人教新版九年级上学期《22. 3 实际问题与二次函数》同步练习卷

人教新版九年级上学期《22.3实际问题与二次函数》

同步练习卷

一.选择题（共10小题）

1.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线

运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入

篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标

系中，下列说法正确的是（）

^KO.3-5）

k-4洲一＞1

A.此抛物线的解析式是y=-1X2+3.5

5

B.篮圈中心的坐标是（4,3,05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）

D.篮球出手时离地面的高度是2m

2.如图，抛物线y=L（x+2）（x-8）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

4

顶点为M,以AB为直径作G）D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；

②。D的面积为16兀；③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形；

④直线CM与。D相切.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正

方形组成，且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图

乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方

形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）

甲乙

-3O.517V

3。5乐

A.11

130.5^--30P]

c.^r^

）-0|；0.5*x

4.如图，已知抛物线％=-x2+l,直线丫2=-x+l,当X任取一值时，X对应的函

数值分别为yi»y2.若V件丫2,取Vi，V2中的较小值记为M；若yi=y2>记

M=y.y2.例如:当x=2时，yi=-3,y2=-1,yi<y2>此时M=-3.下列判断

中：

①当xVO时，M=yi；

②当x>0时，M随x的增大而增大；

③使得M大于1的x值不存在；

④使得M=L的值是-返或工，

222

其中正确的个数有（)

y

5.如图，RtAOAB的顶点A（-2,4）在抛物线y=ax2±,将RtAOAB绕点0

顺时针旋转90°,得到aOCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为

（）

A.（亚，后）B.（2,2）C.（亚，2）D.（2,扬

6.如图，两条抛物线yi=-*x2+l,丫2=卷乂2-1与分别经过点（-2,0）,（2,0）

且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）

C.10

7.如图，点A,B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线y=a（x-m）2+n

的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C

在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为（）

x

A._3B.1C.5D.8

8.如图，四边形ABCD中，ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为

x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是（）

B.y=—2Cv-22D.y=—2

25XxC.5x

9.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在I时，拱顶（拱桥洞的

最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线

的关系式是（

图(1)

y=--x2D.y=-x2

22

10.如图，已知：正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点，且

AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图

二.填空题（共10小题）

11.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水

面宽度增加m.

12.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解

析式是y=60t-1>t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m.

13.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其

可以活动的区域面积为S（n?）.

（1）如图1,若BC=4m,贝|S=m2.

（2）如图2,现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△

CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC

的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m.

ADAD

图1图2

14.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1）,完全开启后，水流路

线呈抛物线，把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至

出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高

10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心

15.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，

每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a>0）.未来30天，这款时装将

开展“每天降价1元"的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天

降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在

这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）

的增大而增大，a的取值范围应为.

2

16.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数yi=x?（x»0）与y2=三-（x20）的

3

图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交yi的图象于点D,直线DE〃AC,

交丫2的图象于点E,则还=.

17.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于

A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为拱桥底部的

两点，且DE〃AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为m.

18.如图，抛物线y=ax?+c（a<0）交x轴于点G,F,交y轴于点D,在x轴上

方的抛物线上有两点B,E,它们关于y轴对称，点G,B在y轴左侧，BA±

0G于点A,BCLOD于点C,四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和

10,则4ABG与4BCD的面积之和为

19.如图，在aABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿

边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边

BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时

出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.

20.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易

的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高

1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点

距地面的距离为米.

三.解答题（共20小题）

21.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与一直线相交于A（1,0）、C（-2,3）两

点，与y轴交于点N,其顶点为D.

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值及

此时点P的坐标；

(3)在对称轴上是否存在一点M,使aANM的周长最小.若存在，请求出M

点的坐标和^ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

22.如图，抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ACM的周长最小？若存在，请求

出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)设抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时.满足S

APAB=8,并求出此时P点的坐标.

23.如图1,抛物线y=ax?+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点，交y轴于点C,

过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是

该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(m>4).

(1)求该抛物线的表达式和NACB的正切值；

(2)如图2,若NACP=45°,求m的值；

(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PMLCD,垂足为M,

直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.

24.如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)

两点，与y轴交于点C

(1)求此二次函数解析式；

(2)点D为抛物线的顶点，试判断4BCD的形状，并说明理由；

(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M,N

两点(点M在y轴的右侧)，当^AMN为直角三角形时，求t的值.

25.如图，以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,

直线BC的表达式为y=-x+3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与4BCD相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，抛物线y=ax?+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交

于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NCAO；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三

角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx-2与x轴交于点A、B(点A

在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,-2),OB=4OA,tanZBCO=2.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒逅个单位

2

的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，

当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动.过点M作MP_l_x轴于

点E,交抛物线于点P.设点M、点N的运动时间为t(s),当t为多少时，

△PNE是等腰三角形？

28.为响应荆州市"创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩

形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m,另外

三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm,面

积为yn?（如图）.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160m2,求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的

单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？

此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.

甲乙丙

单价（元/棵）141628

合理用地（n？/棵）0.410.4

29.某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后

出售，每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）

之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5WxW5.5,另外每天还

需支付其他各项费用80元.

销售单价X（元）3.55.5

销售量y（袋）280120

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大

利润是多少元？

30.某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题.已知前

7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第

x年）的关系构成一次函数，（1WXW7且x为整数），且第一和第三年竣工投

入使的公租房面积分别为丝和工百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公

62

租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系是y=-Lx+①（7

84

VxW12且x为整数）.

（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人

均住房面积，最后一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的

公租房面积可解决多少万人的住房问题？

（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的

租金各不相同，且第一年，一年38元/m2,第二年，一年40元/m2,第三年，

一年42元/n?,第四年，一年44元/n?.…以此类推，分析说明每平方米的年

租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；

（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每

年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的

最大值（单位：亿元）.如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58m2的

房子，计算老张这一年应交付的租金.

31.已知抛物线y=ax?+bx+c过点A（0,2）.

（1）若点（-血，0）也在该抛物线上，求a,b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（X1，yi）,N（X2，丫2）都满足：当X1<X2<

0时，（X1-X2）（yi-y2）>0；当0Vxi〈X2时，（Xi-X2）（yi-y2）<0.以原

点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且4ABC有一个

内角为60。.

①求抛物线的解析式；

②若点P与点0关于点A对称，且0,M,N三点共线，求证：PA平分NMPN.

32.已知:如图，抛物线y=ax?+bx+c与坐标轴分别交于点A（0,6）,B（6,0）,

C（-2,0）,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

(2)当点P运动到什么位置时，4PAB的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE〃x轴交抛物线于

点E,连结DE,请问是否存在点P使aPDE为等腰直角三角形？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，说明理由.

33.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点，抛物线

上另有一点C在x轴下方，且使△OCAsz^OBC.

(1)求线段OC的长度；

(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的

解析式；

(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC

面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

34.综合与探究

如图，抛物线y=1x2」x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y

33

轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的

横坐标为m,过点P作PM_Lx轴，垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作

PE〃AC交x轴于点E,交BC于点F.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶

点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在,

请说明理由；

(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值.

35.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+2x+c与x轴交于A(-1,0),B

(3,0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边

的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，

36.为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发

展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，

合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间

数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：

(1)求y与x之间的函数关系式；

（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的

每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每

天获利最大？最大利润是多少？

37.已知抛物线y=a（x-1）?过点（3,1）,D为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0,1）,且NBDC=90。，求点C的坐

4

标;

（3）如图，直线y=kx+4-k与抛物线交于P、Q两点.

①求证：NPDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值.

38.如图，抛物线经过原点。（0,0）,点A（1,1）,点B自，0）.

（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA,过点A作ACJ_OA交抛物线于C,连接。C,求△AOC的面积;

（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM,过点M作MN±OM交x轴

于点N.问：是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与（2）中的

△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

yy

w用图

39.如图，点P为抛物线y=1x2上一动点.

4

（1）若抛物线y=Lx?是由抛物线y=l（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写

44

出平移的过程；

（2）若直线I经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N的坐标为（0,-1）,过

点P作PM1I于M.

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立？若存

在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1,5）,求QP+PF的最小值.

40.如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（-1,0）、B（3,0）、C

（0,3）,D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）F（x,y）是抛物线上的动点：

①当x>l,y>0时，求4BDF的面积的最大值;

②当NAEF=NDBE时，求点F的坐标.

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同步练习卷

参考答案与试题解析

—.选择题（共10小题）

1.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线

运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入

篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标

系中，下列说法正确的是（）

B.篮圈中心的坐标是（4,3.05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）

D.篮球出手时离地面的高度是2m

【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,依题意可知图象经过的坐标，由此

可得a的值；

B、根据函数图象判断；

C、根据函数图象判断；

D、设这次跳投时，球出手处离地面hm,因为（1）中求得y=-02x2+3.5,当x=

-2,5时，即可求得结论.

【解答】解：A、•••抛物线的顶点坐标为（0,3.5）,

可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5.

•篮圈中心（1.5,3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=aX1.52+3.5,

•a__1

5

/.y=--X2+3.5.

5

故本选项正确；

B、由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),

故本选项错误；

C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),

故本选项错误；

D、设这次跳投时，球出手处离地面hm,

因为(1)中求得y=-0.2x2+35,

...当x=-2.5时，

h=-0.2X(-2.5)2+3.5=2.25m.

,这次跳投时，球出手处离地面2.25m.

故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函

数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函

数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键.

2.如图，抛物线y=1(x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

4

顶点为M,以AB为直径作。D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；

②。D的面积为16兀；③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形；

④直线CM与。D相切.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线

的对称性即可判定；

②求得OD的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，

③过点C作CE〃AB,交抛物线于E,如果CE=AD,则根据一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形即可判定；

④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定.

【解答】解：,在y](x+2)(x-8)中，当y=0时，x=-2或x=8,

二点A(-2,0)、B(8,0),

抛物线的对称轴为x=Z坦=3,故①正确；

2

•••OD的直径为8-(-2)=10,即半径为5,

.,.OD的面积为25“故②错误；

在y=L(x+2)(x-8)=—x2-—x-443>当x=0时y=-4,

442

.,.点C(0,-4),

当y=-4时，—X2-—x-4=-4,

42

解得:Xi=0、X2=6,

所以点E(6,-4),

则CE=6,

VAD=3-(-2)=5,

.♦.ADWCE,

二四边形ACED不是平行四边形，故③错误；

*.'y=—x2--x-4=—(x-3)2--,

4244

.•.点M(3,-空)，

4

设直线CM解析式为y=kx+b,

b=-4

将点C(0,-4)、M(3,-丝)代入,

得：3k+b二号’

4

解得：-

b=-4

所以直线CM解析式为y=--5.x-4；

4

设直线CD解析式为丫=0^+塾

n=-4

将点C(0,-4)、D(3,0)代入，得:

3m+n=0

所以直线CD解析式为y=lx-4,

3

由-之义乌=-1知CM1CD于点C,

43

，直线CM与。D相切，故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标

的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线

的判定等.

3.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正

方形组成，且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图

乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方

形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()

甲乙

【分析】先求出^AEF和aDEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而

可得y与X的函数关系式.

2

【解答】解：SAAEF=—AEXAF=1X,SADEG=—DGXDE=1X1X(3-x)=旦，

22222

S五边形EFBCG=S正方杉ABCD-S^AEF-S^DEG=9--^-X2-3cx=--i-x2+-i-x+-^-，

22222

贝ijy=4X(-1X2+^X+A5.)=-2X2+2X+30,

222

VAE<AD,

：.x<3,

综上可得:y=-2X2+2X+30(0<X<3).

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数

关系式，对于有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值

进行判断.

4.如图，已知抛物线丫产-x2+l,直线丫2=-x+1,当x任取一值时，x对应的函

数值分别为ynV2.若v件Vz，取yi»V2中的较小值记为M；若yi=y2,记

M=yx=y2.例如:当x=2时，y1=-3,y2=-1,yi<y2,此时M=-3.下列判断

①当xVO时，M=yi；

②当x>0时，M随x的增大而增大;

③使得M大于1的x值不存在;

④使得M4的值是一坐或上

其中正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用函数图象，进而结合一次函数与二次函数增减性以及函数值的意义

分别分析得出即可.

【解答】解：•••当x任取一值时，x对应的函数值分别为yi，丫2.若V6V2,取

yi，丫2中的较小值记为M；若yi=y2，记M=yi=y2.

二①当x<0时，由图象可得yi〈y2，故乂=丫1；故此选项正确；

②当l>x>0时，yi>y2，M=y2,直线y2=-x+1中y随x的增大而减小，故M随

x的增大而减小，此选项错误；

③由图象可得出：M最大值为1,故使得M大于1的x值不存在，故此选项正

确；

④当-lVxVO,M=1时，即yi=-x2+l=L,

22

解得：x尸-返，x①（不合题意舍去），

22

当OVxVl,M=!时，即丫2=-x+l=L,

22

解得：X』

2

故使得M=2的值是-返或工，此选项正确.

222

故正确的有3个.

故选：C.

V

【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确

利用数形结合得出是解题关键.

5.如图，RtAOAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2±,将RtAOAB绕点。

顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为

C.(加,2)D.(2,V2)

【分析】首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段0B的长,

从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐

标即可;

【解答】解：：RtAOAB的顶点A(-2,4)在抛物线丫=2*2上,

.•.4=aX(-2)2,

解得:a=l

•■•解析式为y=x2,

VRtAOAB的顶点A(-2,4),

，OB=OD=2,

,/RtAOAB绕点0顺时针旋转90°,得到△OCD,

，CD〃x轴，

...点D和点P的纵坐标均为2,

.•.令y=2,得2=X2,

解得:X=±W，

,点P在第一象限，

.•.点P的坐标为：（后，2）

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式,

然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数

的解析式求解即可.

6.如图，两条抛物线yi=-*x2+l,丫2=-1^2-1与分别经过点（-2,0）,（2,0）

且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）

A.8B.6C.10D.4

【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积.

【解答】解：如图，

•••两解析式的二次项系数相同，

两抛物线的形状完全相同，

二两条抛物线是上下平移得到，

由平移性质得两个黄色阴影部分的面积相等，

/.Vi-y=-—x2+l-（-—x2-1）=2；

222

阴影=（yi-丫2）*|2-（-2）=2X4=8,

故选：A.

【点评】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题.

7.如图，点A,B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线y=a（x-m）2+n

的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于C、D两点(C

【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1,4),根据此时抛物线的

对称轴，可判断出CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4,4),再根据此时抛物线的对称轴及

CD的长，可判断出D点横坐标最大值.

【解答】解：当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=l,

此时D点横坐标为5,则CD=8；

当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D

(8,0)；

由于此时D点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故选：D.

【点评】能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点

坐标是解答此题的关键.

8.如图，四边形ABCD中，ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为

x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是()

「22

C.D.y=—2

5Xx

【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将aABC绕A点逆时针旋转

90。到4ADE的位置,求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问

题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE,下底

AC,高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积.

【解答】解：作AELAC,DE_LAE,两线交于E点，作DF_LAC垂足为F点，

,/ZBAD=ZCAE=90°,即ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZDAE

/.ZBAC=ZDAE

XVAB=AD,ZACB=ZE=90°

/.△ABC^AADE(AAS)

，BC=DE,AC=AE,

设BC=a,则DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,

CF=AC-AF=AC-DE=3a,

在Rt^CDF中，由勾股定理得，

CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2,

解得：a=三，

5

y=S四边形ABCD=S梯柩ACDE=£X(DE+AC)XDF

=—X(a+4a)X4a

2

=10a2

【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积,

充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用.

9.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在I时，拱顶（拱桥洞的

最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线

的关系式是（）

【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函

数解析式为：y=ax2,利用待定系数法求解.

【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2,aWO；

那么（2,-2）应在此函数解析式上.

则-2=4a

即得a=-1,

2

那么y=-lx2.

2

故选：C.

【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到

在此函数解析式上的点.

10.如图，已知：正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点，且

AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图

象大致是（）

A.B.

【分析】根据条件可知AAEH公ABFE丝ACGF丝ADHG,设AE为x,贝UAH=1-x,

根据勾股定理EH2=AE2+AH2=X2+(1-X)2,进而可求出函数解析式，求出答案.

【解答】解：•••根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH,

，可证△AEH之Z\BFE丝4CGF乌ZWIHG.

设AE为x,则AH=l-x,根据勾股定理，得

EH2=AE2+AH2=X2+(1-x)2

即s=x2+(1-X)2.

s=2x2-2x+l,

所求函数是一个开口向上，

对称轴是直线X=l.

2

,自变量的取值范围是大于0小于1.

故选：B.

【点评】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决.

二.填空题(共10小题)

11.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水

面宽度增加(4及-4)m.

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把

y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点。且

通过C点，则通过画图可得知0为原点,

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,B两点，0A和0B可求出为AB的一半2米,

抛物线顶点C坐标为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式y=ax?+2,其中a可通过代入A点坐标（-2,0）,

到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-05x2+2,

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交

的两点之间的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

-2=-0.5X2+2,

解得：x=±2&,所以水面宽度增加到4y米，比原先的宽度当然是增加了（4立

-4）米，

故答案为：4^2-4.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函

数解析式是解决问题的关键.

12.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解

析式是y=60t-1>t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是24m.

【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，

求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离.

【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，

则y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600,

此时t=20,飞机着陆后滑行600米才能停下来.

因此t的取值范围是04W20；

即当t=16时，y=576,

所以600-576=24（米）

故答案是:24.

【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或

配方法是解题关键.

13.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其

可以活动的区域面积为S（m2）.

（1）如图1,若BC=4m,则S=88An?.

（2）如图2,现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△

CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC

的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为1m.

~2-

ADAD

图1图2

【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的之圆，以C为圆

4

心、6为半径的工圆和以A为圆心、4为半径的工圆的面积和，据此列式求解

44

可得；

（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的巨圆，以A为圆心、

4

x为半径的工圆、以C为圆心、10-X为半径的皿圆的面积和，列出函数解

4360

析式，由二次函数的性质解答即可.

【解答】解：（1）如图1,拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗

可以活动的区域如图所示：

圄1

由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的3圆，以C为圆心、

4

6为半径的工圆和以A为圆心、4为半径的工圆的面积和，

44

S=-XR*102+—*11*62+—•R«42=88n,

444

故答案为：88兀；

(2)如图2,

图2

设BC=x,则AB=10-x,

/.S=—«^«102+—•n*x2+-^-*n*(10-x)2

44360

=—(x2-5x+250)

3

=2L(x-旦)24325兀，

324

当x="时，S取得最小值，

2

BC=—,

2

故答案为：”.

2

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形

得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积.

14.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后，水流路

线呈抛物线，把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至

出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高

10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心

E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为24-8出cm.

图1

【分析】先建立直角坐标系，过A作AG_LOC于G,交BD于Q,过M作MPJ_

AG于P,根据△ABQSAACG,求得C(20,0),再根据水流所在抛物线经过

点D(0,24)和B(12,24),可设抛物线为y=ax?+bx+24,把C(20,0),B

(12,24)代入抛物线，可得抛物线为y=-9x2+2x+24,最后根据点E的纵

205

坐标为10.2,得出点E的横坐标为6+8M，据此可得点E到洗手盆内侧的距

离.

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AGLOC于G,交BD于Q,

过M作MP±AG于P,

由题可得，AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,

；.RtZ\APM中,MP=8,故DQ=8=OG,

二BQ=12-8=4,

由BQ〃CG可得，AABQ^AACG,

•・•BQ_一AQ,gn4_-12,

CGAGCG36

ACG=12,OC=12+8=20,

AC(20,0),

又二水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),

二可设抛物线为y=ax2+bx+24,

把C(20,0),B(12,24)代入抛物线，可得

(=3

[24=1曲a+12b+24,解得广方，

l0=400a+20b+24

2

.•.抛物线为y=--3_X+2X+24,

205

又•••点E的纵坐标为10.2,

2

.,.令y=10.2,贝I10.2=-AX+AX+24,

205

解得Xi=6+8'/^,X2=6-8«(舍去)，

点E的横坐标为6+8&,

又YON=30,

二EH=30-(6+8&)=24-8g.

故答案为:24-8&.

【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应

用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建

模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决

问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问