2025年高考数学一轮复习-重难专攻（九）圆锥曲线中的定点、定值问题【课件】

重难专攻（九）圆锥曲线中的定点、定值问题

处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可

设出直线方程为

y

＝

kx

＋

m

，然后利用条件建立关于

k

，

m

的等量关

系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入

手，先探求定点，再证明定点与变量无关.处理圆锥曲线中定值问题的方法：（1）直接推理、计算，并在

计算推理的过程中消去变量，从而得到定值；（2）从特殊情况入

手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理法求定点

（1）求

C

的方程；

（2）记

C

的左、右顶点分别为

A

1，

A

2，过点（－4，0）的直线与

C

的左支交于

M

，

N

两点，

M

在第二象限，直线

MA

1与

NA

2交于

点

P

，证明：点

P

在定直线上.

解题技法直接推理法求定点的一般步骤

已知抛物线

C

：

y

2＝4

x

的准线为

l

，

M

为

l

上一动点，过点

M

作抛

物线

C

的切线，切点分别为

A

，

B

.

（1）求证：△

MAB

是直角三角形；解：证明：由已知得准线

l

的方程为

x

＝－1，设

M

（－1，

m

），切线斜率为

k

，则切线方程为

y

－

m

＝

k

（

x

＋1），将其与

y

2＝4

x

联立消

x

得

ky

2－4

y

＋4（

m

＋

k

）＝0.所以Δ＝16－16

k

（

m

＋

k

）＝0，化简得

k

2＋

mk

－1＝0，所以

k

1

k

2＝－1，所以

MA

⊥

MB

.

即△

MAB

是直角三角形.（2）

x

轴上是否存在一定点

P

，使

A

，

P

，

B

三点共线.

所以－4

t

＝－4，解得

t

＝1，所以直线

AB

过定点

P

（1，0）.即

x

轴上存在一定点

P

（1，0），使

A

，

P

，

B

三点共线.

先找后证法求定点

解题技法先找后证法求定点的一般思路（1）先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）

位置，如直线的水平位置、竖直位置，即

k

＝0或

k

不存在时；（2）以曲线上的点为参数，设点

P

（

x

1，

y

1），利用点在曲线

f

（

x

，

y

）＝0上，即

f

（

x

1，

y

1）＝0消参.

（1）求曲线

C

的方程；

（2）已知

A

（1，0），过点

A

的直线

AP

，

AQ

与曲线

C

分别交于点

P

和

Q

（点

P

和

Q

都异于点

A

），若满足

AP

⊥

AQ

，求证：直线

PQ

过定点.

【例3】已知抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0），其焦点为

F

，

O

为坐标原点，直线

l

与抛物线

C

相交于不同的两点

A

，

B

，

M

为

AB

的中点.（1）若

p

＝2，

M

的坐标为（1，1），求直线

l

的方程；参数法求定值

解题技法参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤

（2）

E

，

F

是椭圆

C

上的两个动点，如果直线

AE

的斜率与

AF

的斜率

互为相反数，证明直线

EF

的斜率为定值，并求出这个定值.

从特殊到一般法求定值

解题技法1.证明圆锥曲线中某些代数式为定值的策略依题意设出参数，利用几何知识或相应的代数知识得出与所证代数

式有关的含参数（变量）的等式，代入所证代数式运算化简，即可

得出定值.2.常见的化简运算技巧（1）在运算过程中，尽量减少所证代数式中的参数（变量）个

数，以便于向定值靠拢；（2）巧妙利用变量间的关系，尽量做到整体代入简化运算.

（1）求椭圆

C

的方程和其“卫星圆”的方程；

（2）点

P

是椭圆

C

的“卫星圆”上的一个动点，过点

P

作直线

l

1，

l

2

使得

l

1，

l

2与椭圆

C

都只有一个交点，且

l

1，

l

2分别交其“卫星

圆”于点

M

，

N

，证明：｜

MN

｜为定值.

课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

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（1）求双曲线Γ的渐近线方程；

（2）过点（4，0）作斜率不为0的直线

l

与双曲线

C

交于

M

，

N

两

点，直线

x

＝4分别交直线

AM

，

AN

于点

E

，

F

.

试判断以

EF

为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；

反之，请说明理由.

解得

x

＝1或

x

＝7，即以

EF

为直径的圆经过点（1，0）和（7，0）；②当直线

l

的斜率不存在时，点

E

，

F

的坐标分别为（4，3），

（4，－3），以

EF

为直径的圆方程为（

x

－4）