向量都是共面对量。

五向量及平面平行：假如直线0A平行于平面或工在a内，则说向量巨平行于

平面a,记作/二。平行于同一平面的向量，也是共面对量。

出共面对量定理：假如两个向量与、且不共线，则向量巨及向量々、£共面的充要条件是：存在实数对

X、y,使方=必+同。

iv空间的三个向量共面的条件：当且、4、五都是非零向量时，共面对量定理

事实上也是巨、J、£所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还须要证明其中一条直线上

有一点在另两条直线所确定的平面内。

v共面对量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序

实数对x、y,使得砺=曲+》磁,或对于空间随意肯定点0,有痴=丁+砺+V庇。

⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量巨、亘,在空间任取一点0,作一=:.=占

（两个向量的起点肯定要相同），则叫做向量之及上的夹角，记作上包三，且心"%.

规定3=<a,至>e[O.TT]：

6=0。0°<0<90°0=90°900<&<180°8=180°

⑥两个向量的数量积:

i定义：已知空间两个非零向量与、£,则同忖cos叫做向量入士的数量

积，记作巫，即：一斗田a&万〉。

ii规定：零向量及任一向量的数量积为0。

适留意：两个向量的数量积也叫向量亘、互的点积（或内积），它的结果是一个实

数，它等于两向量的模及其夹角的余弦值。

iv数量积的几何意义：迈叫做向量亘在亘方向上的投影（其中0为向量五和亘的

夹角）。

即：数量积也等于向量色的模及向量2在巴方向上的投影的乘积。

V基本性质:

Vi运算律：

校换律：a^b-b^a；

*分配律:[a+b\c-ac+bc；

啜乘结合律：|44|石=。・1惑|二工|以石|(其中4为实数)

(2)空间向量的线性运算：

①定义：及平面对量运算一样，空间向量的加法、减法及数乘向量运算如下：

②加法：OB=OA-^-AB=a+b③减法：而=勿-砺=2-4

④数乘向量：砺=总(建幻⑤运算律:i加法交换律：衽会注日加法结合律：

(a+»+c=a+(X+c)适数乘安排律：40+各)=总+宓

二、复习点睛：

1、立体几何初步是侧重于定性探讨，而空间向量则侧重于定量探讨。空间向量的引入，为解

决三维空间中图形的位置关系及度量问题供应了一个非常有效的工具。

2、依据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐

标系，形成了用空间坐标探讨空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二

进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想及等价转化思想的运用。

3、实数的运算及向量的运算既有联系又有区分，向量的数量积满意交换律和安排律，但不满

意结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不行以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平

方差公式仍旧适用,数量积的运算在很多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，

下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：⑷叩,I小呵。

2、空间向量的坐标表示：

(1)空间直角坐标系：

①空间直角坐标系O-xyz,在空间选定一点。和一个单位正交基底匕工，以点

0为原点，分别以】3、工的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点0

叫做原点，向量三£叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面,

yOz平面,zOx平面。

②右手直角坐标系：右手握住Z轴，当右手的四指从正向X轴以90。角度转向正

向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；

y

③构成元素：点（原点）、线（X、y^z轴）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；

④空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系O-xyz时,一般使Nx0y=135。（或

45°）,Zy0z=90°,z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z

轴）的一半；

（2）空间向量的坐标表示：

①已知空间直角坐标系和向量2,且设五上为坐标向量（如图），

由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组回叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作

②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A,对应一个向量红，若

的=3+，+z"则有序数组（x,y,z）叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x,y,z）,其

中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的

依次不能变。

③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个及坐标平面平行的平面（或垂面）,

分别交坐标轴于A、B、C三点，|x|=|0A|,|y|=|0B|,|z|=|0C|,当红及工的方向相

同时，x>0,当CM及7的方向相反时,x<0,同理可确y、z（如图）。

④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间随意一个向量及它的终点坐标一一对应。

⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去

起点的坐标。

设金（电乃,马）,8（—Z?）,

则：出=。一—。月=（々，为，Z2）一（与，必，21）=（小一为，必一乃，Z2-Z1）

（3）空间向量的直角坐标运算：

（

设以=4卜的，％'%=风与，b3K则:

①

4+力=（/,叼，％）+[4,瓦,％।=ta2+与，％+与）；

a—b=\"1，&2,口3]一]4,b?।=[«]一自，以z—占?,以3-^3I>

③4d二兄1/,以2,以31=i2，，兄42，兄以3I（4WR）；

④《力=1%,以2，%1114，%,%,=7自+。我2+4必；

⑤a#否Q&=—=—=2或aH2=%=祖,a=毋?，a=眄；

瓦瓦%23

⑥a2.^<=>以自+嫁>2+«物=0；

⑦空间两点间距离：6舄=4马一再）2+（乃一必，+92-4）2；

的一公匕-必Z「Z]]

⑧空间线段弛0竺义强也生也的中点M（x,y,z）的坐标:〔2'2’2人

⑨球面方程：X"2+Z」2

二、复习点睛：

4、过定点0,作三条相互垂直的数轴，它们都以0为原点且一般具有相同的长度单位。这三

条轴分别叫做z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平

面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间

直角坐标系，点。叫做坐标原点。

5、空间直角坐标系中的特别点：

(1)点(原点)的坐标:(0,0,0);

(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0),y轴上的坐标为(0,y,0),z

轴上的坐标为S,0,z)；

(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平

面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)

6、要使向量亘及z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量向及哪一个坐标轴垂直，只要向量工的

相应坐标为0即可。

7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy

平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平

行于平面xOy平面；

8、只要将和1=4，+//+/)代入,即可证明空间向量的运算法则及平面对量

一样；

9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.随意不共

面的三个向量储瓦旧都可以构成空间的一个基底,此定理是空间向量分解的基础。

立体几何中的向量方法

1.空间向量的坐标表示及运算

(1)数量积的坐标运算

设a=(ae&)>b—(b\,bz,bi),

则①a士万=(ai±A,a2+bi,a3+bd;

②4a=(4a”4a2,4a3)；

(§)3,Z>—a26+Q3th.

(2)共线及垂直的坐标表示

设a=(a”4)，b—(.bnbi,bi),

贝!ja〃2a=4A,a2=a3=2^(2GR),

aJ_g>a•Z>=0oai8i+a26+a3&=0(a,6均为非零向量).

(3)模、夹角和距离公式

设a=(3i,32,a。，b=(Z>i,bi,2%)，

则Ia|=山•a=7a：+1+a；,

,,、a•babi+aibi

C°S6b=7^7=G+a升霜2.+医+医

设4(a”bnci)>B(a2,th,C2),

-

则dAB=I葡=7—3231―S-―bi-b\―M-―Q-Ci—\

2.立体几何中的向量方法

(1)直线的方向向量及平面的法向量的确定

①直线的方向向量：】是空间始终线，48是直线1上随意两点，则称卷为直线1的方向向量，及宓

平行的随意非零向量也是直线1的方向向量.

②平面的法向量可利用方程组求出：设a,8是平面。内两不共线向量，A为平面。的法向量，则

n,a=Q,

求法向量的方程组为人

n•b=n0.

(2)用向量证明空间中的平行关系

①设直线Z和乙的方向向量分别为匕和外，则Z〃】2(或人及乙重合)=玲〃心

②设直线1的方向向量为%及平面a共面的两个不共线向量力和V2,则1〃。或luao存在两

个实数x,y,使v=xvi-icyv2.

③设直线1的方向向量为v,平面a的法向量为u,则1〃a或7caoid_a

④设平面a和尸的法向量分别为u”也,则a"B0ujlu»

(3)用向量证明空间中的垂直关系

①设直线Z和L的方向向量分别为匕和V2,则4_1_120匕1小匕,嘎=0.

②设直线1的方向向量为V,平面a的法向量为u,则7±a=v〃u.

③设平面。和£的法向量分别为由和贝!JaJLB0u」uQUi•u2=Q.

(4)点面距的求法

如图，设"为平面a的一条斜线段，A为平面a的法向量，则8到平面a的距离占维区

\n\

=助学做博----

一种思想

向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面对量定理和空间向量基本

定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：

(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；

(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标.

得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题.

三种方法

主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：

'直线及直线平行

(1)平行，直线及平面平行

、平面及平面平行

'直线及直线垂直

(2)垂直《直线及平面垂直

、平面及平面垂直

(3)点到平面的距离

求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的详细应用，也是求异面直线之间距离，直线及平面距离

和平面及平面距离的基础.

双基自测

1.两不重合直线A和4的方向向量分别为外=(1,0,-1),丹=(-2,0,2),则A及L的位置关系

是().

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

解析VV2=-2VI,:、V//V2.

答案A

2.已知平面a内有一个点"(L-1,2),平面a的一个法向量是A=(6,—3,6),则下列点尸中在

平面a内的是().

A.尸(2,3,3)B.尸(一2,0,1)

C.尸(一4,4,0)D.A3,-3,4)

解析,：n=(6,-3,6)是平面。的法向量，

；.n工蛇在选项A中，萌三(1,4,1),••・〃・荔-0.答案A

3.(2011•唐山月考)已知点4B,CW平面a,点甩a,则力•宓=0,且力«亦=0是力•反=0

的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

力•宓=0_——

解析由，，得心•{AB—AC)=0,

.力.我=0

即亦•花=0,亦即亦«应三0,反之，若病•灰=0,

则亦•(衣一福=0=亦•好力•就未必等于0.

答案A

4.(人教A版教材习题改编)已知a=(—2,-3,1),6=(2,0,4),。=(一4,-6,2),则下列结论正

确的是().

A.a〃c,b〃用.a/7b,aJLc

C.a〃c,a±l^,以上都不对

解析Vc=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,:.a〃c,

又a・8=-2X2+(—3)X0+lX4=0,：.a±b.

答案C

5.(2012•舟山调研)已知宓=(2,2,1),设=(4,5,3),则平面上的单位法向量是.

解析设平面被7的法向量A=(x,y,z).

［办•〃=(),⑵r+2y+z=0,

则［衣・片0,即14x+5y+3z=0.

'_1

令z=l,得“，5'：.n=一1,11,.,.平面包?的单位法向量为土方=土国—11

.7=­b

…22)

答案土用T3j

考向一利用空间向量证明平行问题

【例1】“如图所示，在正方体被力■4吕G〃中，M、〃分别是GC、5c的中点.求证：例V〃平面4切.

［审题视点］干脆用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明.

证明法一如图所示，以〃为原点，」以、DC、曲所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐

标系，设正方体的棱长为1,

则«0,1,年,1,1),Z?(0,0,0),

4(1,0,1),夙1,1,0),

于是麻=&0,胃，

设平面4切的法向量是A=(x,y,z).

-2J"—"0,

则z?♦扇=0,且z?•况=0,得｛

取x=l,得y=-1,z=-l..,.??=(1,—1,—1).

又的•&0,•(1,—1,—1)=0,

.•.血Lm又脉平面4切，

.•.仞加平面ABD.

法二施=山—々=46—：*=：(9L助)=：况1,

乙乙乙乙

:丽瓜,又丁融及ZH不共线，：.MN//DAX,

又•.•何平面4期4代平面4被工松〃平面4薇

【训练1】如图所示，平面9_L平面板9,ABCD为正方形,2X9是直角三角形，且用=止=2,

E、F、G分别是线段用、PD、勿的中点.求证：PB〃平面EFG.

证明•.•平面44〃_L平面四切且池力为正方形，

；.AB、APyM两两垂直，以2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则2(0,0,0)、

8(2,0,0)、C(2,2,0)、"(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、尸(0,1,1)、G(l,2,0).

.,.眸(2,0,-2),您=(0,-1,0),而=(1,1,-1),

设眸后+匕帝

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+力(1,1,-1),

1=2,

...«t—s=0,解得s=b=2.

、一t=12,

.•.眸2磅+2由

又•・•威及应不共线，，急威及磨面.

*；P及平面EFG,.•.阳〃平面班;.

考向二利用空间向量证明垂直问题

【例2】》如图所示，在棱长为1的正方体以医48G中，E,夕分别是棱佃质上的动点，且如'

=BF=x,其中0W尽1,以0为原点建立空间直角坐标系dxjz

(1)求证4尸_LG及

(2)若A,E,F,G四点共面,求证：彳勿=3宿+布

［审题视点］本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要留意找准点的坐标.

证明(1)由已知条件

4(1,0,1)，氏1一区1,0),61(0,1,1)，夕(1,%0),

布=(-x,L-1),竟=(LX-1,-1),

则箱・竟=-x+(x—l)+l=O,

：XFLC^E,即4£LGW

(2)"(一为1,-1),A^=(-l,1,0),

KE=(0,x,—1),

’-x=一4，

设入蔗+〃检＜1=4+nx,

、-1=一〃，

解得4=J，〃=L

Li

/.A^F=\^C\+A^E.

方法总结》证明直线及直线垂直，只须要证明两条直线的方向向量垂直，而直线及平面垂直，平面及平

面垂直可转化为直线及直线垂直证明.

【训练2】如图所示，在四棱锥?施力中，用_1底面血力，ABVAD,ACVCD,乙超6-60°,PA=

AB=BC,£是尸。的中点.证明:

(2)血_平面胸

证明AB、AD、"(两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1,则2(0,0,1).

(1)VZAffC^60°,

△腕为正三角形.

1亚I)

,0,

•••4半£4，2)

设〃(0,匕0),由4CJ_C9,得衣•宓=0,

即尸乎，则/o,乎，o］，

J\6J

•••研-/噜，°!.又能=1坐9

:.施.^=-+解x率=0,

2464

.•.血力，即/及磔

1_、

(2)法一VAO,0,1),...昨[0,吉，-1.

又宓•直=乎、今日+]*(-1)=0,

TtJ乙

...加行BPPDVAE.7B=(1,0,0),...力♦90,

：.PDVAB,又四0四=4.,.励JL平面力被

法二~^=(1,0,0),速=平,斗

设平面4必的一个法向量为A=(x,y,z),

'：Tb//n,.•.血_平面板即也平面侬：

考向三利用向量求空间距离

【例3】•►在三棱锥西61中，是边长为4的正三角形，平面必C_L平面版7,SA=SC=2y［3,M、

〃分别为被即的中点，如图所示，求点6到平面的的距离.

［审题视点］考虑用向量法求距离，距离公式不要记错.

解取4。的中点。，连接。S、OB.

'：SA=SC,AB=BC,

：.ACLSO,ACLBO.

•平面弘C_L平面ABC,平面SACD平面ABC=AC,

，S0_L平面97,:.SO;BO.

如图所示，建立空间直角坐标系ax%,

则5（0,2小,0）,6,（-2,0,0）,5（0,0,2^2）,

Mb小,o）,M0,小,也）.

.•.9（3,小,0）,昨（一1,0,的，

好（一1,小,0）.

设z?=（x,y,z）为平面OW的一个法向量,

\VM,n—3x+-\/3y=Q,

则J取z=l,

[诙•n=-x+-\[2z=0,

则尸蛆，y=—\/6,：.n—（A/2,一加，1）.

二点夕到平面的的距离

,|A•砺|4A/2

〃=”r=3-

方法总结》点到平面的距离，利用向量法求解比较简洁，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上,

作曲L平面CMN千H.茁曲=两中丽皮曲・n=n•面f,

得|曲・n\=\n*喇=|物|•\n\,

济ml就IQ网|A•网

所以|掰=—向一，即d=―向一.

【训练3]（2010•江西）如图，△板及都是边长为2的正三角形，平面加2L平面BCD,ABV

平面比AB=2小.

（1）求点A到平面侬的距离；（2）求平面力以及平面以》所成二面角的正弦值.

解取切中点0,连OB,OM,则血龙，OMLCD.

又平面加2L平面比2则初_L平面比0

取。为原点，直线依BO、掰为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=®则各点坐标分别为。（1,0,0）,"（0,0,回B（0,一小,0）,4（0,一，§,2小）.

（1）设z?=（x,y,z）是平面如。的法向量，则宓=（1,耳§,0）,雄=（0,小,小）,

由A_L应得x+y[3y=0；由A_L诙得]§广1~m2=0.

取〃=（羽，-1,1）,或=（0,0,2/），则4^[^=工=^^.

（2）^（-1,0,小）,以=（一1,一木,2^3）.

设平面的法向量为功=（x,y,z）,

由m_1_诙4_1_冷得]。，厂解得刀="2,y=z,取m=（m，1,1）.

|-*—何+2Vsz=0,

又平面BCD的法向量为n2=（0,0,1）.

所以cos<77；,加=/：：7：：/=泉设所求二面角为。，则sin，=¥.

规范解答15——立体几何中的探究性问题

【问题探讨】高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探

究性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度，空间角的范围和体积的范围的探究，对条件和结论

不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是“是否存在？存在给出

证明，不存在说明理由

【解决方案】解决存在及否类的探究性问题一般有两个思路：一是干脆去找存在的点、线、面或是一

些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，假如得出了一个合理的结果，就说

明其存在；假如得出了一个冲突的结果，就说明其不存在.

【示例】》(本小题满分14分)(20H•福建)如图，四棱锥以腼中，弘，底面被力.四边形被力中，

ABVAD,AB+AD=^,g杂,ZCDA=45°.

(1)求证：平面必&L平面

⑵设世=四

(i)若直线依及平面物所成的角为30°,求线段"的长；

(ii)在线段4?上是否存在一个点G,使得点G到点尸、B、C、〃的距离都相等？

［解答示范］(1)因为〃_!_平面被力，A氏平面ABCA,

所以PAVAB.

又AB1AD,PA^AD=A,所以"_L平面总

又ABcz平面PAB,所以平面44员L平面PAD.(4分)

(2)以4为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图).

在平面俶7?内，作龙〃四交助于点瓦

则CEVAD.

在Rt△颇'中，DE=CD*cos45°=1,CE=CD»sin45°=1.

设四=加三匕，则以£,0,0),尸(0,0,t).由四十@?=4得，AD=4-t,

所以夙0,3—60),<7(1,3-1,0),Z?(0,4-1,0),。方=(-1,1,0),PT=(0,4-t,一力.(6分)

(i)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

——1-x+y=0,

由zd_C方，ntP方,得1,八

,4—ty-tz=Q.

取x=t,得平面PCD的一个法向量n—(t,t,4—t).

又P卡=(t,0,—t),

故由直线期及平面物所成的角为30°得cos60°=-------—，即/二」，：~~7=^=

|z?|•\PT\声+「+4T②•丹

1

2f

44

解得亡=三或t=4(舍去)，因为M=4—£>0,所以"=三.(9分)

00

(ii)法一假设在线段加上存在一个点G,使得点G到尸，B,C,〃的距离都相等，

设G(0,处0)(其中0W辰4-t),

则GT=(1,3—2一@0),G^=(0,4-t-m,0),GP=(0,-a,t).

由|G?=|G方|得1+(3—t—/2=(4—R)2,即t=3—r；(1)

由|G方|=|GA|得(4—t—H)2="+/.(2)

由⑴、(2)消去t,化简得"一3/4=0.(3)(12分)

由于方程(3)没有实数根，所以在线段皿上不存在一个点G,使得点G到点AG〃的距离都相等.从

而，在线段皿上不存在一个点G