【压轴专练】专题09-分式方程的三种应用(解析版)-2021-2022学年八上压轴题攻略

专题09分式方程的三种应用类型一、销售利润问题例．某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A、B两种运动鞋，其中A种运动鞋的进价比B种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A种运动鞋的数量与用2560元购进B种运动鞋的数量相同．（1）求两种运动鞋的进价．（2）设A运动鞋的售价为250元/双，B运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W元，A运动鞋进货双，且90≤≤105．①写出总利润W元关于的函数关系式．②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货?【答案】（1）A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W=50+20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双【详解】（1）设B种运动鞋的进价元，则A种运动鞋的进价元，则解得：经检验是原分式方程的解，且符合题意．∴故A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双．（2）①W=（250-100）+（180-80）（200-）=50+20000即总利润W元关于的函数关系式为W=50+20000②∵W=50+20000∴50＞0，W随的增大而增大又∵90≤≤105∴当=105时，W取得最大值，200-=95故要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双．【变式训练1】某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费．（1）A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由．【答案】（1）A每天加工16件，B每天加工24件；（2）两个工厂合作完成，理由见解析【详解】解：（1）设A每天加工x件产品，则B每天加工x＋8件产品由题意得，解得x＝16件答：A每天加工16件产品，则B每天加工24件产品；（2）A单独加工完成需要960÷16=60天，费用为：60×（80+5）=5100元，

B单独加工完成需要960÷24=40天，费用为：40×（120+5）=5000元；

A、B合作完成需要960÷（16+24）=24天，费用为：24×（120+80+5）=4920元．

所以既省时又省钱的加工方案是A、B合作．【变式训练2】某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，由题意可得，，解得，经检验是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，则购进乙品牌洗衣液瓶，由题意可得，，解得，由题意可得，，∵，∴随的增大而增大，∴当时，取最大值，.答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．【变式训练3】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元件）售价（元件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【详解】解：（1）依题意得：，整理，得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，根据题意得：，解得：，为整数，，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为，则，①当时，，随的增大而增大，当时，最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；③当时，，随的增大而减小，当时，最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．类型二、行程问题例．从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．（1）求高铁列车的平均时速；（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？【答案】（1）高铁列车的平均时速为180千米小时；（2）他能在开会之前到达，理由见解析【详解】解：（1）设普快的平均时速为千米小时，高铁列车的平均时速为千米小时，由题意得，，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，答：高铁列车的平均时速为180千米小时；（2），则坐车共需要（小时），王老师到达会议地点的时间为13点40．故他能在开会之前到达．【变式训练1】从甲地到乙地有两条公路：一条是全长的普通公路，另一条是全长的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，那么x满足怎样的分式方程？【答案】．【详解】设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，由题意可得：．【变式训练2】某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，那么x满足怎样的分式方程？【答案】或．【详解】解：设单独采用机械装运可以完成后一半任务，则机械装运的工作效率为，由于用人工装运完成了一半任务，则人工装运，根据题意得，，解这个方程得，，经检验，是原方程的解，所以单独采用机械装运h可以完成后一半任务故x应满足分式方程或．类型三、工程问题例．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程．（1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【答案】（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，题意，得，解方程，得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，所以甲队单独施工天完成该项工程.甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）．设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，则，解方程，得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，依题意列不等式，得，解得：【变式训练1】某市一项民生改造工程，由甲、乙两个工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用的天数是乙工程队所用天数的2倍．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天；（2）甲工程队单独做几天后，再由甲、乙两工程队合作可完成此项工程，已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队施工费每天2.5万元，求甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总工程费不超过64万元？【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30天；（2）36天【详解】（1）解：设乙两个工程队单独完成此项工程需天．，解得，检验：当时，，所以，原分式方程的解为，所以，答：甲工程队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需30天．（2）解：设甲工程队要单独施工天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．，解得，答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下工程．【变式训练2】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析．【分析】（1）设工作总量为1，规定的时间是x天，则第五施工队单独完成这项工程所需时间为天，第六施工队单独完成这项工程所需时间为，根据题意列分式方程即可解决问题；（2）设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天，根据（1）的