第五章　培优点8　等和(高)线定理与奔驰定理-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

培优点8等和(高)线定理与奔驰定理1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．(2)平面内一个基底{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))}及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．2．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0．由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．题型一利用等和线求基底系数和的值例1如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案B解析方法一(常规方法)∵E为线段AO的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,4)，则λ＋μ＝eq\f(3,4).方法二(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(BE,BF).由图易知，eq\f(BE,BF)＝eq\f(3,4)，即λ＋μ＝k＝eq\f(3,4).思维升华利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．跟踪训练1设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.答案eq\f(1,2)解析方法一(常规方法)由题意作图如图．∵在△ABC中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).方法二(等和线法)如图，过点A作eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，连接DF.设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴AF＝eq\f(1,2)AH，因此λ1＋λ2＝eq\f(1,2).题型二利用等和线求基底系数和的最值(范围)例2如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则2x＋2y的最大值为()A.eq\f(8,3)B．2C.eq\f(4,3)D．1答案A解析如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，则λ＋μ＝1，∵BC∥EF，∴设eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC)＝k，则k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝λkeq\o(AB,\s\up6(→))＋μkeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝λk，y＝μk，∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤eq\f(8,3).思维升华求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．跟踪训练2在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为eq\o(AB,\s\up9(︵))上的一个动点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则3x＋y的取值范围是________．答案[1,3]解析如图，取点D使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝3xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3]．题型三奔驰定理例3已知O是△ABC内部一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.思维升华利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．跟踪训练3已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3 B．19∶4C．24∶5 D．29∶6答案B解析由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))可得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))可得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)答案A解析由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以eq\f(1,3)＋λ＝1，λ＝eq\f(2,3).2．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，则m等于()A．2B．3C．4D．5答案B解析方法一(常规方法)∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M为△ABC的重心，如图，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.方法二(等和线法)BC是值为1的等和线，过M作BC的平行线，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,m)eq\o(AC,\s\up6(→))，易知eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,m)＝eq\f(2,3)，∴m＝3.3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案A解析方法一(常规方法)设eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，∴λ＋μ＝eq\f(1,2).方法二(等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由图易知，eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，即λ＋μ＝k＝eq\f(1,2).4．点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3答案C解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.5.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是()A．[0,1] B．[0,2]C．[0,3] D．[0,4]答案C解析如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AG,\s\up6(→))＋yeq\o(AH,\s\up6(→))，则x＋y＝1，当点P位于点D时，G，H分别位于点C′，点B′，∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB′,\s\up6(→))＝3xeq\o(AC,\s\up6(→))＋3yeq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝3y，μ＝3x⇒λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于A点时，显然有λ＋μ＝0，综上，λ＋μ的取值范围是[0,3]．6．已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]答案D解析方法一(常规方法)设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1,0)，C(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠BOC＝θ，θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1,0)，整理得－eq\f(1,2)λ＋μ＝cosθ，eq\f(\r(3),2)λ＝sinθ，解得λ＝eq\f(2sinθ,\r(3))，μ＝cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))，则λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，易得λ＋μ∈[1,2]．方法二(等和线法)设λ＋μ＝k，如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1，当点C运动到eq\o(AB,\s\up9(︵))的中点时，k＝λ＋μ＝2，所以λ＋μ∈[1,2]．7.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________．答案eq\f(2,3)解析如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由题设知O为△ABC的重心，所以eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3).8．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积为________．答案1解析方法一如图，设AC的中点为M，BC的中点为N.因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\u