第四章　必刷小题8　解三角形-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

必刷小题8解三角形一、单项选择题1．(2024·楚雄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(2)b，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB等于()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(2),6)D.eq\f(\r(34),6)答案C解析因为a＝eq\r(2)b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(2),6).2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形答案C解析由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，将其代入a＝bcosC，得a＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)，∴2a2＝a2＋b2－c2，∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．3．(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝eq\f(1,4)，则eq\f(c,a)等于()A.eq\f(\r(11),4)B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(11),3)D.eq\f(\r(10),3)答案D解析∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝eq\f(2a,3)，∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋\f(4a2,9)－c2,\f(4a2,3))＝eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(10,9)，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3).4．(2023·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案B解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，则a＝eq\f(2\r(3),3)sinA＝eq\f(2\r(3),3)sin60°＝eq\f(2\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝1，又b＝1，A＝60°，所以△ABC是正三角形，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absin60°＝eq\f(\r(3),4).5．(2023·太原模拟)在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，若AC＝4BD，则cos∠ABC等于()A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案A解析在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，又AC＝4BD，不妨设BD＝t，则AD＝t，AB＝eq\r(2)t，AC＝4t，CD＝3t，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(10)t，则cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2×AB×BC)＝eq\f(\r(2)t2＋\r(10)t2－4t2,2×\r(2)t×\r(10)t)＝－eq\f(\r(5),5).6．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(2)m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于()A．30eq\r(2)m B．20eq\r(3)mC．30m D．20m答案D解析在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(2)m，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(CB,sin∠CDB)，可得eq\f(10\r(2),sin30°)＝eq\f(CB,sin180°－15°－30°)，可得CB＝20eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝20(m)，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20m.7．(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是()A．－eq\f(17,25)B．－eq\f(4\r(21),25)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(8,25)答案A解析依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝eq\f(1,2)AD′＝20(cm)，当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，所以BD＝20(cm)，在△ABD中，cos∠BAD＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(400＋256－400,2×20×16)＝eq\f(2,5)，所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×eq\f(4,25)－1＝－eq\f(17,25).8．(2023·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3)))答案D解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h＝asinB＝eq\f(\r(3),2)a，由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\f(\r(3),2)cosC＋\f(1,2)sinC,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°，则tanC>eq\f(\r(3),3)，所以a＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，从而h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3)))，因此AB边上的高的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3))).二、多项选择题9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断中正确的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．a＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝60°，有一解D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解答案AB解析选项A，bsinA＝14sin30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；选项B，bsinA＝25sin150°＝eq\f(25,2)，则a>b>bsinA，则三角形有一解，判断正确；选项C，bsinA＝eq\r(6)sin60°＝eq\f(3\r(2),2)，则a<bsinA，则三角形无解，判断错误；选项D，bsinA＝9sin45°＝eq\f(9\r(2),2)，则a<bsinA，则三角形无解，判断错误．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＝(3b－c)sinB，且cosA＝eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()A．a＋c＝3bB．tanA＝2eq\r(2)C．△ABC的周长为4cD．a＝c答案ABD解析由已知及正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，故A正确；由cosA＝eq\f(1,3)可得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3)，则tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝2eq\r(2)，故B正确；由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,3)，整理得3b＝2c，则△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝eq\f(8,3)c，故C错误；由以上可知，a＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，故D正确．11．(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是()A．若a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，则A＝60°B．若A>B，则sinA>sinBC．若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为钝角三角形D．若a＝eq\r(2)，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3答案BC解析对于A，由于a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，解得sinA＝eq\f(\r(3),2)，由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A错误；对于B，当A>B时，a>b，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinA>sinB，故B正确；对于C，若eq\f(c,b)<cosA，则c<bcosA，故2c2<2bccosA，结合余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得a2＋c2<b2，故△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若a＝eq\r(2)，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2，利用余弦定理可得ab＝2abcosC，解得cosC＝eq\f(1,2)，因为0°<C<180°，所以C＝60°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(6),4)，故D错误．12．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，已知a＝2b，且eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,sinC)，则()A．a，c，b成等比数列B．sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶eq\r(2)C．若a＝4，则S△ABC＝eq\r(7)D．A，B，C成等差数列答案ABC解析因为eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,sinC)，所以eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(sinBcosA＋cosBsinA,sinAsinB)＝eq\f(sinA＋B,sinAsinB)＝eq\f(sinC,sinAsinB)＝eq\f(1,sinC)，即sin2C＝sinAsinB，即c2＝ab.对选项A，因为c2＝ab，所以a，c，b成等比数列，故A正确；对选项B，因为a＝2b，c2＝ab＝2b2，即c＝eq\r(2)b，所以a∶b∶c＝2∶1∶eq\r(2)，即sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶eq\r(2)，故B正确；对选项C，若a＝4，则b＝2，c＝2eq\r(2)，则cosB＝eq\f(42＋2\r(2)2－22,2×4×2\r(2))＝eq\f(5\r(2),8)，因为0<B<π，所以sinB＝eq\f(\r(14),8).故S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×eq\f(\r(14),8)＝eq\r(7)，故C正确；对选项D，若A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C.又因为A＋B＋C＝π，则B＝eq\f(π,3).因为a∶b∶c＝2∶1∶eq\r(2)，设a＝2k，b＝k，c＝eq\r(2)k，k>0，则cosB＝eq\f(2k2＋\r(2)k2－k2,2×2k×\r(2)k)＝eq\f(5\r(2),8)≠eq\f(1,2)，故D错误．三、填空题13．(2023·新乡模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝6，B＝30°，a2＋c2＝3eq\r(3)ac，则△ABC的面积为________．答案eq\f(3\r(3),2)解析因为b＝6，B＝30°，所以62＝a2＋c2－2accos30°＝a2＋c2－eq\r(3)ac，因为a2＋c2＝3eq\r(3)ac，所以3eq\r(3)ac－eq\r(3)ac＝36，得ac＝6eq\r(3)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(3),2).14．已知圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4，则四边形ABCD的面积为________．答案8eq\r(3)解析连接BD，如图，圆内接四边形对角互补，A＋C＝π，由余弦定理，得62＋42－2×6×4cosC＝22＋42－2×2×4cos(π－C)，∴cosC＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(2π,3)，∴S四边形ABCD＝S＝eq\f(1,2)×6×4×sineq\f(π,3)＋eq\f(1,2)×4×2×sineq\f(2π,3)＝8eq\r(3).15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________．答案eq\f(π,3)12π解析由cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sinAsinC，即sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋