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文档简介
必刷小题8解三角形一、单项选择题1.(2024·楚雄模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=eq\r(2)b,sinA=eq\f(1,3),则sinB等于()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(2),6)D.eq\f(\r(34),6)答案C解析因为a=eq\r(2)b,所以eq\f(b,a)=eq\f(\r(2),2).由正弦定理得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),则sinB=eq\f(bsinA,a)=eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)=eq\f(\r(2),6).2.(2023·沈阳模拟)在△ABC中,若a=bcosC,则△ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形答案C解析由余弦定理得cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab),将其代入a=bcosC,得a=b·eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(a2+b2-c2,2a),∴2a2=a2+b2-c2,∴a2+c2=b2,即△ABC为直角三角形.3.(2024·南京模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知9sin2B=4sin2A,cosC=eq\f(1,4),则eq\f(c,a)等于()A.eq\f(\r(11),4)B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(11),3)D.eq\f(\r(10),3)答案D解析∵9sin2B=4sin2A,∴9b2=4a2,即b=eq\f(2a,3),∵cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(a2+\f(4a2,9)-c2,\f(4a2,3))=eq\f(1,4),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2=eq\f(10,9),则eq\f(c,a)=eq\f(\r(10),3).4.(2023·咸阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,b=1,eq\f(b+c,sinB+sinC)=eq\f(2\r(3),3),则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案B解析在△ABC中,由正弦定理得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC),所以eq\f(a,sinA)=eq\f(b+c,sinB+sinC)=eq\f(2\r(3),3),则a=eq\f(2\r(3),3)sinA=eq\f(2\r(3),3)sin60°=eq\f(2\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)=1,又b=1,A=60°,所以△ABC是正三角形,所以△ABC的面积S△ABC=eq\f(1,2)absin60°=eq\f(\r(3),4).5.(2023·太原模拟)在△ABC中,A=eq\f(π,4),BD⊥AC,D为垂足,若AC=4BD,则cos∠ABC等于()A.-eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.-eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案A解析在△ABC中,A=eq\f(π,4),BD⊥AC,D为垂足,又AC=4BD,不妨设BD=t,则AD=t,AB=eq\r(2)t,AC=4t,CD=3t,BC=eq\r(BD2+CD2)=eq\r(10)t,则cos∠ABC=eq\f(AB2+BC2-AC2,2×AB×BC)=eq\f(\r(2)t2+\r(10)t2-4t2,2×\r(2)t×\r(10)t)=-eq\f(\r(5),5).6.(2023·达州模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10eq\r(2)m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB等于()A.30eq\r(2)m B.20eq\r(3)mC.30m D.20m答案D解析在△BCD中,∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10eq\r(2)m,由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)=eq\f(CB,sin∠CDB),可得eq\f(10\r(2),sin30°)=eq\f(CB,sin180°-15°-30°),可得CB=20eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=20(m),在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以塔高AB=BC=20m.7.(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D已滑到D′的位置,且A,B,D′三点共线,AD′=40cm,B为AD′的中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是()A.-eq\f(17,25)B.-eq\f(4\r(21),25)C.-eq\f(3,5)D.-eq\f(8,25)答案A解析依题意分析可知,当伞完全张开时,AD=40-24=16(cm),因为B为AD′的中点,所以AB=AC=eq\f(1,2)AD′=20(cm),当伞完全收拢时,AB+BD=AD′=40(cm),所以BD=20(cm),在△ABD中,cos∠BAD=eq\f(AB2+AD2-BD2,2AB·AD)=eq\f(400+256-400,2×20×16)=eq\f(2,5),所以cos∠BAC=cos2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×eq\f(4,25)-1=-eq\f(17,25).8.(2023·郑州模拟)在锐角△ABC中,B=60°,AB=1,则AB边上的高的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4),1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4),\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\r(3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4),\r(3)))答案D解析设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则AB边上的高h=asinB=eq\f(\r(3),2)a,由正弦定理得a=eq\f(csinA,sinC)=eq\f(sin120°-C,sinC)=eq\f(\f(\r(3),2)cosC+\f(1,2)sinC,sinC)=eq\f(\r(3),2tanC)+eq\f(1,2).由△ABC为锐角三角形,可知30°<C<90°,则tanC>eq\f(\r(3),3),所以a=eq\f(\r(3),2tanC)+eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),从而h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4),\r(3))),因此AB边上的高的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4),\r(3))).二、多项选择题9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列对△ABC解的个数的判断中正确的是()A.a=7,b=14,A=30°,有一解B.a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=eq\r(3),b=eq\r(6),A=60°,有一解D.a=6,b=9,A=45°,有两解答案AB解析选项A,bsinA=14sin30°=7=a,则三角形有一解,判断正确;选项B,bsinA=25sin150°=eq\f(25,2),则a>b>bsinA,则三角形有一解,判断正确;选项C,bsinA=eq\r(6)sin60°=eq\f(3\r(2),2),则a<bsinA,则三角形无解,判断错误;选项D,bsinA=9sin45°=eq\f(9\r(2),2),则a<bsinA,则三角形无解,判断错误.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA=(3b-c)sinB,且cosA=eq\f(1,3),则下列结论正确的是()A.a+c=3bB.tanA=2eq\r(2)C.△ABC的周长为4cD.a=c答案ABD解析由已知及正弦定理得ba=(3b-c)b,整理得a=3b-c,即a+c=3b,故A正确;由cosA=eq\f(1,3)可得sinA=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)=eq\f(2\r(2),3),则tanA=eq\f(sinA,cosA)=2eq\r(2),故B正确;由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又a=3b-c,可得(3b-c)2=b2+c2-2bc·eq\f(1,3),整理得3b=2c,则△ABC的周长为a+b+c=4b=eq\f(8,3)c,故C错误;由以上可知,a=3b-c,3b=2c,可得a=c,故D正确.11.(2024·广州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.则下列命题正确的是()A.若a=3eq\r(3),b=3,B=30°,则A=60°B.若A>B,则sinA>sinBC.若eq\f(c,b)<cosA,则△ABC为钝角三角形D.若a=eq\r(2),b=3,c2+ab=a2+b2,则△ABC的面积为3答案BC解析对于A,由于a=3eq\r(3),b=3,B=30°,利用正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),解得sinA=eq\f(\r(3),2),由于0°<A<150°,所以A=60°或120°,故A错误;对于B,当A>B时,a>b,根据正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),可得sinA>sinB,故B正确;对于C,若eq\f(c,b)<cosA,则c<bcosA,故2c2<2bccosA,结合余弦定理cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc),得a2+c2<b2,故△ABC为钝角三角形,故C正确;对于D,若a=eq\r(2),b=3,且c2+ab=a2+b2,利用余弦定理可得ab=2abcosC,解得cosC=eq\f(1,2),因为0°<C<180°,所以C=60°,所以S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)×eq\r(2)×3×eq\f(\r(3),2)=eq\f(3\r(6),4),故D错误.12.(2023·沈阳模拟)在△ABC中,已知a=2b,且eq\f(1,tanA)+eq\f(1,tanB)=eq\f(1,sinC),则()A.a,c,b成等比数列B.sinA∶sinB∶sinC=2∶1∶eq\r(2)C.若a=4,则S△ABC=eq\r(7)D.A,B,C成等差数列答案ABC解析因为eq\f(1,tanA)+eq\f(1,tanB)=eq\f(1,sinC),所以eq\f(cosA,sinA)+eq\f(cosB,sinB)=eq\f(sinBcosA+cosBsinA,sinAsinB)=eq\f(sinA+B,sinAsinB)=eq\f(sinC,sinAsinB)=eq\f(1,sinC),即sin2C=sinAsinB,即c2=ab.对选项A,因为c2=ab,所以a,c,b成等比数列,故A正确;对选项B,因为a=2b,c2=ab=2b2,即c=eq\r(2)b,所以a∶b∶c=2∶1∶eq\r(2),即sinA∶sinB∶sinC=2∶1∶eq\r(2),故B正确;对选项C,若a=4,则b=2,c=2eq\r(2),则cosB=eq\f(42+2\r(2)2-22,2×4×2\r(2))=eq\f(5\r(2),8),因为0<B<π,所以sinB=eq\f(\r(14),8).故S△ABC=eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×eq\f(\r(14),8)=eq\r(7),故C正确;对选项D,若A,B,C成等差数列,则2B=A+C.又因为A+B+C=π,则B=eq\f(π,3).因为a∶b∶c=2∶1∶eq\r(2),设a=2k,b=k,c=eq\r(2)k,k>0,则cosB=eq\f(2k2+\r(2)k2-k2,2×2k×\r(2)k)=eq\f(5\r(2),8)≠eq\f(1,2),故D错误.三、填空题13.(2023·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=6,B=30°,a2+c2=3eq\r(3)ac,则△ABC的面积为________.答案eq\f(3\r(3),2)解析因为b=6,B=30°,所以62=a2+c2-2accos30°=a2+c2-eq\r(3)ac,因为a2+c2=3eq\r(3)ac,所以3eq\r(3)ac-eq\r(3)ac=36,得ac=6eq\r(3),故S△ABC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(3\r(3),2).14.已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则四边形ABCD的面积为________.答案8eq\r(3)解析连接BD,如图,圆内接四边形对角互补,A+C=π,由余弦定理,得62+42-2×6×4cosC=22+42-2×2×4cos(π-C),∴cosC=eq\f(1,2),又0<C<π,∴C=eq\f(π,3),A=eq\f(2π,3),∴S四边形ABCD=S=eq\f(1,2)×6×4×sineq\f(π,3)+eq\f(1,2)×4×2×sineq\f(2π,3)=8eq\r(3).15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC,且b=6,则B=________,△ABC外接圆的面积为________.答案eq\f(π,3)12π解析由cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC,可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sinAsinC,即sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则由正弦定理得ac=a2+c2-b2,由余弦定理得cosB=eq\f(a2+
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