2022年江苏省南通市启东中学创新班数学高三上期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为()A．8 B．4 C． D．62．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（）A． B． C．5 D．3．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．64种4．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（）A． B． C． D．5．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A．20 B．24 C．25 D．266．已知复数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．67．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为89．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．1510．已知，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．11．设命题函数在上递增，命题在中，，下列为真命题的是（）A． B． C． D．12．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是等比数列,若，,且∥,则______.14．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．15．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．18．（12分）已知抛物线：（）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.（1）求p的值；（2）设（）为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求的取值范围.19．（12分）如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.20．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.22．（10分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域，如图所示由，可得.平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.解方程组，得..，当且仅当，即时，等号成立.的最小值为8.故选：.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.2、B【解析】

据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设与交于点，以为原点，的方向为轴，的方向为轴，建立直角坐标系，则，，，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.3、C【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，此时有种情况，则有种不同的安排方法；故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4、A【解析】

对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【详解】因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.5、D【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.6、B【解析】

设，，利用复数几何意义计算.【详解】设，由已知，，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故.故选：B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.7、C【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵，.当时，，在上单调递增，不合题意.当时，，在上单调递减，也不合题意.当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.综上，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．8、D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.9、A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.10、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．【详解】已知，赋值法讨论的情况：（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；（2）当时，令，，则，排除A选项.故选：D.【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．11、C【解析】

命题：函数在上单调递减，即可判断出真假．命题：在中，利用余弦函数单调性判断出真假．【详解】解：命题：函数，所以，当时，，即函数在上单调递减，因此是假命题．命题：在中，在上单调递减，所以，是真命题．则下列命题为真命题的是．故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12、B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为..故答案为.14、0.08【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得，．故答案为：0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.15、【解析】

确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，则平面即为平面．证明如下：由正方体的性质可知，，则，四点共面，记的中点为，连接，易证．连接，则，所以平面，则．同理可证，，，则平面，所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，，所以其面积．故答案为：【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16、【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】

（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．【详解】（Ⅰ），，，，，由，得，又，，解得：，，．椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，又，设直线，联立，消可得．解得，，联立，得，，直线，联立，解得，，，，，，，，函数在上单调递增，，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．18、（1）；（2）【解析】

（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到求解.（2）设过点的直线方程为，根据直线与圆相切，则有，整理得：，根据题意，建立，将韦达定理代入求解.【详解】（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得：，解得:.（2）设过点的直线方程为，因为直线与圆相切，所以，整理得：，，由题意得：所以，，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19、（1）（2）不存在；详见解析【解析】

（1）设，，，通过，即为的中点，转化求解，点的轨迹的方程．（2）设直线的方程为，先根据，可得，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得，②，将①代入②可得，该方程无解，问题得以解决【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.曲线的方程.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为四边形为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．20、(1).(2).【解析】

（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，