适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十三圆柱圆锥圆台球的表面积和体积新人教A版必修第二册

PAGE二十三圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆锥的表面积最小【解析】选CD.由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误．圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×2πR×eq\r(3)R＝eq\r(3)πR2，故B错误．球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确．圆锥的表面积为S侧＋S底＝eq\r(3)πR2＋πR2＝(eq\r(3)＋1)πR2，圆柱的表面积为S侧＋2S底＝4πR2＋2πR2＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆锥的表面积最小，故D正确．2．(2024·银川高一检测)如图，正四棱锥P­ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为()A.eq\f(\r(3),18)B．eq\f(\r(3),16)C．eq\f(\r(3),13)D．eq\f(\r(3),14)【解析】选A.设球M、球O的半径分别为R，r，AB＝a，连接PO，BO，如图，因为正四棱锥P­ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，在Rt△POB中，OB＝eq\f(\r(2)a,2)，PB＝a，所以PO＝eq\f(\r(2)a,2)，所以OB＝OA＝OC＝OD＝OP＝R＝eq\f(\r(2)a,2)，因为半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，所以4×eq\f(1,3)S△PAB·r＝eq\f(4,3)×eq\f(\r(3),4)a2·r＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a，解得r＝eq\f(\r(6),6)a，则半球O的体积与球M的体积的比为eq\f(\f(1,2)×\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2)×eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))\s\up12(3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(3))＝eq\f(\r(3),18).3．(2024·郑州高一检测)若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)【解析】选B.设该圆锥的底面半径为r，母线长为2l，则该圆锥的侧面积S＝eq\f(1,2)×2πr×2l＝2πrl，截得的小圆锥的底面半径为eq\f(r,2)，母线长为l，其侧面积S1＝eq\f(1,2)×πr×l＝eq\f(1,2)πrl，而圆台的侧面积S2＝S－S1＝2πrl－eq\f(1,2)πrl＝eq\f(3,2)πrl.故两者侧面积的比值eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)πrl,\f(3,2)πrl)＝eq\f(1,3).4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为()A．eq\r(3,2)B．eq\r(3,3)C．2eq\r(3,2)D．eq\r(2)【解析】选A.设大球的半径为r，则eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，所以r＝eq\r(3,2).5．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A.5πB．6πC．20πD．10π【解析】选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2024·荆门高一检测)《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为________．【解析】先求圆周率π的近似值，已知圆锥的底面周长L与高h，其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.设底面圆的半径为r，则L＝2πr，可得r＝eq\f(L,2π)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)h≈eq\f(1,36)L2h，整理得π≈3.再来计算所求圆锥体积的近似值，该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27，设该圆锥的底面半径为R，母线长为l，高为h′，S表＝πR2＋eq\f(1,2)·(2πR)·l≈3R2＋eq\f(1,2)·(2×3R)·2R＝27，解得R＝eq\r(3).又2R＝l，所以h′＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(4R2－R2)＝eq\r(3)R＝3，所以所求圆锥体积V′＝eq\f(1,3)πR2·h′≈eq\f(1,3)×3×3×3＝9.故该圆锥体积的近似值为9.答案：97．如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为__________．【解析】作经过球心的截面(如图)，O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5，则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，V＝eq\f(π,3)(32＋eq\r(32×42)＋42)×7＝eq\f(259π,3).答案：eq\f(259π,3)8．(2024·晋城高一检测)已知长方体ABCD­A1B1C1D1外接球的体积为36π，AA1＝2eq\r(5)，则矩形ABCD面积的最大值为________．【解析】设长方体的外接球的半径为R，又长方体ABCD­A1B1C1D1外接球的体积为36π，所以eq\f(4,3)πR3＝36π，所以R＝3，又因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以(2R)2＝AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋AB2＋AD2，所以AB2＋AD2＝4×9－20＝16，所以2AB·AD≤16，所以AB·AD≤8，取等号时AB＝AD＝2eq\r(2)，所以矩形ABCD面积的最大值为8.答案：8三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积和体积．【解析】设球心为O，截面圆心为O′，连接O′A，设球半径为R，则O′A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3)，在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)R2，所以R＝eq\f(4,3)，所以S＝4πR2＝eq\f(64,9)π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(256,81)π.10.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？【解析】(1)所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，BO＝1，PO＝3，设圆柱的高为h，由图得eq\f(x,1)＝eq\f(3－h,3)，即h＝3－3x(0<x<1).(2)因为S圆柱侧＝2πxh＝2πx(3－3x)＝6π(x－x2)，当x＝eq\f(1,2)时，圆柱的侧面积取得最大值为eq\f(3,2)π.所以当圆柱的底面半径为eq\f(1,2)时，它的侧面积最大为eq\f(3,2)π.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．如图，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器的厚度，则球的体积为()A．eq\f(500π,3)cm3B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3D．eq\f(2048π,3)cm3【解析】选A.过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3).2．已知三棱锥S­ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为()A．64πB．68πC．72πD．100π【解析】选D.如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R＝OS＝eq\r(OE2＋SE2)＝eq\r(CD2＋SE2)，因为CD＝eq\f(1,2)AB＝4，SE＝3，所以R＝5，所以棱锥的外接球的表面积为4πR2＝100π.3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，估算出堆放的米约有________立方尺．()A．eq\f(320,3)B．eq\f(320,9)C．eq\f(1280,9)D．eq\f(1280,3)【解析】选B.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则eq\f(1,4)×2πr＝8，解得：r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×πr2×5＝eq\f(320,3π)≈eq\f(320,9)(立方尺)，所以堆放的米约有eq\f(320,9)立方尺．4．(多选题)下列说法正确的为()A．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形B．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的8倍C．若将气球的半径扩大2倍，则其体积扩大27倍D．球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径【解析】选ABD.A正确．球心与截面圆圆心的连线垂直于截面内的任始终线；B正确．体积增大到原来的8倍；C错误．若将气球的半径扩大2倍，则体积就扩大eq\f(\f(4,3)π（3r）3－\f(4,3)πr3,\f(4,3)πr3)＝26倍；D正确．球与圆柱底面和侧面均相切，明显球的直径恰好等于圆柱的高，而球的直径也恰好等于底面圆的直径．二、填空题(每小题5分，共10分)5．若圆锥侧面绽开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________．【解析】设圆锥的底面半径为r，则有eq\f(2π,3)l＝2πr，所以l＝3r，所以eq\f(S表,S侧)＝eq\f(πr2＋πrl,πrl)＝eq\f(πr2＋3πr2,3πr2)＝eq\f(4,3).答案：4∶36．圆柱形容器内盛有高度为8的水，若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图)，则球的半径是________．【解析】设球的半径为r，则圆柱形容器的水高为6r(放置球后)，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8的水的体积为8πr2，3个球的体积和为3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.答案：4【补偿训练】(2024·合肥高一检测)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB旋转一周．则阴影部分形成的几何体的表面积为________，阴影部分形成的几何体的体积为________．【解析】(1)由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，S半球＝eq\f(1,2)×4π×22＝8π，S圆台侧＝π(2＋5)×eq\r(42＋（5－2）2)＝35π，S圆台底＝π×52＝25π.故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.(2)V圆台＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π×22＋\r(（π×22）×（π×52）)＋π×52))×4＝52π，V半球＝eq\f(4,3)π×23×eq\f(1,2)＝eq\f(16,3)π，所求几何体体积为V圆台－V半球＝52π－eq\f(16,3)π＝eq\f(140,3)π.答案：68πeq\f(140,3)π三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【解析】因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因为V半球<V圆锥，所以，冰淇淋溶化了，不会溢出杯子．8．西安市建立圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12m，高为4m．随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食．现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？【解析】(1)假如按方案一：仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积：V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))eq\s\up12(2)×4＝eq\f(256,3)π(m3)，假如按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积：V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))eq\s\up12(2)×8＝eq\f(288,3)π＝96π(m3)；(2)假如按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m，圆锥的母线长为l＝eq\r(82＋42)