沪教版九年级上册数学专题训练专题08解非直角三角形重难点专练(原卷版+解析)

专题08解非直角三角形重难点专练（原卷版）第I卷（选择题）一、单选题1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（）A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°2．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()千米B．千米C．千米D．千米第II卷（非选择题）二、解答题3．已知：如图，在△中，，，．求的长．4．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、CD，BD交直线AC于点E.（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD<120°时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当时，请直接写出线段AE的长.5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在轴上，OC=4，直线经过点A，交轴于点D，点E在线段BC上，ED⊥AD.（1）求点E的坐标；（2）联结BD，求cot∠BDE的值；（3）点G在直线BC，且∠EDG=45°，求点G的坐标.6．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.7．△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，.求：（1）BC的长．（2）tanE的值．9．如图，已知中，，，．（1）求边AC的长；（2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．10．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．(1)求楼间距MN；(2)若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？(参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)11．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．12．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．三、填空题13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝_____．17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠D的度数是_____．18．如图，在△中，，,.则边的长为___________.19．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．20．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）专题08解非直角三角形重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（）A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°答案:C分析：作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．【详解】作DE⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC

∴四边形ABED为平行四边形

∴AB=DE=9

∴sinC∴∠C=30°

∴∠ADC=150°

∴较长的腰与底所成的角为30°或150°

故选C．【点睛】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．2．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()A．千米 B．千米 C．千米 D．千米答案:A分析：根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO=PO-PO=.所以答案选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.第II卷（非选择题）二、解答题3．已知：如图，在△中，，，．求的长．答案:．分析：过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC．【详解】解：过点作于．在△中，，，设，则．在△中，，，∴，．∴，．∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决．4．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、CD，BD交直线AC于点E.（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD<120°时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当时，请直接写出线段AE的长.答案:（1）（2）()；（3）或分析：（1）过点作，垂足为点．，则．根据构建方程求出即可解决问题．（2）①证明，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当时，当时，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）是等边三角形，，．，，，，，，．过点作，垂足为点．设，则．在中，，，，，在中，，，解得．所以线段的长是．（2）①设，则，．，，，又，，，又，，，由（1）得在中，，，，．②当时，，则有，整理得，解得或（舍弃），．当时，同法可得当时，，整理得，解得（舍弃）或1，．综上所述：当∠CAD<120°时，；当120°<∠CAD<180°时，.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在轴上，OC=4，直线经过点A，交轴于点D，点E在线段BC上，ED⊥AD.（1）求点E的坐标；（2）联结BD，求cot∠BDE的值；（3）点G在直线BC，且∠EDG=45°，求点G的坐标.答案:（1）（4,1）；（2）2；（3）（4，）或（4,6）.分析：（1）先求出OA、OD、DC的长度，再证明△AOD≌△DCE，从而得出EC=OD，即可求出E点坐标；（2）作EQ⊥BD，根据等腰三角形的性质可求DQ和EQ的长度，即可求出cot∠BDE；（3）分G在C点下方和B点上方两种情况讨论，借助三角形的相似即可求出相应线段的长，从而求出点的坐标.【详解】（1）∵经过点A，点A在y轴上，∴A(0,3)，即OA=3当y=0时，，解得x=1∴D(1,0)，即OD=1∵矩形OABC中OC=4，∴OB=OA=3,DC=OC-OD=3∠AOC=∠BCD=90°.∴∠OAD+∠ADO=90°∵ED⊥AD∴∠EDC+∠ADO=90°∴∠EDC=∠OAD又∵OA=CD=3∴△AOD≌△DCE（ASA）∴CE=OD=1∴E（4,1）.（2）过点E作EQ⊥BD，与BD相交于Q.∵DC=BC=3，∠BCD=90°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=，∠DBC=45°∵EQ⊥BD∴△EBQ为等腰直角三角形∵CE=1∴BE=BC-CE=2∴BQ=QE=∴QD=∴(3)如图①当G点在C点上方时∵∠EDG=45°=∠EDC+∠GDC∠BDC=45°=∠BDE+∠EDC∴∠GDC=∠BDE∴Rt△GCD∽Rt△EQD∴即解得GC=故G（4，）；②当G‘点在B点上方时∵∠DG‘C+∠G‘DB=∠DBC=45°∠G‘DB+∠BDE=∠EDG‘=45°∴∠DG‘C=∠BDE∵∠DBC=∠EDG‘=45°∴△DEG‘∽△BED∴∵,BE=2,∴EG‘=5∴CG‘=6即G‘（4,6）故G点坐标为（4，）或（4,6）.【点睛】本题考查矩形的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形，平面直角坐标系，解直角三角形等，熟练掌握相关定理，并能借助定理求出线段的长度，是解决此题的关键.6．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.答案:解析：分析：由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.【详解】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，则由，就是渔船实际航行的速度，航行的时间为在中，，【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键.7．△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．(1)如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．答案:(1)圆A与圆O外切，理由见解析；(2)y＝(＜x＜5)；(3)当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．分析：（1）由三角函数得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，则PB＝PE，OP∥AC，得出＝，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，得出OB＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝，OB═，求出OA＝AB﹣OB＝2OB，即可得出结论；（2）连接OM，由相交两圆的性质得出OA与MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；（3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，证明△BEH∽△BAC，得出EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当O与A重合时，OE＝OF，OE＝AB＝5；即可得出结论．【详解】(1)圆A与圆O外切，理由如下：∵∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，如图1所示：则PB＝PE，OP∥AC，，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，解得：x＝，∴OB═，∴OA＝AB﹣OB＝5＝2OB，∴圆A与圆O外切；(2)连接OM，如图2所示：∵圆O与圆A存在公共弦MN，∴OA与MN垂直平分，∴∠ODM＝90°，DM＝由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即整理得：y2＝3x2+10x﹣25，∴y＝；(3)分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，∴△BEH∽△BAC，∴，∴EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得：＝OE2＝OB2，解得：OB＝；③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了两圆的位置关系、相交两圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，.求：（1）BC的长．（2）tanE的值．答案:（1）BC=8;（2）tanE=3.解析：分析：（1）先利用直角三角形斜边的性质求出AC，再利用即可求出AB。再利用勾股定理即可求出BC的长；（2）作EH⊥BC垂足为，求得△EHC∽△ACB，利用相似三角形的性质求出EH,CH，BH，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，是边的中点;∴,∵;∴;∵sin∠ABC=;由解得;∵∴.（2）作EH⊥BC垂足为；∴；∵D是边AB的中点；∴BD=CD=AB；∴∠DCB=∠ABC;∵∠ACB=90°；∴∠EHC=∠ACB；∴△EHC∽△ACB∴；由BC=8，CE=CB,得CE=8，∠CBE=∠CEB，；∴解得EH=,CH=；;∴，即tanE=3.【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.9．如图，已知中，，，．（1）求边AC的长；（2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．答案:（1）;（2）分析：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据角所对的直角边等于斜边的一半得到AH=3，根据，求出CH,根据勾股定理即可求出边AC的长.（2）由翻折得：，AE=BE，，根据，即可求出,AH=3,根据勾股定理即可求出，即可求出的值．【详解】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H∵AB=6，，AH⊥BC∴AH=3∵∴CH=2∴（2）连接AE,如图所示：由翻折得：，AE=BE，∵∴∴∴，AH=3∴∴【点睛】考查解三角形，勾股定理等，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.10．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．(1)求楼间距MN；(2)若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？(参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)答案:(1)50；(2)21层分析：（1）根据三角函数的性质,设PE=x,在直角三角形PCE中表示出CE,利用CE=DF=MN,在直角三角形PDF中用三角函数即可求出结论,（2）根据上一问求出PE的长,进而求出CM的长,利用每层楼高3米即可解题.【详解】解：（1）过点C作CE⊥AN与E,过点D作DF⊥AN与F,设AE=x,∵∠C=30°,∴CE=1.72x,EF=44.5,在△PDF中,DF==50,（2）由（1）知,CE=50,PE=CEtan30°=500.58=29,∴CM=61,∵每层高均为3m，∴点C位于第21层.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.11．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．答案:（1）AC=；（2）．【详解】分析：（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF=，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.12．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．答案:6，【详解】分析：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．详解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△ABD中，BD＝AB•cosB＝5×＝3，∵AB=AF

AD⊥CB，∴BF=2BD=6，∵EF⊥CB

AD⊥CB，∴EF∥AD，∴，∵AE：EC=3：5DF=BD=3，∴CF=5，∴CD=8，在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝5×＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝4，∴sinC＝．点睛：此题考查解直角三角形问题，关键是根据解直角三角形的计算解答．三、填空题13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）答案:分析：先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．【详解】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案为：10．【点睛】此题考查了解直角三角形，关键是利用解直角三角形求出BC边上的高，用到的知识点是解直角三角形、三角形的面积公式，难度不大．14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．答案:20分析：过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案为：20．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________答案:30°分析：作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角．【详解】如图∵△ABC的周长为，腰长为1，∴AB=AC=1,BC=，∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=，在Rt△ABD中,，∴∠B=30°，故填30°.【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形.16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝_____．答案:分析：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据，即可解决问题．【详解】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．由题意四边形ABCE是矩形，∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°，∵∠BCF＝∠DCF＝∠D，又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴，∴，∴，∴故答案为．【点睛】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型．17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠D的度数是_____．答案:60°或120°解析：分析：该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得直角三角形DEC的直角边和斜边的长，然后利用三角函数，即可求解.【详解】①如图1，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠ADE＝90°，AB＝DE＝，∵CD＝5，∴sinC＝＝，∴∠C＝60°，