浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷专题04一元函数的导数及其应用难点新人教A版

专题04一元函数的导数及其应用（难点）一、单选题1．已知直线与是曲线的两条切线，则（

）A． B． C．4 D．无法确定【答案】A【分析】依据题意，明显地，切线必过，进而利用切线方程的公式，分别计算出，可得答案.【解析】解：由已知得，曲线的切线过，时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，∴，，同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，，∴，故选：A2．已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【分析】设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，进而依据导数的几何意义求得坐标得，即可得直线与直线重合时最小，再求距离即可.【解析】解：设与直线垂直，且与相切的直线为，设与直线垂直，且与相切的直线为，所以，，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，设直线与的切点为，因为，所以，解得，，即，此时，所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.故选：B3．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解.【解析】已知，令，则，所以在上单调递减，又因为偶函数，所以，所以，，所以不等式等价于，则，解得，所以不等式的解集为故选：A.4．已知函数，，曲线的图象上不存在点P，使得点P在曲线下方，则符合条件的实数a的取值的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得恒成立，分类探讨，可得，然后构造函数，利用导数可得，即得.【解析】由题可得恒成立，令，则，当时，单调递增，函数的值域为R，不合题意，当时，，不合题意，当时，，由在上单调递增，存在，使，即，所以，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，设，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减，故，即所以，即.故选：A.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分别常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.5．设函数，的最小值为，则的最大值为（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】对分类探讨求出，再分类探讨求出的最大值.【解析】设，不妨设，所以，所以，所以，当时，函数在上单调递减，所以.当时，函数在上单调递减，在单调递增，所以.所以.当时，，所以，所以所以在单调递减，所以，所以在单调递增，所以.所以的最大值为1.当时，，在单调递减，没有最大值，所以的最大值为1.故选：C【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类探讨求出，其二是分类探讨求出的最大值.6．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据解析式探讨、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数探讨最值即可得解.【解析】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，函数图象如下：所以，的值域在上随意函数值都有两个x值与之对应，值域在上随意函数值都有一个x值与之对应，要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，由开口向下且对称轴为，由上图知：，此时且，，结合图象及有，，则，所以，且，令且，则，当时，递增；当时，递减；所以，故最大值为.故选：A【点睛】关键点点睛：依据已知函数的性质推断与的交点横坐标的范围，进而得到与的关系，代入目标式并构造函数探讨最值.7．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数探讨其单调性即可得出.【解析】解：，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即函数的取值范围为，，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.所以假设，则（c），不满意.同理假设，也不满意.综上可得：.，.函数，的定义域为，等价为，在，上有解即平方得，则，设，则，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得微小值，即（1），当时，（e），则.则.故选：.【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数探讨函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于难题.8．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满意：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列有界 B．当时，数列有界C．当时，数列有界 D．当时，数列有界【答案】B【分析】当时，构造新函数，利用导数推断其单调性，进而得出，由此推断A;构造函数，推断其单调性，推出，进而得到，从而说明，推断B;当时，说明成立，从而推断C,D.【解析】当时，令，则，当时，，故，因为，则，所以，（这是因为），令，则，故时单调递增函数，故，则，假设，则，故由归纳法可得成立，所以，故数列无界，故A错；又由，设则，故递减，则，所以，则，则，故，则，故，即当时，数列有界，故B正确当时，，由，，假设，则，即成立，所以此时都无界，故C,D错误；【点睛】本题给定数列的新定义，要求能依据定义去推断数列是否符合要求，其中涉及到构造函数，并推断函数的单调性等问题，较为困难，比较困难.二、多选题9．关于切线，下列结论正确的是（

）A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为B．已知直线与抛物线相切，则a等于C．过点且与曲线相切的直线l的方程为D．曲线在点处的切线方程为．【答案】ABD【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求；对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解；对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程；对D，由导数法干脆求切线方程即可.【解析】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为．由直线l与圆相切得，解得.故直线l的方程为．A正确；对B，由消去y得，所以解得．B正确；对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为.又因为，所以解得所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误；D中，，所以，所以切线方程为，即．D正确．故选：ABD10．已知函数，下列说法不正确的是（

）A．当时，函数仅有一个零点B．对于，函数都存在极值点C．当时，函数不存在极值点D．，使函数都存在3个极值点【答案】ABD【分析】由时，即可推断A选项；当时，求导确定函数的单调性即可推断C选项；由C选项即可推断B选项；由的零点个数即可推断D选项.【解析】，，令，则，对于A，当时，，函数无零点，则A错误；对于C，当时，，，，，当时，，即单增，当时，，即单减，则，即函数单增，不存在极值点，C正确；对于B，由C选项知错误；对于D，假设，使函数都存在3个极值点，即存在3个变号零点，又由上知，当时，，即单增，最多只有1个零点；当时，当时，，即单增，当时，，即单减，最多只有2个零点，和存在3个变号零点冲突，则不存在，使函数都存在3个极值点，D错误.故选：ABD.【点睛】解决极值点问题，关键在于求导后由导数的正负确定函数的单调性，对于导数的正负不好干脆确定的，可以通过构造函数，再次求导，进而确定导数的正负，使问题得到解决.11．已知函数（），则下列命题正确的是（

）A．在上是单调递增函数 B．对随意，都有C．对随意，都有 D．【答案】ACD【分析】利用函数导数与函数单调性的关系可推断A，利用特值可推断B，利用函数的单调性可推断CD.【解析】对于A，，记，则，故当时，，那么，函数单调递增，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，因为对于，，当时，，，所以当时，，由A知，即，故C正确；对于D，，即，等价于，此式成立，故D正确：故选：ACD.12．已知，，则下列结论正确的是（

）A．函数在上的最大值为3 B．C．函数的极值点有2个 D．函数存在唯一零点【答案】ABC【分析】A：利用导数探讨f(x)在上的单调性，从而可求其最大值；B：求出f(x)的最小值，推断最小值的范围即可；C：利用导数探讨g(x)的导数的零点状况即可推断g(x)的极值点个数；D：由g(x)在上的单调性并推断其值域即可推断零点状况．【解析】对于A，，令，则，故在上单调递增，∴，在上单调递增，∴，故A正确；对于B，由选项A知，在上单调递增．∵，，∴存在，使得，即，则，∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，故B正确；对于C，，定义域为，，令，则．令，，则，∴在上单调递减．又，，∴存在，使得，即，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；故．又，，∴有两个零点，∴有两个极值点，故C正确；对于D，由选项C知当时，，∴当时，，于是在上单调递减，∴当，，∴在上没有零点，故D错误．故选：ABC．三、填空题13．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.【答案】【分析】令、，易知分别由已知函数向上平移一个单位得到且互为反函数，即关于，所以仅需P、Q关于对称且两点处切线平行于时|PQ|的最小，利用导数的几何意义求点坐标，结合点线距离公式及对称性即可求最小值.【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：令、有原函数由它们经过同样的平移得到，且、关于对称，即当P、Q在、上的对应点关于对称且切线与平行时|PQ|最小.14．已知函数的图象关于点中心对称，若，，使得，则的最大值是______．【答案】##【分析】结合的对称性、单调性以及导数求得正确答案.【解析】关于点中心对称，所以，，所以，解得，，，令解得，，所以在区间递减；在区间递增，所以的极大值是，微小值是，依题意，，使得，所以是的单调递减区间，所以的最大值是.故答案为：【点睛】本题的关键点有两点，一个是依据的对称中心求得的值，另一个是函数单调性的“定义”的变型“，，使得”，这个条件给出的是的单调性.15．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为___________.【答案】【分析】利用导数分析函数、的单调性，结合已知条件可得出，变形后可得出，故，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最大值，即可得解.【解析】因为，其中，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递增，且当时，，当时，.因为，其中，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，且当时，，当时，.因为存在，，使得成立，则，，因为，由题意，所以，，则，所以，，故，其中，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，因此，.故答案为：.16．已知定义域为R的奇函数满意：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是________．【答案】【分析】由题可知直线与函数的图像有三个交点，利用导数探讨函数的性质，利用数形结合思想能求出实数的取值范围．【解析】定义为的奇函数满意：，方程在上恰有三个根，即直线与函数的图像有三个交点，由是上的奇函数，则，当时，，则，当时，，当时，，在上递减，在上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得在，上的图像如下：由于直线过定点，如图，连接，两点作直线，过点作的切线，设切点，，其中，，则斜率，切线过点，则，即，则，当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在，上的图像有三个交点，故．故答案为：四、解答题17．已知函数．(1)探讨在上的单调性；(2)若不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，详细见解析(2)【分析】（1）依据函数求解导数，故依据，确定导函数正负区间，得函数到单调性；（2）依据不等式，参变分别得恒成立，故可构造函数确定函数的单调性求最小值，则求得的取值范围．【解析】（1）解：因为，，所以．当时，由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．当时，由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）解：不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于恒成立．设，则．设，则．设，则．由，得，所以在上单调递增，则，即，故在上单调递增．因为，所以在上单调递增，则，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则．故，即的取值范围是．18．已知（为自然对数的底数），(1)当时，若直线是与的公切线，求的方程；(2)若对于随意的，都有，求实数的取数范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分别设与，的切点，求出切线方程，进而结合公切线建立方程，再解方程得切点坐标，再求解切线方程即可；（2）由题知，进而令，求函数的最小值得，再结合单调性得，则，最终依据在上单调递增即可得答案.（1）解：设与的切点又切线方程为：，即①设与切点为切线方程为：，即②由题知，①，②都是的方程，则有，消去得，即，解得或当时切线方程为当时切线方程为综上，直线的方程为或.（2）解：要使，即令，易知在单调递增，因为趋近于时趋近于，趋近于时趋近于，故必有，使，此时则当时单调递减；当时单调递增.故又，所以令，因为所以在单调递减所以，要使，则又在上单调递增所以，，即实数的取数范围为.【点睛】本题考查利用导数求救公共切线问题，不等式恒成立问题，考查运算求解实力，逻辑推理实力等.本题其次问解题的关键在于构造函数，结合函数隐零点问题，得，，再探讨最小值大于等于零恒成立得，进而得的取数范围.19．已知函数且(1)求的值；(2)求函数的单调区间；(3)设函数，若函数在上单调递增，求实数的范围．【答案】(1)(2)单调增区间为，，单调减区间为(3)【分析】求出原函数的导函数，干脆利用列式求解值；把代入函数解析式，再由导数求解函数的单调区间；求出的解析式，求其导函数，利用导函数大于等于0在上恒成立，可得在上恒成立，令，再由导数求其最大值得答案．【解析】（1）由，得，，得；（2），，当时，，当时，，的单调增区间为，，单调减区间为；（3），，函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，即.令，则，当时，，当时，，的单调减区间为，.单调增区间为，则当时，.设，由上有，得.则.，得在上的最大值为.故实数的范围是．【点睛】关键点点睛：本题涉及求函数单调区间及已知单调区间求参数范围，前两问较为基础，要完成（3）问需留意以下两点：（1）函数在某区间单调递增等价于其导函数在某区间大于等于0恒成立.（2）求时，为防止出错可采纳降次思想.20．已知函数在处的切线方程为.(1)求实数m和n的值；(2)已知，是函数的图象上两点，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求导，由可求对应的m和n的值；（2）设，由可推断，由得，设，，，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于的不等式得，设，，由导数得，再证，放缩得，进而得证.【解析】（1）由，得.因为函数在处的切线方程为，所以，，则；（2）证明：由（1）可得，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以.由，得，即.设，.设，则，所以，即，故.要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证.令，，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立.由上还不等式可得，当时，，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立.综上所述，.21．已知是函数的一个极值点．(1)求值；(2)推断的单调性；(3)是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?干脆写出的取值范围．【答案】(1)(2)函数在上单调递增，在上单调递减.(3)存在，【分析】（1）求导得到导函数，依据计算得到答案.（2）求导得到，依据导数的正负得到单调区间.（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.【解析】（1），则，，解得.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故是函数的极大值点，满意.（2），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.（3），当，易知，，故.故，满意条件.当时，设，故，故，即，当时，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，故.，即可以无限接近.综上所述：.【点睛】本题考查了依据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算实力，转化实力和综合应用实力，其中放缩的思想是解题的关键.22．已知函数，.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依据在上单调递增，转化为恒成立，即恒成立，构造新函数求最值即可得的取值范围；（2）将要证，转化为证明，结合（1）中构造的函数，分