八年级数学下册专题1 8 .8 四边形中的最值问题专项训练（30道）

专题18.8四边形中的最值问题专项训练（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学

生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！

一.选择题（共10小题）

1.（2022春•重庆期末）如图，矩形A8CD中，AB=2遮,BC=6,P为矩形内一点，连接力,PB,PC,

则氏+PB+PC的最小值是（）

A.48+3B.2V21C.2V3+6D.4V5

【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°,得到△£/（,连接PF、AE、AC,则AE的长即为所求.

【解答】解：将△8PC绕点C逆时针旋转60°,得到△£人7,连接尸尸、AE.AC,则AE的长即为所求.

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形,

：.PC=PF,

：.PA+PB+PC^PA+PF+EF,

...当4、P、F、E共线时，出+尸8+PC的值最小,

,•,四边形A8CQ是矩形,

・・・NA8C=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=4V3,

•*»AC=2AB,

，NAC8=30°,AC=2AB=4V3,

'."ZBCE=60°,

.•./ACE=90°,

：.AE=J（46）2+62=2>/21,

故选：B.

2.（2022•浦桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C,A8=4,AC=3,以BC为对角线作正方形BDCE,

连接A。，则AO的最大值是（）

Ec

A.5B.7C.7V2D.1V2

【分析】如图将△BOA绕点D顺时针旋转90°得到△COM.由旋转不变性可知：A8=CM=4,04=

DM.乙4£>M=90°,推出△4OM是等腰直角三角形，推出推出当AM的值最大时，4。的

值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题：

【解答】解：如图将△8D4绕点。顺时针旋转90°得到△COM.

Hz

由旋转不变性可知：AB=CM=4,DA=DNI.ZADM=90°,

...△AOM是等腰直角三角形，

：.AD=专AM,

...当AM的值最大时，AO的值最大，

"：AM^AC+CM,

：.AM^7,

：.AM的最大值为7,

•'•AD的最大值为，2,

故选：D.

3.（2022春•中山市期末）如图，在边长为的正方形ABC。中，E是对角线8。上一点，且BE=BC,点

P是CE上一动点，则点P到边8力，8c的距离之和PM+PN的值（）

B.有最小值日a

C.是定值4D.是定值

【分析】连接8P,作£尸，8c于点凡由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE=a,可求EF,

利用面积法得SBPE+S&BPC=S/\BEC）将面积公式代入即可.

【解答】解：如图，连接8P,作EF_L8C于点尸，则NEFB=90°,

:正方形的性质可知/EBF=45°,

...△5EF为等腰直角三角形，

•••正方形的边长为小

:.BE=BC=a,

：.BF=EF=与EB=ya,

,:PMLBD,PNLBC,

S2BPE^S4BPC=SdBEC，

：.-BEXPM+-BCXPN=-BCXEF,

222

,:BE=BC,

:.PM+PN=EF=

2

则点P到边BD,BC的距离之和PM+PN的值是定值岑

故选：D.

4.（2022春•三门峡期末）如图，在矩形A8C。中，AB=2,AD=l,E为A8的中点，F为EC上一动点、,

户为QF中点，连接尸8,则P8的最小值是（）

A.2B.4C.V2D.2>/2

【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段PxPi，再根据垂线段最短可得当时,

尸8取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知gPJLBA，故8P的最小值为8Pl的长，由勾股

定理求解即可.

【解答】解：如图：

当点厂与点C重合时，点P在P处，CPI=OPI，

当点尸与点E重合时，点P在P2处,EP2=DP2,

.•.PIP2〃C£^PP2=#E.

当点尸在EC上除点C、£的位置处时;有DP=FP.

由中位线定理可知：P/〃CE且尸iP=^CF.

.•.点P的运动轨迹是线段PR，

...当8PJ_PP2时,PB取得最小值.

:矩形A8CD中，AB=2,AD=\,E为AB的中点，

:ACBE、△AQE、△BCR为等腰直角三角形，CP,=1.

:.NADE=NCDE=NCPiB=45°,NOEC=90°.

.♦./OP2Pl=90°.

，NOPIP2=45°.

O

.".ZP2PIB=90，即8Pl_LP，2，

.•.8P的最小值为BPI的长.

在等腰直角BCPi中，CP尸BC=l.

：.BPt=V2.

...PB的最小值是企.

故选：C.

5.(2022春•滨湖区期末)如图，已知菱形A8CD的面积为20,边长为5,点P、。分别是边BC、CD1.

的动点，且PC=CQ,连接P。、AQ,则PO+AQ的最小值为()

A.4V5B.V89C.10D.7^2

【分析】过点力作8c于点M,延长A例到点4',使4'根据菱形的性质和勾股定理可

得8M=3,以点8为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得8(0,0),

A(3,4),C(5,0),。(8,4),A'(3,-4),然后证明△ABP安△A。。(SAS),可得AP=

AQ=A'P,连接A'D,AP,A'P,由A'P+PD>A'D,可得A',P,力三点共线时，PD+A'P取

最小值，所以PO+A。的最小值=H)+A'P的最小值=A'D,利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，过点A作AM_L8c于点M,延长AM到点A',使A'M=AM,

;四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=AD=5,ZABC=ZADC,

:菱形ABCZ)的面积为20,边长为5,

在Rt2\ABM中，根据勾股定理得：

BM=\/AB2-AM2=3,

以点8为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系,

：.B(0,0),A(3,4),C(5,0),D(8,4),Af(3,-4),

■:PC=CQ,BC=CD,

：.BP=DQ,

在△A5P和△AOQ中，

AB=AD

乙ABC=Z.ADC,

BP=DQ

：./\ABP^AADQ(SAS),

：.AP=AQ=A'P,

连接A'D,AP,A1尸，

,:及P+PD>A'D,

：.Ar,P,。三点共线时，PD+AfP取最小值，

..，。+4。的最小值=2。+4'尸的最小值=A'D=J（8-3>+（4+4产=俩.

故选：B.

6.（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边C£>上的两个动点，满足AM=BN,连接AC交

BN于点、E,连接。E交AM于点尸，连接C尸，若正方形的边长为2,则线段CF的最小值是（）

A.2B.1C.V5-1D.V5-2

【分析】根据正方形的性质可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利用““心”证

明RtZ\A£>M和RtZYBCN全等，根据全等三角形对应角相等可得N1=N2,利用“SAS”证明△£>(“和

△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得N2=N3,从而得到/1=/3,然后求出NAF£>=90°,

取4。的中点。，连接OR0C,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得。尸=/。=1,利用

勾股定理列式求出0C,然后根据三角形的三边关系可知当0、尺C三点共线时，CT的长度最小.

【解答】解：在正方形ABC。中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,

在RtAADM和Rt^BCN中,

(AD=BC

UM=BN'

：.Rt/\ADM^Rt^BCN(HL),

在△力CE和△BCE中，

BC=CD

Z-DCE=乙BCE,

£E=CE

••.△DCE/ABCE(SAS),

AZ2=Z3,

；.Z1=Z3,

VZA£>F+Z3=ZADC=90°,

AZ1+ZADF=9O°,

ZAFD=180°-90°=90°,

取A。的中点O,连接OF、OC,

则OF=DO=1,

在RtAODC中，OC=>/DO2+DC2=Vl2+22=瓜

根据三角形的三边关系，OF+CF>OC,

...当0、F、C三点共线时，CF的长度最小，

最小值=OC-0尸=岔一1.

故选：C.

7.（2022•龙华区二模）如图，已知四边形4BCO是边长为4的正方形，E为上一点，且。E=l,尸为

射线BC上一动点，过点E作EGLAF于点尸，交直线A8于点G.则下列结论中：®AF=EG；②若N

B4F=NPC凡则尸C=PE；③当/CP尸=45°时，BB=1；④PC的最小值为VH-2.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】连接4E,过E作于H,则E〃=8C,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF

=EG,故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE=PC；故②正确；连接EF,

推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到/FEC=NFPC=45°,于是得到8Q=OE=1,同

理当尸运动到C点右侧时，此时NFPC=45°,且EPC尸四点共圆，EC=FC=3,故此时"=8C+CF

=4+3=7.因此8尸=1或7,故③错误；取AE的中点。，连接P。，CO,根据直角三角形的性质得到

AO=PO=\AE,推出点P在以。为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根据三角形

的三边关系得到PC^OC-OP,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：连接AE,过E作于H,

则EH=BC,

；AB=BC,

:.EH=AB,

'：EG±AF,

：.ZBAF+ZAGP^ZBAF+ZAFB=9OQ,

:.NEGH=NAFB,

'：ZB=ZEHG=90°,

,△HEGqAABF(AAS),

：.AF=EG,故①正确；

"：AB//CD,

：.NAGE=NCEG,

ZBAF+ZAGP=9Q°,NPCF+NPCE=90°,

NBAF=NPCF,

ZAGE=ZPCE,

：.NPEC=ZPCE,

:.PE=PC；故②正确；

连接EF,

；NEPF=NFCE=90°,

...点E、P、F、C四点共圆，

：.ZFEC=ZFPC=45°,

：.EC=FC,

：.BF=DE=\,

同理当尸运动到C点右侧时，此时/FPC=45°,且E、P、C、F四点共圆，EC=FC=3,故此时8尸

=BC+CF=4+3=7.因此BF=1或7,故③错误；

取AE的中点。，连接尸O,C0,

：.AO=PO=^AE,

VZAPE=90°,

.,.点尸在以。为圆心，AE为直径的圆上，

..,当0C最小时，CP的值最小，

,:PCN0C-0P,

：.PC的最小值=0C-0P=0C-^AE,

'：0C=J22+1)2=苧，在RtAADE中，AE=V42+l2=V17,

'.PC的最小值为季-9，故④错误，

故选：B.

8.（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,尸为边BC上一动点（且点

P不与点B、C重合），PE_LAB于E,P尸J_AC于尸.则E尸的最小值为（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEA尸是矩形；连接物，则孙=EF,所以要使EF,即网最

短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得以的值.

【解答】解：如图，连接以.

•.•在△ABC中，AB=6,AC=8,8c=10,

：.BC2=AB2+AC2,

：.ZA=90°.

又,?PE1AB于点E,PF1.AC于点R

AZAEP=ZAFP=90°,

四边形PEAF是矩形.

J.AP^EF.

二当BA最小时,E尸也最小,

即当AP_LCB时，用最小，

'：-AB'AC=-BC'AP,即AP=丝型=幽=4.8,

22BC10

线段EF长的最小值为4.8；

故选：B.

9.（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCQ边长为1,点E,F分别是边8C,C。上的两个动点，且

BE=CF,连接BF,DE,则8F+OE的最小值为（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

【分析】连接AE,利用△ABE丝△BCF转化线段BF得至UBF+DE^AE+DE,则通过作A点关于BC时称

点“，连接。”交8c于E点，利用勾股定理求出。〃长即可.

【解答】解：连接AE,如图1,

四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC,NABE=NBCF=9Q°.

又BE=CF,

:.△ABEgABCF（SAS）.

：.AE=BF.

所以8P+DE最小值等TAE+OE最小值.

作点A关于BC的对称点HE,如图2,

连接2”，则A、B、”三点共线，

连接。，与BC的交点即为所求的E点.

根据对称性可知AE="E,

所以AE+£>E=Q〃.

在RtZ\A£>H中，AD=],AH=2,

：.DH=y/AH2+AD2=V5,

.,.3F+OE最小值为VI

故选：C.

10.（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设

DE=di，点、F、G与点C的距离分别为42、dy,则4+芯+“3的最小值为（）

C.2V2D.4

【分析】连接AE,那么，AE=CG,所以这三个d的和就是AE+EF+尸C,所以大于等于AC,故当4E“

四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如图，连接AE,

•.•四边形DEFG是正方形,

ZEDG=90°,EF=DE=DG,

•.•四边形A8CD是正方形,

：.AD=CD,N4L>C=9(T,

ZADE=ZCDG,

:./\ADE//\CDG(SAS),

：.AE=CG,

d\+d?+d3=EF+CF+AE,

，点A,E,F,。在同一条线上时，£b+CF+AE最小，即力+豆+为最小,

连接AC,

.*.4+4+&最小值为AC,

在RtZUBC中，AC=&AB=20,

：.d\+d2+d3最小=AC=26，

故选：C.

二.填空题（共10小题）

11.（2022春•江城区期末）如图，NMON=90°,矩形ABC。的顶点A、8分别在边OM、ON上,当5

在边ON上运动时，A随之在上运动，矩形A8CZ）的形状保持不变，其中AB=6,BC—2.运动过

程中点D到点O的最大距离是3+713.

【分析】取A3的中点E,连接OZXOESE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=

利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.

【解答】解：如图：取线段A8的中点E,连接OE,DE,OD,

B

•：AB=6,点E是48的中点，NAO8=90°,

：.AE=BE=3=0E,

:四边形ABCQ是矩形,

：.AD=BC^2,NDAB=90°,

：.DE=>JAE2+AD2=A,

；ODWOE+DE,

当点力，点E,点。共线时，。。的长度最大.

/.点D到点0的最大距离=0E+QE=3+g,

故答案为：3+V13.

12.（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形A8C£＞中，AB=6,40=5,点尸在40上，点。在BC上,

S.AP=CQ,连接CP,QD,则PC+。。的最小值为13.

【分析】连接8P，在8A的延长线上截取AE=A8=6,连接PE,CE,PC+QD=PC+PB,贝ljPC+。。的

最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6,则PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

根据勾股定理可得结果.

:四边形ABCQ是矩形,

：.AD//BC,AD=BC,

\"AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四边形DPBQ是平行四边形,

：.PB//DQ,PB=DQ,

：.PC+QD^PC+PB,

C.PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，

如图，在区4的延长线上截取AE=A8=6,连接PE,CE,

孙是8E的垂直平分线，

:.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

：.PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

'：BE=2AB=\2,BC=AD=5,

：.CE=>1BE2+BC2=13.

：.PC+PB的最小值为13.

...PC+。。的最小值为13.

故答案为：13.

13.（2022•钱塘区一模）如图，在矩形A8C。中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形A8CD内部作正

方形EFGH,连结AH,CG.若4B=10,AO=6,EF=4,则AH+CG的最小值为6〉.

【分析】方法一：延长D4至A',使4'A=E"=EF=4,连接A'E,EG,可得四边形44'EH是平

行四边形，所以A'E=AH,则AH+CG的最小值即为A'E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题.方

法二：过点G作GA'〃A”交AF于点A',可得四边形A/7GA'是平行四边形，进而可以解决问题.

【解答】解：方法一：如图，延长D4至A',使A'4=EH=EF=4,连接A'E,EG,

'：HELAB,AA'LAB,

：.AA'//EH,

VA/A=EH,

四边形AA'EH是平行四边形，

E=AH,

则AH+CG的最小值即为4'E+CG的最小值，

；四边形EFGH是正方形，

:.EF=FG=4,

：.EG=4\[2,

D=AD+AA'=6+4=10,

在RtZiA'DC中，DC=AB=10,

."，C=yjA'D2+DC2=10V2,

"E+CG=A'C-£G=6V2.

则AH+CG的最小值为6V2.

方法二：如图，过点G作GA'〃AH交AB于点4',

AEA'FB

四边形A//GA'是平行四边形,

=HG=4,A'G=AH,

=6,

,:BC=6,

：.A'C=6V1

：.AH+CG^A'G+CG2A'C,

则AH+CG的最小值为6V2.

故答案为：6V2.

14.（2022春•东城区期中）在正方形ABC£＞中，AB=5,点E、尸分别为A。、A8上一点，KAE=AF,

连接BE、CF,贝ljBE+CF的最小值是575.

【分析】连接OF,根据正方形的性质证明(SAS),可得DF=BE,作点。关于A8的

对称点O',连接CQ'交48于点尸，连接O'F,则£>F=。'F,可得5E+CF=CF+CF=D'F+CF

2cO',所以当点尸与点F'重合时，D'F+CF最小，最小值为C。’的长，然后根据勾股定理即可解

决问题.

【解答】解：如图，连接QF,

•.•四边形ABCO是正方形，

：.AD=AB,^BAE=ZDAF=90°,

在△AOF和△A8E中，

AD=AB

乙FAD=Z-EAB^

AF=AE

：.^ADF^/XABE(SAS),

:,DF=BE,

作点。关于A8的对称点/)',连接C。'交AB于点F',连接力'F,则。尸=D'F,

：.BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',

当点F与点尸重合时，D'F+CF最小，最小值为C。’的长，

在RtZ\C£>。中，根据勾股定理得：

CD'=>JCD2+DD'2=V52+102=5V5,

.•.3E+CF的最小值是5花.

故答案为：5V5.

15.(2022春•虎林市期末)如图，在RtZ\ABC中，/BAC=90°,且BA=12,AC=16,点。是斜边BC

上的一个动点，过点。分别作OEJ-AB于点E,。尸_L4C于点尸，点G为四边形OE4尸对角线交点，则

线段GF的最小值为三

【分析】由勾股定理求出8c的长，再证明四边形OE4F是矩形，可得根据垂线段最短和三角

形面积即可解决问题.

【解答】解：连接A。、EF,

VZBAC=90°,且BA=9,AC=\2,

：.BC=>JAB2+AC2=V122+162=20,

'：DELAB,DF±AC,

：.ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

四边形OE4F是矩形，

：.EF=AD,

：.当ADLBC时，AD的值最小，

此时，△A8C的面积=/8XAC=]8CXA£),

...12X16=20X0,

.・,AsD=一48

5

的最小值为

•.•点G为四边形。EA尸对角线交点，

：.GF=^EF=~

故答案为：号.

16.（2022•浦桥区校级三模）在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E为菱形内部一点，且AE=2,连

接CE,点F为CE中点，连接BF,取BF中点G,连接AG,则AG的最大值为:+V7.

【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将。尸和GH的长度先求出来，再

利用三角形的三边关系判断，当AG=AH+HG时最大.

【解答】解：如图所示：连接8。交AC于点O,连接尸O,取08的中点H,连接HG和AH,

:在菱形ABCO中，

二。为AC中点，

:尸为CE中点,

：.OF=-AE=l,

2

当C、F、E、A共线时，OF也为1,

：G为BF中点、H为OB中点,

：.GH=-OF=

22

,在菱形ABC。中且NO=60°,

/.ZABO=-ZABC=-ZADC=30°,N8OA=90°,

22

：.0A=-AB=2,

2

：.0B=俯-22=2y/3,

：.0H=V3,

：.AH=J22+（V3）2=V7,

'：AG^：AH+HG,

：.AG<^+y/7,

...AG的最大值为1+V7.

故答案为：1+V7.

17.（2022春•靖江市校级期末）如图，线段A8的长为10,点。在48上，ZXAC。是边长为3的等边三角

形，过点。作与CD垂直的射线OP,过。P上一动点G（不与。重合）作矩形C£>GH,记矩形CDG”

的对角线交点为O，连接。8,则线段BO的最小值为5.

【分析】连接40,根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD,再证明△ACO丝AWO,则N0A8=

30°；点。一定在NCA8的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OBLAO时，OB的长最小，根据直

角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论.

【解答】解：连接4。，

:四边形COGH是矩形，

：.CG=DH,OC=iCG,OD=他H,

：.OC=OD,

：△ACO是等边三角形，

：.AC=AD,ZCAD=60°,

在△ACO和△A/)0中,

(AC=AD

MO=40,

\CO=DO

：./\ACO^^ADO(SSS),

：.ZOAB=ZCAO=30°,

...点。一定在NC48的平分线上运动,

...当O8_LAO时，08的长度最小，

,：ZOAB=30°,NAOB=90°,

.•.O8=l8=[xl0=5,

即OB的最小值为5.

故答案为：5.

18.（2022春•郸都区期末）如图，在矩形4BCD中，AB=4,AO=8,点E是BC边上一动点，作点B关

于AE的对称点F,连接CF,点P为CF中点，则。P的最小值为，b一2_.

【分析】根据勾股定理和三角形中位线，可以得到OP的长和OD的长，然后再根据图形可知当点P在

线段0。上时，DP取得最小值，然后计算即可.

【解答】解：连接AC、8。交于点。，连接AF,0P,

:四边形ABC。是矩形，ZBAD=90°,AB=4,AO=8,

...点。为AC的中点，BD=^AB2+AD2=4瓜

又•.•点P是CF的中点，

0P是△CAF的中位线，

•点B关于AE的对称点F,A8=4,

：.AF=4,

：.0P=2,

,:BD=45

：.。。=2限

VOP+DP>OD,0P=2,ODS

当点P在。。上时，DP取得最小值，此时DP=OD-0P=2相-2,

故答案为：2病—2.

P为。F中点，连接PB,则PB的最小值是,巡

【分析】取DE中点P，取0c中点P",根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P8,再根

据垂线段最短可得当8PLP/2时，P8取得最小值，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如图：取OE中点尸'，

；「为DF中点,

：.P'P//EC,

取0c中点P",

•./为。尸中点，

：.P"P//EC,

；.P，P',P"三点在同一条直线上，

.•.点P的运动轨迹是线段PP",

...当P"时，PB取得最小值.

过点B作8G1.EC于点G,过尸"作P"MLEC于点M,

.♦.PB的最小值=BG+P"M,

.矩形A8CO中，A8=4,E为A8的中点,

；.AE=BE=2,

,.,BC=An=2百，

；.DE=CE=卜2+(2V3)2=4,

■：AB=CD=4,

...△EOC是等边三角形，

：.ZP"CM=60°,

\'CP"=2,

：.CM=\,

：.P"M=V3,

'：ED=EC,AE=BE,AD^=BC,

.•.△CBEZzMDE(SSS),

:.NDEA=NCEB,

VZDEC=60°.

:.NBEG=60".

'：BE=2,

：.BP=P"M+BG=2q

.•.P8的最小值是2®

故答案是：26.

20.（2022春•如东县期中）如图，已知AB=2",C为线段AB上的一个动点，分别以AC,CB为边在

AB的同侧作菱形4cM和菱形C8GF,点C,E,尸在一条直线上，/。=120°.P、。分别是对角线

AE,的中点，当点C在线段48上移动时，点P,。之间的距离最短为_当_（结果保留根号）.

【分析】连接QC、PC.首先证明NPCQ=90°,设AC=2a,贝ijBC=2y[2-2a,PC=a,CQ=V3（V2-a）.构

建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：连接PC、CQ.

G

:四边形ACED,四边形CBGF是菱形，ZD=120°,

/.ZACE=120°,/FCB=6。",

VP,。分别是对角线4E,8F的中点，

ZECP=-ZACE,ZFCQ=-ZBCF,

2匕2

：.ZPCQ=90°,

设AC=2a,则BC=2a-2。，PC=a,CQ=yBC=V3（V2-a）.

：.PQ=yjPC2+QC2=Ja2+3（V2-a）2=J4（a-^）2+|.

当。=平时，点P,。之间的距离最短，最短距离是苧.

解法二：连接CO、CG、DG,构造中位线解决，当力G与A。或8G垂直时，取最值.

故答案为：冬

三.解答题（共10小题）

21.（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形A8CD的边长为4,点/和N分别是边BC,8上两

点，且BM=CN,连4例和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.

（2）如图②，已知正方形438的边长为4.点M和N分别从点8、C同时出发，以相同的速度沿8C、

C。方向向终点C和。运动，连接4M和BM交于点P.求△AP8周长的最大值.

图①图②

【分析】(1)结论：AMA.BN.只要证明即可解决问题；

(2)如图②中，以A8为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,NAEB=90°,作EFJ_用于F,作EG_L

PB于G,连接EP.首先证明玄+P2=2EF,求出EF的最大值即可解决问题；

【解答】解：(1)结论：AM1BN.

理由：如图①中，

图①

:四边形ABCD是正方形,

：.AB=BC,NABM=NBCN=90°,

,:BM=CN,

二△ABMmWCN,

：./CBN,

,:NCBN+NABN=9b°,

：.ZABN+ZBAM=90°,

乙4尸8=90°,

：.AM±BN.

(2)如图②中，以48为斜边向外作等腰直角三角形△AE8,NAEB=9Q°,作EF_L以于尸，作EG_L

PB于G,连接EP.

N

:NEFP=NFPG=NG=90°,

四边形EFPG是矩形，

:.NFEG=NAEB=90°,

NAEF=NBEG,

；EA=EB,NEFA=NG=90°,

:.2AE乂/XBEG,

：.EF=EG,AF=BG,

四边形EFPG是正方形，

：.PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,

"：EF^AE,

:.EF的最大值=AE=2近,

周长的最大值=4+4位.

22.(2022春•东坡区校级月考)正方形ABC。中，E、尸是上的两个点，AE^DF,连CB交80于点

M,连AM交BE于点、N,连接£W.如果正方形的边长为2.

(1)求证：BELAM；

(2)求。N的最小值.

【分析】正方形的性质：正方形的四边相等，正方形的对角线平分对角，直角三角形斜边的中线等于斜

边的一半；两点之间，线段最短；三角形全等的判定和全等三角形的性质.欲证BELAM,只需证明4

ABN为及△,也就等价于易知NABE=NDCF,于是只需证明NOCF=/D4M.过了

这一关，求极值的问题也就非常简单了.

【解答】（1）证：•••四边形ABC£＞为正方形，

：.AB=DC,NBAE=NCDF=90°,

又AE=QF,

.,.△ABE也△DCF,

二NABE=ZDCF,

,:BD是正方形ABCD的对角线，

4CDM=ZADM,

：.NDCM=ZDAM,

：.ZABE=ZDAM,

：.ZABE+ZBAM^ZDAM+BAM-=90°,

，/ANB=90°,

则BE±AM；

(2)解：取AB中点尸，连PN、PD,

由(1)知：XABN、△4PO均为直角三角形,

PN=豹8=1,PD=>JAD2+AP2=V5,

：.DN^PD-PN=V5-1,

则的最小值为的-1.

23.（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABC。中，BD=4,E、尸分别是40、C£＞上的动点（包

含端点），S.AE+CF=4,连接BE、EF、FB.

（1）试探究BE与的数量关系，并证明你的结论；

（2）求E尸的最大值与最小值.

【分析】（1）由在边长为4的菱形A8CO中，80=4,易得△A8。、△CB。都是边长为4的正三角形,

继而证得△8DE丝ABC尸(SAS),则可证得结论；

(2)由△8OE丝△8CF,易证得△8EF是正三角形，继而可得当动点E运动到点。或点A时，BE的最

大，当8EJ_AO,即E为AO的中点时，8E的最小.

【解答】解:(1)BE=BF,证明如下:

•.•四边形ABC。是边长为4的菱形，BD=4,

.,.△ABO、ACBD都是边长为4的正三角形，

；AE+CF=4,

，CF=4-AE=AD-AE=DE,

又,：BD=BC=4,NBDE=NC=60°,

在△8OE和△8CF中，

DE=CF

乙BDE=Z.C»

BD=BC

:・/\BDE畛ABCF(SAS),

:.BE=BF；

(2)•:ABDE%/XBCF,

:・/EBD=/FBC,

：.NEBD+NDBF=NFBC+NDBF,

；・NEBF=NDBC=60°,

XVBE=BF,

••.△3EE是正三角形，

：.EF=BE=BF,

当动点E运动到点D或点4时，BE的最大值为4,

当BELAO,即E为4。的中点时，8E的最小值为26，

,:EF=BE,

尸的最大值为4,最小值为2b.

24.(2022春•洪山区期中)如图1,E,尸是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=OR连接C尸交

BO于G,连接8E交AG于点”

(1)求证：AGLBE；

(2)如图2,连。H,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是，花-2_.

【分析】(1)根据正方形的性质可得AB=CQ,ZBAD=ZADC=90Q,ZADB=ZCDB=45°,然后

利用“边角边”证明△A3E和△Z)CF全等，根据全等三角形对应角相等可得NA8E=/Z)CF,再利用“边

角边”证明△AOG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得从而得到N4BE

=ZDAG,再根据ND4G+/B4，=90°求出N8AE+NBA”=90°,然后求出/A”B=90°,再根据垂

直的定义证明；

(2)取AB的中点0,连接0〃、0H,利用勾股定理列式求出。力，根据直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半求出0”，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出0、。、”三点共线时，。”最小.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=CD,N8AO=NADC=90°,ZADB=ZCDB=45°,

在aABE和△£>(7尸中，

AB=CD

乙BAD=Z.ADC,

AE=DF

：./\ABE^/\DCF(SAS),

JNABE=NDCF,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

乙ADB=乙CDB»

DG=DG

•••△ADGm4CDG(SAS),

；・NDAG=NDCF,

・・・ZABE=ZDAG,

ZDAG+ZBAH=90°,

：.ZBAE+ZBAH=90°,

/.ZAHB=90°,

：.AGLBE；

(2)取AB的中点O,连接O。、OH,

•••正方形的边长为4,

：.AO=OH=-x4^2,

2

由勾股定理得，OD=V42+22=2V5,

由三角形的三边关系得，。、D、”三点共线时，OH最小,

DH—2V5—2.

故答案为：2病一2.

25.(2022•宁德)如图，四边形A3CQ是正方形，aABE是等边三角形，M为对角线8。(不含8点)上

任意一点，将绕点8逆时针旋转60°得到连接EMAM.CM.

(1)求证：4AMB公AENB；

(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

(3)当AM+BM+CM的最小值为8+1时，求正方形的边长.

【分析】(1)由题意得NABN=15：所以NEBN=45°,容易证出△AM8四△ENB；

(2)①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在8。的中点时，AM+C例的值最小；

②根据“两点之间线段最短”，当M点位于8。与CE的交点处时，AM+8M+CM的值最小，即等于EC

的长(如图)：

(3)作辅助线，过E点作EF_LBC交的延长线于凡由题意求出/E8F=30°,设正方形的边长为

x,在RtaEFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为鱼.

【解答】(1)证明：•••△ABE是等边三角形，

：.BA=BE,NABE=60°.

60°,

NMBN-NABN=NABE-ZABN.

即/M8A=NNBE.

又,：MB=NB,

：./XAMB^/XENB(SAS).

(2)解：①当M点落在8。的中点时，4、M、C三点共线，AM+CM的值最小.②如图，连接CE,当

M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小，

理由如下：连接MN,由(1)知，/XAMB乌AENB,

：.AM=EN,

VZMB7V=6O°,MB=NB,

...△BMN是等边三角形.

:.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小

值为EC.

在△A8W和△CBM中，

AB=CB

4aBM=4cBM,

.BM=BM

.,.△ABM丝△CBM(SAS),

:.NBAM=NBCM,

：.ZBCM=ZBEN,

；EB=CB,

若连接EC,则/BEC=ZBCE,

:/BCM=NBCE,NBEN=ZBEC,

：.M,N可以同时在直线EC上.

二当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.

(3)解：过E点作EFJLBC交C8的延长线于F,

:.NEBF=NABF-NABE=90°-60°=30°.

设正方形的边长为x,则8尸=乌;，EF=

22

在RtAfFC中，

'：EF2+FC2^EC2,

,2+(y.r+x)2=(V3+I)2.

解得Xl=&，X2=-V2(舍去负值).

...正方形的边长为近.

26.(2022•南充模拟)如图，M,N是正方形A8C。的边CD上的两个动点，满足CM=£W,AC,8M相

交于点E,OE与AN相交于点F,连接CF.

(1)求证：DE工AN.

(2)若正方形A8C。的边长为4,求CF的最小值.

D

E

B

【分析】(1)根据正方形的性质证明△BCMgAWN和△BCEg/XOCE,得到NCOE=NM4。，因此

ZDAN+ZADF=ZCDE+ZADF=90°,进而求证；

(2)取AO中点P,连接PRCP,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出尸尸的长度，根

据勾股定理求出CP的长度，根据C臼FP2CP,即可求得.

【解答】(1)证