重难点05 正余弦定理十二大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】-2022-2023学年高一数学下学期期末复习

重难点05正余弦定理十二大题型汇总

期末题型解读

满分技巧

技巧一.边化角与角化边的变换原则

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选

择"边化角"或"角化边"，变换原则如下：

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边"；

(2)若式子中含有口、口、疗勺齐次式，优先考虑正弦定理"边化角"；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理"角化边"；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.

技巧二.三角形中的最值范围问题处理方法

1、利用基本不等式求最值-化角为边

余弦定理公式里有“平方和"和"积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最

值或范围，但是要注意"一正二定三相等"，尤其是取得最值的条件.

2、转为三角函数求最值-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转

化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边.

技巧三.角平分线问题处理方法

1角平〃拆"面积：口＞□□□=□△□□□+

2.角平分线定理性质：携=携

3.利用等角的余弦定理：coszBAD=coszCAD

4.大三角形与小三角形同时使用余弦定理：coszBAC=cos2zBAD

技巧四.中线的处理方法

1.向量法：qW2=+2DD-

2.双余弦定理法（补角法）：

如图设口。=口口，在△□□浒，由余弦定理得。^=□必口工2X口□*口口乂CGSN□□匚！，

①

在^□□*,由余弦定理得。。Z7£7?+ud2-2xDUxDUxcos/口口口，②

因为/□□□+N□□口=TT,所以C0SNZ7Z7Z7+COSN□□口=0

所以①+②式即可

3倍长中线法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等.

技巧五•高线的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

如口口为inD=T0口x□□=〃

2.三角函数法：

在△Z7£75=>,□口=□□COSNDUU,□□=[J[Js\v\zUUIJ,

题型1正弦定理解三角形

【例题1](2023春•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习)在小口口内，角A,B,C所对

的边分别为a,b,c,若0=4,。=4疙，£7=，则。=()

A-iB•软喏C$D.康喏

【答案】A

【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得.

【详解】因为。=4,□—,口=/

由正弦定理可得越=焉,即sin〃=舅=；,

nSinZJ4V22

si”

因为小（O,TT）,所以口=域。=y,

当时，+,不满足，

OO4

所以0=（

故选：A

【变式1-11（2023春•四川成都•高一成都实外校考期末）在4口口袋，角A,B,C所对的边分别为a,

b,c.已知aSb=B£7=J贝施庆为（）

A.yB.gC.JD.图

【答案】C

【分析】由正弦定理即可求解.

【详解】由正弦强当=晶,得§3=等=等=f,

又□<口,所以。<口,所以a为锐角，所以□=>

4

故选：C.

【变式1-2】（2022春・福建・高一福建师大附中校考期末）已知△口口中］内角A、B、C的对边分别为a,b,

c，器且4”为勺面积为噂，口+口=0口，则〃=----------

【答案】1

【分析】由正弦定理可转化题干条件为等=算，再利用余弦定理cos。=生4/可得O=日,再由

LJLJ-LJ£.LJLJo

面积公式£7=：□Ng得□□=\，结合O+□=V2Z7,以及余弦定理cos。=存卓声，联立求解

即可

【详解】解：由需=需为及正弦定理可得萼=舞，即4-炉=OO-d，

炉+炉-炉_

/.cosZZ7=-2□口——2

,：□€(0,£7),：.□=%

由^。穴利面积为Q3nO=噂，得口。=g

又:口事口=△口,

，cosO=吧『=(°+骂滞忆一-=2"/=g,整理得万=1,

3

:,□—1.

故答案为：1

题型2余弦定理解三角形

【例题2](2021春•全国•高一期末)在4口口用，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin(O-

£7)+sin(ZZ7+ZZ7)=3sin2/Z7,且£7=V7,£7=g,则£7=()

A.lB.雪C.l或穿D.亨

【答案】C

【分析】利用sin(£7-D)+sin(£7+D)=3sin2ZZ7可得到sinasos£7=3sinZjbos£7,然后分cosZZ7=0和

cos口手。两种情况进彳亍讨论即可求解

【详解】.sinC/ZZ-LJ)+sin(ZZ7+U)=3sin2ZZ7,

.,.sinZjfcosZJ-cos/Zfein£7+sinDbos£7+cosZZfein/Z7=6sin/Jbos£7,

.,.sinOJOSZ7=3sin/Ztos/7,

①当cos。=0时，£7=T,△O。近直角三角形.

•••£7=V7,□=/；.口=包=等~；

sin-

②当cosOw0时，则有sinZ7=3sin£7,由正弦定理得£7=3£7,

由余弦定理得4=Cf+LF-2UncosD,即7=4+(302-2〃x3Oxg,解得£7=1,

综上，£7=1或第.

故选：C.

【变式2-1】（2022春广西百色•高一统考期末）在4口口冲，住□口，所对的边分别为□,口,□‘

且d=44+值□□,则角大小是.

【答案】f/30°

【分析】利用余弦定理的推论求解.

【详解】解：因为守=IZF-U+我口口，所以U+仔-仃=聪口口,

/口2_4_久_6

由余弦定理的推论，得〃

cos=―2DD--20D-T

因为De（0,。，所以0=2

0

故答案为：f.

【变式2-2]（2022春・上海杨浦・高一上海市控江中学校考期末）在三角形口。。中，内角。、□、。所对

的边分别为。、□、。，若34+。。+3行-3。2=0,则角）勺大小是.

【答案】O—arccos，.

O

【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可.

【详解】由3行+□□+34—3仃=0,得

由余弦定理得cosO=与蒙苇=.，

因为De（0,0,

所以£7=£7-arccos^,

O

故答案为：口一arccosi

0

【变式2-3]（2022春•吉林长春・高一统考期末）一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知N

DAC=50°,zCBE=70°,AC=4,BC=6,贝!]DE=.

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出AB长即可作答.

【详解】依题意，在4口口集，乙□□□=40°/□□□=20°,典此□□□=120°,而AC=4,BC=6,

由余弦定理得：□口=JU[34-口存-2口□•£7L7cosz□□□=^42+62-2x4x6x=2719,

矩形。/7£7中,□□=□口=2V19.

故答案为：2V19

题型3三角形解的个数判断

【例题3]（2021春•陕西延安•高一校考期末）在4。口。中，内角口，O,中）对边分别为。，口，口.已

知〃=40,0=20,〃=60°,则此三角形的解的情况是（）

A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定

【答案】C

【分析】利用正弦定理求解.

【详解】由正弦定理可得鸟=号可得sinZ7=誓=V3>1,

sinZ_/sinZ_/LJ

所以会解，所以三角形的解的情况是无解，

故选:C.

【变式3-1K2022春・福建莆田•高一莆田一中校考期末）在40。。中，内角。，口，C寸应的边分别为。，

口，口,根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.ZZ7=4r口=20°,LJ=40°B.0=4,ZZ7=6,口=35°

C・。=4,。=6,〃=35°D・。=4,〃=6,。=35°

【答案】C

【分析】根据三角形的性质，以及正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由。=20°,口=40°,可得。=180°-口-口:120°,所以三角形只有一解；

对于B中，由口=4,□=6,□=35°,可得O<口,所以口<D,此时三角形有唯一的解；

对于C中，由正弦定理二=%,可得sin。=与竽=Ixsin35°>sin35°,

sinZ_/sinZ_/LJ2

可得o有两解，所以三角形有两解；

对于D中，由余弦定理得厅=U2-2O0bosO=52-48COS350>0,可得。有唯一的解，所以

三角形只有一解.

故选：C.

【变式3-2]（2022春河南驻马店•高一统考期末）已知△£7。中）内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

若。=，£7=2,0=口>0,若△。口口只有一解，则实数x的取值范围为（）

A.£7>2B.口=瓜C.V3<£7<2。.口N碱口=限

【答案】D

【分析】画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可

【详解】如图，□□、'□、口gQDO为正三角形，则点O在射线Z74上.易得当。在0时，△口□口

只有一解，此时。=V3;当。在Q或&右边时△只有一解，此时。22.故U>2或Z7=V3

故选：D

【变式3-3]（2022春•上海黄浦•高一校考期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是.

①ZZ7='，口=y/2,口—45°；

②ZZ7=V5,LJ=VT5,口—30°；

③0=6,£7=20,£7=30°;

（§）□=5,ZZ7=60°,□—45°.

【答案】①④

【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确.

【详解】对于①，由正弦定理得：sin〃=鬻=若=J

•:口>口,：.□>口,即0°<。<45°,,・・。=30°,则三角形有唯一解,①正确；

对于②，由正弦定理得：sin。=萼=里=%

•：□>口,：.□>□,即30°<£7<150°,£7=60°或120°,则三角形有两解，②错误；

对于③，由正弦定理得：sin。=等=举=）。无解，③错误；

LJOO

对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确.

故答案为：①④.

【变式3-412022春・广西河池•高一统考期末启知口口,2分别是△□□不隹口口,。所对的边若口=

2,口=?，且△。口£7有唯一解，则Ofi勺取值范围为.

O

【答案】{1}U[2,+8）

【分析】根据题意和正弦定理求得□=」不，分类讨论，即可求解.

smZJ

【详解】由正弦定理名=舄,可得。=等=—,

sinOsinOsin£7sin£J

当o=g时，/7=1,此时△nnzjig-；

当sinOeg,1）时，砥两个值，△£7。冰唯一；

当sin£7e（0,；]时，口22,奥口之口,U>£7,△Z7Z7ZJ®-,

综上可得，实数。的取值范围是{1}u[2,+00）.

故答案为：{1}u[2,+co）

【变式3-5]（2020春・上海黄浦•高一统考期末）在^UULJ^,口、。所对的边长为口口，口=45。,

□—3V2.

（1）若。=2百，求。；

（2）讨论使。有一解、两解、无解时中取值情况.

【答案】（1）〃=60。或口=120°；（2）答案不唯一，具体见解析.

【分析】（1）由正弦定理求得B的正弦值，进而求解；

（2）解法一：固定边0（即Z7。）和角Z7,以二为圆心,边。（即。O）为半径作圆弧，该圆弧与角。除

□a外的另一边所在射线的交点即为点。.利用几何方法判定解的个数的不同情况的条件；解法二：利用正

弦定理求得sin。=~其中De（0,不），转化为函数O=sin□，口e（0,5与水平直线D。=浜点的

个数，然后利用正弦函数的图象的性质求解.

【详解】（1）由正弦定理，得号=鸟=sin£7=[=口=60°或。=120°；

smZ_7smz_z2

（2）解法一：

如图所示：

①0<□<EfeinZJ,gpo<[J<3时，解;

②口=ZZfein/Zj§E£7>£7,即。=3或£723&时，一解；

③/JsinO<U<U,即3<U<3应时，两解.

解法二：

应用正弦定理晶=晶，得sin〃=持（*）,其中口e（0,第，

方程（*）的解个数，即函数。=sinO,De（0,竽）与水平直线D：。=浜点的个数.

如图所示：

27r

当5>1,即。</7<3时，与解；

当铝1或浜倒，同,即。=3或0236时怎一解；

当浜仔,1）,即3<£7<3立时。有两解;

【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，讨论三角形的解的个数，涉及几何作图方法和三角函数

的图象的应用，属中档题.

题型4三角形的形状问题

【例题4]（2023春•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）在^口□仔,已知sin2£7=

sin2O,则△。口。的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得.

【详解】因为sin2£7=sin2£7,

所以2sinZJbos£7=2sinZZfcosZ7f

由正余弦定理可得2£7x之晨4=2□内+受好，

整理得（4-6d+4—行）=0,

所以。=加行+万一炉=0,

所以△口0力等腰三角形或直角三角形.

故选：D

【变式4-1】（2021春・新疆乌鲁木齐•高一校考期末）在4口口仔，若30=2V3£^in£7,cos£7=cos/7,

则4形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin%）值，再结合。=口,以及三角形的内角和可求出NO,进

而可得正确选项.

【详解】因为3。=2Kos访口

所以3sin£7=2V3sin/Zfein£7

因为0°<O<180°

所以sinO#0,

所以sinO='，可得口=60。或120°,

又因为cos£7=cos£7,0°<CJ<180°,0°<U<180°

所以N口=N口

所以N£7=60°,z£7=60°,乙口=180°-60°-60°=60°,

所以△£70。为等边三角形.

故选：c.

【变式4-2](2022秋•天津滨海新•高一校考期末)记4£70童勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

(0+EJ+CJ)(口+□—ZZ7)=2口口,那么△口口口是_()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

【答案】B

【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到

结果.

【详解】在4口口田,(口+Z7+Z7)(Z7+口—口=(。+。2_炉=4一万+2/7/7=2口口,

二炉+炉-炉=0,即4+4=4，

则△为直角三角形，

故选:B.

【变式4-3](2022春•辽宁•高一统考期末)将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角

形，则新三角形的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度确定的

【答案】A

【分析】不妨设％斜边,则仃=4,各边增加1之后，0+1为三边中最长的边，所对角为新三

角形的最大角,设新三角形最大角为O,计算cos。==芳罂需笄叱，分析正负，即得解.

【详解】由题意，不妨设班直角三角形的斜边，故行=厅+仃，

各边增加1,可得三边长为：0+1,D+1,。+1,

此时。+1为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，

不妨设新三角形最大角为£7,

的COS口=（。+1）2+（。+1）2-（£7+1）2=2（0+£7-0+1

0X-2（Z7+1）（£7+1）-2（£7+1）（£7+1）'

由于0，a,a为三角形的三条边，故o+口〉口,

cosZ7>0,又Z7e（0,TT）。为锐角，

因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.

故选：A

【变式4-4]（2021春•湖南岳阳•高一统考期末）设4£70。的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

ZZ^cos£feinZ7=C^sin/Z7cos£7,贝必形状为

【答案】等腰三角形或直角三角形

【分析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可.

【详解】由行cos%in£7=万sinDeos&及正弦定理，得

sin2ZZfcosZ7sin/7=sin2ZZfein/7cos£7

sinZZZw0,sin£700

sin2Z7=sin2a

所以□=加□+口=，

故4ooa是等腰三角形或直角三角形.

故答案为：等腰三角形或直角三角形

题型5三角形的面积相关问题

【例题5]（2021春•陕西延安•高一校考期末）已知在△口口收角口,口,中）对边分别为a□，口若口,

2是方程O2-5/7+4=0的两个实数根，且小OO童勺面积为鱼,则角。的大小是（）

A.45°B.60°C.60°或120°D.45°或135°

【答案】D

【分析】由韦达定理可求得的值，利用三角形的面积公式可求得sinO0勺值，结合角OB勺取值范围可求

得结果.

【详解】由于。是方程炉-50+4=0的两个实数根，由韦达定理可得4,

据题意，得口△□□口=gUUs\r\U=2sin£7=V2,sin。=y.

•••0°<U<180°,解得O=45°或O=135°.

故选：D.

【变式5-11（2023春福建南平•高一校考期末）在^,D,口,为别是角口口,次斤对的边.若。=

，口=1,△的面积为当,则中值为

【答案】V3

【分析】先根据三角形的面积公式求出边。，再利用余弦定理即可得解.

【详解】由。=，。=1,△口。中）面积为日,

得/%回=牛£7=苧，所以0=2,

则仆=疗+j-2UUCGSU=1+4-2x1x2xj=3,

所以。=V3.

故答案为：V3.

【变式5-2]（2023春・河南•高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边

三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点.在△□□口

中，已知口=《，口口=有,外接圆的半径为K,现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次

O

记为0,Z7,。，则4的面积为（）

A.3B.2C.V3D.V2

【答案】C

【分析】根据正弦定理确定。0=V3,外接圆圆心为对应等边三角形的中心，确定方=》利用勾

股定理得到方〃'=2,△方。’方为等边三角形，计算面积即可.

【详解】△口口田，耳=2百，取口□=V3,口口=V3,

sinz_/

故£7=□=：,□=¥，OZ7=2V3xsinv=3,

633

外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接方。，do,

则/方£7/7=4□□□=4口口已=1,故乙己口白=:,

62

nn=|xV3xy=1,Z7'n=|x3xy=V3,故方方=VTT3=2,

••TT••2lT»'•TT

乙口口口=3,乙□口口=石,%乙□□□=3,

根据对称性知：方。'=方方，故△方。’方为等边三角形，

其面积O=；x2x2x^=g.

故选：C.

【变式5-3]（2022秋•安徽安庆・高一安徽省桐城中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点P（cost,

sint）,A（2,0）,当t由凌化到:时，线段AP扫过的区域的面积等于（）

OO

.__TC_TI_1T

A.2B.-C.-D.-

3612

【答案】B

【分析】依题意作图，点P在单位圆上，考虑AP与单位圆相切的情况，求出AP扫过的图形，再求出面积.

【详解】•••cos2Z7+sin2£7=1，二点P在以原点为圆心的单位圆O上，起始点为图中的口停,；），

终点为。（一当3），显然，

AP扫过的面积为图中阴影面积，△□□口与△口口□等底同高，口回口=口△□□口,

所以AP扫过的面积就是扇形CDO的面积，0C与0D的夹角口=字-==誓，

663

扇形CDO的面积。=（。仃.。=号;

故选：B.

【变式5-4]（2023秋福建龙岩•高一统考期末）如图,已知口口半径为2的圆的直径，点口,O在圆上

运动目口□"□□,则当梯形OOOU的周长最大时，梯形£700童勺面积为.

【答案】3V3

【分析】连接口□,设乙口口口=D,过点Of乍OO_L口迎口方彘口,过点0（乍OO1□应口方

点、口,即可表示出。口，□口，口口,再根据平面几何的性质得到OD=口口,从而表示出。〃〃〃〃，结

合二次函数的性质求出%的最大值及此时球值，再根据梯形面积公式计算可得.

【详解】连接设D,De（0,5，过点。作OOJL£7侬。万点£7,过点0（乍OO1口□

交口汀^彘□t

设圆的半径为。，则。=2,

2

则£70=2ZZfein。，UU-/JlJcos^-LJ^=2ZJsinZZ7/

因为00700,所以DD=m,则OO=DD,即梯形£7Z7£7〃为等腰梯形，

所以□□=□□-2口口=2口-40^口I

日斤C入口□□□□=□□+□□+□□+□□=2ZZ7+4LJslc口+2口—4ZZfein2ZZ7

=8+8sinZ7-8sin2/Z7=-8（sinZ7-g）+10,

所以当sin。=，即0=热，（Oms）max=10，

2

所以OD=2,□□=4,4口□口=g,所以□口=DDsm^=V3,口口=4-8x（；）=2,

所以□□□□□=；X（2+4）XV3=3V3.

故答案为：3V3.

【变式5-5](2023春・河南周口•高一校考期末)在①。bos〃=愿DsMU；②(□-0(sinD+sin。=

(£7-V3Z7)sinZ7;③3£7cos£7+CfcosZZ7=V3O+口这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并

解决该问题.

问题：在4，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足__________.

Q)求角A的大小;

(2)若D为线段OO延长线上的一点，旦口口=2口口，□口=翼,口口=2内.求△£7£7蜜勺面积.

【答案】(1)条件选择见解析，口=?

O

⑵晌

【分析】(1)选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.

选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.

选择③：由正弦定理边化角，再由sin£7=sin(£7+£7)=sin，bos£7+sinOcos。展开计算可得结果.

(2股口口=□□□=□幺□□□=Z7在AABC中，由cos/。。。、cosOO仍11等式①②，在△□□口

中，由cos/。。。列等式③，由①②③解方程可得x,y.代入三角形面积公式可得结果.

【详解】（1）若选择①，7cos£7=V5/ZfeinO..,.sin/ZfcosZZ7=V5sinZZfein£7,

,/sinZZZ^O,/.cosZZ7=VSsin/ZZ,

即tan。若，

■:口€(O,TT).,.口=!；

o

若选择②，□一ZZ7)(sin/Z7+sin。=(□一\[3LJ)s\v\U,

:ZZ7)(ZZ7+ZZ7)=0(0—V3ZZ7),

.•・4-4=己-聪□□i

：・l^=+吁-圾口口,

-r^+r^-zj2圾□□V3

cosZ-7=-------------=--------=——

2口□2口□2

若选择③,,.,3ZubosZZ74-ZZ7cosZZ7=V3ZZ7+ZZ7,

.,.3sinZZfcos£7+sinLfcos£7=V3sin£7+sin/ZZ,

.,.3sinZZfcosZ7+sinZZfcosZZ7=V3sinZ7+sin(ZZ7+D),

/.3sinZZfcosZZ74-sin/ZfcosZZ7=V3sin£7+sin/Zfcos/Z7+cosZZfein/Z7,

/.2sin/jbosZZ7=VSsin/ZZ,又：□w(0,n)./.sinZZ7^0,

..cos£7=,♦:口6(O,TC)).,.□=—;

26

(2)没口口=口,口口=口,乙□□口=口,

在4口口讲,用余弦定理可得。O2=口d+D/J-2□□,□□.cos乙□□□,

即12=4/Z^+行一2x2£7/Zfcos(n一U)①,

又〔•在△口□/,□己=Z7仃+口己-2OZ7-cos4□口□,

即4行=12+行-2*2旧£7852。£7£7即44=行-6£7+12,即行="一片攻②,

A

在4□口田,用余弦定理可得口行=0炉+OC3-2口口.co”□□口,

即3=02+4-2DUcosD③，③x2+①可得6炉+3£^=18,

将②式代入上式可得。=2,0=1,口皿口=；□□•□□.sinO=V3.

题型6角度边长周长等最值取值范围问题

【例题6]（2023春•河南•高一校联考期末）△SO中，口=胃，是角平分线，且。0=4,则

3DD+。。的最小值为（）

A.16+4V3B.16+8V3C.12+8V3-D.12+16V3

【答案】B

【分析】根据等面积法得4=]从而利用基本不等式"1"的妙用即可得解.

【详解】根据题意，没口口=口,口口=口,口口=。，如图，

因为口4口□口=口4口口口、口"□□口>/■□□□=―,=4,则X.口口口=/.□□□=-,

所以□□,乙□□□=；□□•□口„□□吟□□.□□・&«□□□,

^Z7£7x2f=l£7x4xf+l£7x4x^,

111

即+=

所以00=4。+4。，则00=4（。+D）,故甯万54-

所以30。+口□=30+0=4（匕+—（30+。=4（4+券+324（4+2J号.9=16+8V5,

当且仅当若=■§,即。=48+4,。=吗处时,等号成立，

所以30。+口4勺最小值为16+8V3.

故选：B.

【变式6-1]（2022春福建三明•高一统考期末）在锐角△口口。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

S为4。02勺面积，且2口=存-（口-口）2，则俳|普名的取值范围为（）.

4Z-T—12£_//_/+13Z-T

A•睛)B.(露］C.喈)D.,2

【答案】D

【分析】利用2口=0*2-（£7-LJ）2,三角形面积公式和余弦定理可得sinD=J,故可得到cosO=5，

O0

tan£7=g,然后利用正弦定理可得当4+）利用换元法即可求解

5tan£7□

【详解】△口口内,由余弦定理得，=行+方2-2UUcos口,

且4口口。6勺面积为Z7=匚fein。，由2口=Cf一（□一口2,得jju5M口=2nO-2£7£7cos£7,

化简得sinZZ7+2cos/Z7=2;又£7e(0,g,sin2ZZ7+cos2/Z7=1,所以sin£7+2,1-sir)2£7=2,

化简得5sin2/7-4sinZ7=0,解得sin£7=：或sin。=0（不合题意，舍去）;

因为口e0胃,所以cosZZ7=V1—sin2ZZ7=1,tan/Z7=,叱=:

5cos£_/3

所以养鬻sin(£7+Z2Z)_sinZZfcos/7+cosOsin£7_43

sin£7sin£75tanZ275

由O+O=n-£7,且〃e0；,n-Oe信,TT

解得De俏一加一切。（0,n

sing-Z7)

35,

所以tan£7>tan信-£78sHe焉=]所以矗e

设抵=口.其中。e35,

U5.

2

r-r*i\।/—t4—12£7£7+174倍)-12偿)+17_4炉-12D+17_14_.4

所以0=43.3g33(Z7-1)2+4/

4(扬2-2的+134^-120+13后-120+134,

又|4<|,所以。=|时，y取得最大值为Omax=2,

口=|时，。嗡；0=1时，口/，且鲁

所以。e（黑斗，即窝混您的取值范围是制,2],

故选：D

【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的

范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

【变式6-2]（多选）（2020春福建龙岩•高一期末）如图，△口口中内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,若口=口,且V5（0cos£7+UcosD）=2Us\r\U,D是4口□邙卜一点，□□=1,□□=3,则下

列说法正确的是（）

A.△口口a是等边三角形

B.若口口=2g,则A,B,C,D四点共圆

C.四边形ABCD面积最小值为孥-3

D.四边形ABCD面积最大值为等+3

【答案】AD

【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin。，再利用。=口，可知△口口。是等边三角形，从

而判断A;利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B;由余弦定理可得O行=10-6cosO,利用三

角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.

【详解】解：已知V5(ObosZZ7+ZZ7cosZZ7)=2Us\n[J,

由正弦定理得，V3(sinZ5tosZ7+sin/ZfcosZT)=2sinZZfeinZ7z

2

BPV3sin(£7+D)=2sinZZ7r因为sin(£7+D)=sinZZ7=#0,

所以sinD=苧,又以e(0,n)，目口=□,所以。=,

所以△口oa是等边三角形，A选项正确；

在口口田,由余弦定理得，=一!，则。力

4cos£7=,蹙/XJX第I:ogJ,

即。+口丰N,所以A,B,C,D四点不共圆，B选项错误；

设乙口□口=D,Q<D<n,由余弦定理得：

Z7ZZ72=□仃+口d-2Z7ZZ7-□□cosLJ=32+12-2x3x1xcosZZ7=10-6cos。，

所以四边形ABCD面积，口=□△□□□+口&□□口=|sin£7+?(10—6cos。

即0=苧+3(加回一3cos。)=竽+3sin(£7-5,

因为0<Z7<n,所以一g<。一gg,

所以当。一g=/即〃=g时，S取得最大值竽+3,无最小值，

C选项不正确，D选项正确；

故选：AD.

【变式6-3](2023春•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习)在锐角△口口。中,4-日=

口□,则角2勺取值范围为磊-5B+6sinB)最小值为.

【答案】仁,*2V30

【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得。，2勺关系，结合锐角三角形条件

可求D,06勺范围，然后由基本不等式可得.

【详解】由行一仆=口曲疗=4+行一2LJUcos口,

可得。-20cos£7=U,

由正弦定理得sin。-2sinZJDOsZZ7=sin。，

所以sin（D+D）-2sinZJD0sZ7=sin。，

整理得5皿0005£7-$后氏05/7=sinO,

即sin（Z7-U）=sin£7,

因为。一〃e“一，》,0e（O,》，

所以。一。=皈。一。+O=TI（舍去），即。=20,

0<0。

又△OOR锐角三角形，所以，0<20<］，解得

0<n-3U<-

故g<ZZ7<^,y<sin£7<1,

则福一福+6汕。=5偿g-照）+6sin。

=5-言+6sin£7=吃/6sin£7=6sinO+岛>2痴,

sm£7sm£7smZZfeinZZZsin£7

当且仅当6sinO=』》即sinZ7=粤时，等号成立.

sin£76

所以分-岛+6sin〃M最小值为2痴.

tanUtanLJ

故答案为：（》，［）；2V30.

【变式6-4］（2023秋•山东临沂・高一校考期末）记△的内角aa。的对边分别为a口口已知

v2sin£7+1_sin2ZZ7

1-V2cos£71+cos2Zl7

⑴若。=/求。；

⑵若口6H,求睁］范围.

【答案】⑴羽

（2）眼学

【分析】（1）利用二倍角、辅助角和两角和差公式化简已知等式可求得sin（0,结合范围可

求得结果;

（2）由夜sin〃=&sin（。一可知£7=结合疗勺范围可确定口=Z7+J,利用

两角和差公式化简得到萼=日+浮/，由tan中范围可求得结果.

sinZ_722tanZ_7

羊的1/1\山夜sin£7+1_sin2£7。日.V2sinZZ^-1_2sin/ZfcosZ7_sin/7

［许群,（）出［一夜cos。="cos2d寻,1-^cos£7=1+2cos2£7-1=cosO'

・•・V2sinZZfcosZZ7+cosZZ7=sinZZ7-V2cosZZ^inZZ7,

BPV2sinZZfcosZ7+V2cos^ZfeinZZ7=V2sin（/Z7+D）=sin£7-cos。,

:.V2sinZZ7=V2sin（LJ-；）=*・•.sin（U-；）=g,

（2）由（1）知：V2sin£7=V2sinI□-

nn3n5n，:•哈€三一口*口

vUE,A□+UEr

6,4~4~6

：.口=或0="一9一3=?-o,即〃=O+T或〃=?一D；

口^上』，.••当口=千一5寸，De[n,^],不合题意，.••□=口+%

10441Z4

.sin£7_，所（〃+，）_ysin£7+ycosZZ7_721V21

...-------.=4"--------=------}-—---------

sin£7sin£7sin£722tan/27

【变式6-5］（2022春・上海金山•高一上海市金山中学校考期末）记4口口电内鱼口,口,中）对边分别为

□,□,□1已知ZZfeinZ7+Us\v\D-ZZfein/7+USeU.

Q）求角A的大小；

⑵若Z7+'=□,口＞2,当△£7000勺周长最小时，求勺值.

【答案】*

（2）ZZ7=2+V2.

【分析】（1）已知％in〃+M口=Lkm□+DsinD,由正弦定理角化边，在利用余弦定理即可得

cosO=1即可求出角A;

(2)已知O+1=O,利用余弦定理可得£7=0合，则可求出△。。中周长为£7=3(0-2)+2+

LJ—£.LJ—£.

9,由于。〉2,利用均值不等式即可求出周长的最小值，及此时的b值.

【详解】(1)解：由正弦定理，得厅+炉=□□+厅，

所以上正互==1即cos。=-,

2口口2口口2，H2，

又OW(0,TI),所以

(2)解：由余弦定理得4=1^2-口□,把。+1=匚代入，整理得□=匕苧-

z_/—Z

因为。>2,所以△。口。M周长为0=。+D+□=2"?+2+口+1

=3(0-2)+-^-+9>6V2+9,

LJ-£.

当且仅当3(。-2)=岛，即£7=2+/时取等号，