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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知是等差数列的前项和,若,,则()A.5 B.10 C.15 D.203.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.4.某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1),则这个几何体的体积是()A. B. C.16 D.325.设,,则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.7.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要8.已知a,b∈R,,则()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a9.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.10.已知数列{an}满足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-111.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量=(1,2),=(-3,1),则=______.14.已知集合,,则__________.15.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.16.已知是定义在上的偶函数,其导函数为.若时,,则不等式的解集是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.求的值;设的平分线与边交于点,已知,,求的值.18.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.19.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为.(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程及的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到距离的取值范围.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成的角.22.(10分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得,再利用二次函数的性质,可得当或时,取到最小值.【详解】根据题意,可知为等差数列,公差,由成等比数列,可得,∴,解得.∴.根据单调性,可知当或时,取到最小值,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当或时同时取到最值.2、C【解析】
利用等差通项,设出和,然后,直接求解即可【详解】令,则,,∴,,∴.【点睛】本题考查等差数列的求和问题,属于基础题3、B【解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.4、A【解析】几何体为一个三棱锥,高为4,底面为一个等腰直角三角形,直角边长为4,所以体积是,选A.5、A【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若,,则,可得;若,可得,无法得到,所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义,判断充要条件的方法是:①若为真命题且为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若为假命题且为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若为真命题且为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若为假命题且为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.6、A【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.7、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。8、C【解析】
两复数相等,实部与虚部对应相等.【详解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故选:C.【点睛】本题考查复数的概念,属于基础题.9、B【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.10、D【解析】试题分析:因为an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考点:数列的通项公式.11、D【解析】
连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.【详解】连接,则,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根据双曲线的定义,得,所以双曲线的离心率故选:D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12、A【解析】
基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-6【解析】
由可求,然后根据向量数量积的坐标表示可求.【详解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),则=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示,属于基础试题.14、【解析】
解一元二次不等式化简集合,再进行集合的交运算,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.15、1【解析】
作出约束条件表示的可行域,转化目标函数为,当目标函数经过点时,直线的截距最大,取得最大值,即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,转化目标函数为当目标函数经过点时,直线的截距最大此时取得最大值1.故答案为:1【点睛】本题考查了线性规划问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于基础题.16、【解析】
构造,先利用定义判断的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化为,结合奇偶性,单调性求解不等式即可.【详解】令,则是上的偶函数,,则在上递减,于是在上递增.由得,即,于是,则,解得.故答案为:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;.【解析】
利用正弦定理化简求值即可;利用两角和差的正弦函数的化简公式,结合正弦定理求出的值.【详解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,为三角形内角,故,,则,故,;(2)平分,设,则,,,,则,,又,则在中,由正弦定理:,.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式,二倍角公式,考查运算能力,属于基础题.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明平面,只需证明,即可:(2)取中点,连,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出与平面的法向量,再利用计算即可.【详解】(1)∵底面为菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如图,取中点,连,以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系:,点,设平面的法向量为,,有,令,得又,设直线与平面所成的角为,所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,本题解题关键是正确写出点的坐标.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】
(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(2)因为,两点不在棱的端点处,所以,又四边形是平行四边形,,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)如图,延长交的延长线于点,若四边形为菱形,则,易证,所以,即为的中点,因此,且,所以是的中位线,则是的中点,所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和线段长的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,属中档题.20、(1),.(2)【解析】
(1)根据直线的参数方程为(为参数),消去参数,即可求得的的普通方程,曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:,即可求得答案;(2)的标准方程为,圆心为,半径为,根据点到直线距离公式,即可求得答案.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),消去参数的普通方程为.曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:的直角坐标方程为.(2)的标准方程为,圆心为,半径为圆心到的距离为,点到的距离的取值范围是.【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.21、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性质可得平面,即可得到,从而得证;(Ⅱ)在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,利用空间向量法得到二面角的余弦,即可得到的关系,从而得解;【详解】解:(Ⅰ)证明:在中,,解得,则,从而因为平面平面,平面平面所以平面,又因为平面,所以,因为,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,则设平面的法向量为,则,即,令,则又平面的一个法向量,则从而,故则直线与平面所成的角为,大小为.【点睛】本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质定理的应用,利用空间向量法解决立体几何问题,属于中档题.22、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)
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