2024-2025学年新教材高中数学课时作业三十六形形色色的函数模型湘教版必修第一册

PAGEPAGE1课时作业(三十六)形形色色的函数模型[练基础]1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A.310元B．300元C.290元D．280元2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A.y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC.y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b3．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2024年，为响应党中心提出的“防治土地荒漠化，助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府主动行动，安排实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年削减10%.已知2024年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方千米，则2025年该地区的荒漠化土地面积(万平方千米)为()A.7×0.94B．7×0.95C.7×0.96D．7×0.974．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特别动物．已知该动物的数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为()A.300B．400C．600D．7005．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n))(单位：小时)大致听从的关系为teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(t0,\r(n))，n<N0\f(t0,\r(N0))，n≥N0))(t0、N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为()A.16小时B．11小时C.9小时D．8小时6．(多选)如图是一份统计图表，依据此图表得到的以下说法中正确的有()A.这几年人民生活水平逐年得到提高B.生活费收入指数增长最快的一年是2024年C.生活价格指数上涨速度最快的一年是2024年D.虽然2024年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善7．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预料今年药品利润为________万元．8．一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应惊慌，上涨20%后，经过一段时间，原材料复原正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的________倍．9．某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带肯定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)依据图中数据，求y关于x的函数表达式．(2)问旅客最多可免费携带多少行李？10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[提实力]11．一新型气枪放射子弹的速度v(cm/s)与枪管的半径r(cm)的四次方成正比，已知枪管直径为3cm时，子弹速度为400m/s.某人买了一支管道半径为5cm的气枪，若用该气枪瞄准高空中一水平飞行的小鸟，子弹发出5秒打中，则子弹放射走过的路程为()A.15430cmB．15430mC.3086cmD．3086m12．(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满意函数关系t＝64,x≤0,2kx+6,x>0且该食品在4℃A.该食品在6℃的保鲜时间是8小时B.当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而渐渐削减C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D.到了此日14时，甲所购买的食品已超过了保鲜时间13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．14．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2024年1月1日起，个税税额依据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率(%)速算扣除数1[0，36000]302(36000，144000]1025203(144000，300000]20169204(300000，420000]25319205(420000，660000]30529206(660000，960000]35859207(960000，＋∞)45181920李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是________元．15.目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫须要，某学校确定对教室采纳药熏消毒法进行消毒，药熏起先前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))eq\s\up12(t－a)(a为常数).已知从药熏起先，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的改变曲线如图所示．(1)从药熏起先，求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏起先，至少须要经过多少小时后，学生才能回到教室？[培优生]16．近年来，我国大部分地区遭受雾霾天气，给人们的健康、交通平安等带来了严峻影响，经探讨发觉工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不待时．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量，若经过5h过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物削减到40%至少须要多长时间．(精确到1h，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)课时作业(三十六)形形色色的函数模型1．解析：由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1，800)，(2，1300)代入得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300.故选B.答案：B2．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.故选B.答案：B3．解析：设从2024年后的第n年的荒漠化土地面积为y，则y＝7×(1－10%)n，故2025年的荒漠化土地面积为7×0.96.故选C.答案：C4．解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故选A.答案：A5．解析：由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16<N0，所以eq\f(t0,\r(16))＝16，得t0＝64.又由eq\f(64,\r(N0))＝8知，N0＝64，所以当n＝49时，teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(49))＝eq\f(64,\r(49))＝eq\f(64,7)≈9，故选C.答案：C6．解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确．“生活费收入指数”在2024～2024年最陡．故B正确，“生活价格指数”在2024～2024年最平缓，故C不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确．故选ABD.答案：ABD7．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.答案：1258．解析：由题意，该商品的最终售价为25×(1＋20%)×(1－20%)元，则eq\f(25×（1＋20%）×（1－20%）,25)＝1.2×0.8＝0.96.所以该商品的最终售价是原来的0.96倍．答案：0.969．解析：(1)设y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝60k＋b，,10＝80k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,5)，,b＝－6.))故y关于x的函数表达式为y＝eq\f(1,5)x－6(x≥30).(2)令y＝0，得x＝30.故旅客最多可免费携带行李30kg.10．解析：设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上单调递增，∴x＝210时，R(x)max＝－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660(万元).∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．11．解析：∵气枪放射子弹的速度v与枪管的半径r的四次方成正比，∴设v＝kr4(k≠0)，将r＝3，v＝40000代入v＝kr4(k≠0)，得40000＝k×34，∴k＝eq\f(40000,81)，∴气枪放射子弹的速度v与枪管的半径r的函数关系式为v＝eq\f(40000,81)r4，当r＝5时，v＝eq\f(40000,81)×54＝eq\f(25000000,81)≈308600(cm/s)，308600cm/s＝3086m/s，∴子弹放射走过的路程为s＝vt＝3086×5＝15430(m).故选B.答案：B12．解析：A中，∵食品的保鲜时间t(单位：小时)与贮存温度x(单位：℃)满意函数关系t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0，,2kx＋6，x＞0))且该食品在4℃的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－eq\f(1,2)∴t＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，x≤0，,2－\f(1,2)x＋6，x＞0))，当x＝6时，t＝8，A正确；B中，当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而渐渐削减，B错误；C中，到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，C错误；D中，到了此时14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，D正确．故选AD.答案：AD13．解析：设出租车行驶x千米时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15（x－3）＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x>8，))当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元).由y＝22.6，知x>8，由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.答案：14.59914．解析：专项扣除总额为：249600×(8%＋2%＋1%＋9%)＝49920元，应纳税所得额为：249600－60000－52800－4560－49920＝82320元，个税税额为：82320×10%－2520＝5712元，答案：571215．解析：(1)依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，且1＝0.2k，解得k＝