第九章　必刷大题18　统计与统计分析-2025数学大一轮复习讲义人教A版

1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．(1)根据频率分布直方图，估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为代表)．2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的2×2列联表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种牛痘疫苗2030已接种牛痘疫苗1060(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否能依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.6353．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差．4．(2023·淄博模拟)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示：年份2016201720182019202020212022广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708.(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型拟合得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，经计算(1)中的回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润eq\o(z,\s\up6(^))＝200y－x的预报值最大？参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：性别运动时间合计“运动达人”“非运动达人”男生11003001400女生400200600合假设为H0：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的eq\f(1,10)，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；(2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8286．(2023·泰安模拟)近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w(万辆)如表所示，其中2018年～2022年对应的年份代码t为1～5.年份代码t12345销量w(万辆)49141825(1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数(精确到0.001)；(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(随机误差ei＝yi－bxi)，请写出参数b的最小二乘估计；②令变量x＝t－eq\x\to(t)，y＝w－eq\x\to(w)，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2，))利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．附：样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2))，eq\i\su(i