2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第7节 函数的图象含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第7节函数的图象含答案第七节函数的图象课标解读考向预测1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．会画简单的函数图象．3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.近三年高考中常常考查图象变换问题，多以给图变图、求解析式等多种形式呈现，难度较小．函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质，考查解决有关问题(如方程的根、解不等式)的能力，体现了数形结合的解题思想，难度较大．预计2025年高考函数的图象仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，难度起伏较大.必备知识——强基础1．描点法作图步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．图象变换图象变换包括图象的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等．(1)平移变换(左加右减，上加下减)把函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数eq\x(\s\up1(01))f(x＋a)的图象；向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数eq\x(\s\up1(02))f(x－a)的图象．把函数f(x)的图象向上平移a(a>0)个单位长度，得到函数eq\x(\s\up1(03))f(x)＋a的图象；向下平移a(a>0)个单位长度，得到函数eq\x(\s\up1(04))f(x)－a的图象．(2)伸缩变换①把函数y＝f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的eq\f(1,w)倍，得到y＝eq\x(\s\up1(05))f(wx)(0<w<1)的图象；横坐标缩短到原来的eq\f(1,w)倍，得到y＝eq\x(\s\up1(06))f(wx)(w>1)的图象；②把函数y＝f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍，得到y＝eq\x(\s\up1(07))wf(x)(w>1)的图象；纵坐标缩短到原来的w倍，得到y＝eq\x(\s\up1(08))wf(x)(0<w<1)的图象．(3)对称变换函数y＝f(x)的图象：关于x轴对称得到函数y＝eq\x(\s\up1(09))－f(x)的图象；关于y轴对称得到函数y＝eq\x(\s\up1(10))f(－x)的图象；关于原点对称得到函数y＝eq\x(\s\up1(11))－f(－x)的图象；关于直线y＝x对称得到函数y＝f－1(x)(反函数)的图象．简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变．(4)翻折变换①把函数y＝f(x)图象上方部分保持不变，下方的图象对称翻折到x轴上方，得到函数y＝eq\x(\s\up1(12))|f(x)|的图象；②保留y轴右边的图象，擦去左边的图象，再把右边的图象对称翻折到左边，得到函数y＝eq\x(\s\up1(13))f(|x|)的图象．1．函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．2．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．()(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()答案(1)×(2)×(3)√2．小题热身(1)函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1)的大致图象是()答案A解析当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，可排除B，C，D.故选A.(2)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(lnx,x)－x＋1 B．f(x)＝eq\f(lnx,x)＋x－1C．f(x)＝xlnx－x＋1 D．f(x)＝xlnx＋x－1答案C解析当x＝2时，eq\f(ln2,2)－2＋1＝lneq\r(2)－1<0，eq\f(ln2,2)＋2－1＝lneq\r(2)＋1>1，2ln2＋2－1>1，故排除A，B，D.故选C.(3)为了得到函数y＝lgeq\f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．答案31解析因为y＝lgeq\f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，所以y＝lgx的图象eq\o(→,\s\up7(向左平移3个单位长度))y＝lg(x＋3)的图象eq\o(→,\s\up7(向下平移1个单位长度))y＝lg(x＋3)－1的图象．(4)(2024·山西太原五中高三模拟)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln(x＋a)，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)＝________．答案－1解析由f(－1)＝ln(－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，解得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.考点探究——提素养考点一作函数的图象例1作出下列函数的图象．(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(x≥0)的图象，再将y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的图象，如图1中实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2中实线部分．(3)因为y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3.(4)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图4.【通性通法】函数图象的画法直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象转化法含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象图象变换法若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响【巩固迁移】1．分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图1中实线部分．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图2所示．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))其图象如图3所示．考点二函数图象的辨别(多考向探究)考向1根据函数解析式辨别图象例2(2024·湖北武汉高三模拟)函数f(x)＝eq\f(sinx,ex＋e－x)的部分图象可能为()答案A解析因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(sin(－x),e－x＋ex)＝eq\f(－sinx,ex＋e－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；当x∈(0，π)时，sinx>0，则f(x)>0，故B不正确；当x∈(π，2π)时，sinx<0，故f(x)<0，故C不正确．故选A.【通性通法】识图的三种常用方法(1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；②从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数图象的变化．(2)抓住函数的特征，定量计算：注意联系基本初等函数的图象，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．(3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．【巩固迁移】2．已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝lnx－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为()答案D解析由f(x)－f(－x)＝0，得函数f(x)为偶函数，排除A，B；又当x>0时，f(x)＝lnx－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0.故选D.考向2根据图象辨别函数解析式例3(2024·湖北襄阳部分学校高三期中)已知函数f(x)＝cosx，g(x)＝eq\f(6x,x2＋1)，若函数h(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的大致图象如图所示，则h(x)的解析式可能是()A．h(x)＝f(x)＋g(x) B．h(x)＝f(x)－g(x)C．h(x)＝eq\f(f(x),g(x)) D．h(x)＝f(x)g(x)答案D解析易知f(x)＝cosx为偶函数，由g(－x)＝eq\f(6(－x),(－x)2＋1)＝－eq\f(6x,x2＋1)＝－g(x)，得g(x)为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)±g(x)是非奇非偶函数，A，B不符合题意；因为当x＝0时，y＝eq\f(f(x),g(x))无意义，所以C不符合题意．故选D.【通性通法】根据图象辨别函数解析式的策略(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性．(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性．(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性．【巩固迁移】3．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝xsinπx B．f(x)＝(x－1)sinπxC．f(x)＝xcos[π(x＋1)] D．f(x)＝(x－1)cosπx答案B解析对于A，f(－x)＝－xsin(－πx)＝xsinπx＝f(x)，所以函数f(x)＝xsinπx为偶函数，故排除A；对于C，f(x)＝xcos[π(x＋1)]＝－xcosπx，则f(－x)＝xcosπx＝－f(x)，所以函数f(x)＝xcos[π(x＋1)]为奇函数，故排除C；对于D，f(0)＝－1≠0，故排除D.故选B.考向3根据图象辨别函数的图象例4(2024·广东汕头高三月考)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案C解析y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(向左平移1个单位长度))y＝f(x＋1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称(翻转)))y＝－f(x＋1)的图象．故选C.【通性通法】解决根据函数图象辨别函数图象问题的关键是分析出要求的函数图象与已知的函数图象之间的关系，即已知的函数图象经过怎样的变换可以得到要求的函数图象，若是平移变换要注意平移的方向，若是伸缩变换要注意是伸还是缩，若涉及翻折变换要注意应翻折哪一段及翻折的方向．【巩固迁移】4．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1，))则下列图象正确的是()答案ABD解析先作出y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1))的图象，如图所示，故A正确；对于B，y＝f(x－1)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，故B正确；对于C，当x>0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)的图象相同，且函数y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，故C错误；对于D，y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.考向4借助动点探究函数的图象例5如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝eq\r(2)，动点P从点A出发，按照A→D→C→B路径沿边运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案A解析点P在AD上时，△APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增，排除C，D；点P在DC上时，△APB是底边AB不变，高不变，图象是一条水平直线；点P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数图象，故选A.【通性通法】借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．【巩固迁移】5．(2024·江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校高三模拟)如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是()答案D解析观察题图，可知面积S的变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求．故选D.考点三函数图象的应用(多考向探究)考向1根据图象研究函数的性质例6已知函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则()A．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增B．f(x)的图象关于点(－1，1)对称C．f(x)为奇函数D．f(x)的图象关于直线y＝x对称答案D解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(－(x＋1)＋2,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，f(x)的图象可以看作是函数g(x)＝eq\f(2,x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，先画出g(x)＝eq\f(2,x)的图象，再进行平移画出f(x)＝eq\f(2,1＋x)－1的图象，明显可见，原函数g(x)＝eq\f(2,x)为奇函数，图象关于点(0，0)对称，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，图象关于点(－1，－1)对称，为非奇非偶函数，图象关于直线y＝x对称，所以D正确，A，B，C错误．故选D.【通性通法】利用图象研究函数性质问题的思路【巩固迁移】6．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是()A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值答案AC解析作出f(x)的图象，f(x)的图象向左平移2个单位长度，得f(x＋2)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故C正确；由图象可知函数存在最小值0，故D不正确．故选AC.考向2根据图象解决不等式问题例7已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式eq\f(f(x),g(x))<0的解集是________．答案{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}解析y＝f(x)是偶函数，由图象及偶函数对称性知，在[－3，－2)上f(x)<0，在(－2，0)上f(x)>0；y＝g(x)是奇函数，由图象及奇函数对称性知，在(－3，－1)上g(x)<0，在(－1，0)上g(x)>0；当eq\f(f(x),g(x))<0时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)>0，,g(x)<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)<0，,g(x)>0，))故所求不等式的解集是{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}．【通性通法】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．【巩固迁移】7．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)答案C解析作出函数f(x)的图象如图所示，当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)．故选C.考向3根据图象研究取值范围问题例8函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2log2x，x≥1，,f(x＋1)，x<1，))若方程f(x)＝－2x＋m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(－2，4) D．(－2，4]答案A解析令g(x)＝－2x＋m，画出f(x)与g(x)的图象，平移直线，当直线经过(1，2)时只有一个交点，此时m＝4，向右平移，不再符合条件，故m<4.故选A.【通性通法】求解函数图象应用问题的思维流程注意：此类问题通常采用“以形助数”或“以数辅形”的数形结合法将问题直观化、生动化．【巩固迁移】8．(2024·广东汕头高三模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2－x＋\f(3,2)，x≤a，,－2x，x>a))无最大值，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析由题意可知，当x≤a时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，其图象的对称轴为直线x＝－1，当a≥－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)有最大值，为f(－1)＝2，当a<－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)有最大值，为f(a)＝－eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2)，当x>a时，f(x)＝－2x在(a，＋∞)上单调递减，故f(x)<f(a)＝－2a，因为函数f(x)无最大值，故当a≥－1时，需满足2<－2a，解得a<－1，不符合题意，当a<－1时，需满足－eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2)<－2a，解得a<－1或a>3(舍去)．综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)．课时作业一、单项选择题1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且单调递减区间是(－1，1)．故选C.2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案D解析因为f(x)为奇函数，所以不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0可化为eq\f(f(x),x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1)．故选D.3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝eq\f(a－b＋c,x)在同一坐标系中的大致图象是()答案C解析由二次函数图象可知a>0，c>0，由图象的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)>0，可知b<0，故a－b＋c>0.当x＝1时，a＋b＋c<0，即b＋c<0，所以正比例函数y＝(b＋c)x的图象经过第二、四象限，反比例函数y＝eq\f(a－b＋c,x)的图象经过第一、三象限．故选C.4．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象大致为()答案A解析令f(x)＝(3x－3－x)cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D；又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，3x－3－x＞0，cosx＞0，所以f(x)＞0，排除C.故选A.5．(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(5(ex－e－x),x2＋2) B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C．f(x)＝eq\f(5(ex＋e－x),x2＋2) D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)答案D解析解法一：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．f(x)＝eq\f(5(ex－e－x),x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5(e－x－ex),x2＋2)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5(ex－e－x),x2＋2)是奇函数，所以排除A；f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5sin(－x),x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，所以排除B；f(x)＝eq\f(5(ex＋e－x),x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5(e－x＋ex),x2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5(ex＋e－x),x2＋2)是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C.故选D.解法二：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5(ex－e－x),x2＋2)是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝eq\f(5(ex＋e－x),x2＋2)>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D.6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是()A．[0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(2))C．(－1，eq\r(2)－1) D．(－1，eq\r(2))答案C解析画出f(x)的图象如图所示，要使不等式f(1－x2)>f(2x)成立，必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x≤0，,1－x2>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0，,1－x2>2x，))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x≤0，,1－x2>0))可得－1<x≤0；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0，,1－x2>2x))可得0<x<eq\r(2)－1.综上，x的取值范围是(－1，eq\r(2)－1)．故选C.7．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝eq\f(1,3)f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|.若∀x∈[m，＋∞)，都有f(x)≤eq\f(2,81)，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，＋∞))答案B解析因为当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x<\f(1,2)，,2－2x，\f(1,2)≤x<1，))又因为函数f(x)满足f(x＋1)＝eq\f(1,3)f(x)，所以函数f(x)的部分图象如图所示，由图可知，若∀x∈[m，＋∞)，都有f(x)≤eq\f(2,81)，则m≥eq\f(11,3).故选B.8.(2024·湖北鄂东南三校高三联考)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图象为()答案A解析①0≤t≤1时，f(t)＝eq\f(1,2)AM·BN＝eq\f(1,2)·2t·t＝t2；②1<t≤2时，f(t)＝eq\f(1,2)MN·AB＝MN＝|2(t－1)－t|＝2－t；③2<t≤3时，f(t)＝eq\f(1,2)MN·BC＝MN＝|2(t－2)－(t－2)|＝t－2；④3<t≤4时，f(t)＝eq\f(1,2)AM·DN＝eq\f(1,2)[2－2(t－3)][2－(t－2)]＝(t－4)2.所以f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2，0≤t≤1，,2－t，1<t≤2，,t－2，2<t≤3，,(t－4)2，3<t≤4，))其图象为选项A中的图象．故选A.二、多项选择题9．下列关于函数f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)的性质，说法正确的是()A．f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)B．f(x)的值域为RC．f(x)在定义域上单调递减D．点(2，2)是f(x)图象的对称中心答案AD解析f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)＝eq\f(2(x－2)＋1,x－2)＝2＋eq\f(1,x－2)，由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f(x)＝2＋eq\f(1,x－2)的图象，因为y＝eq\f(1,x)的图象关于(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(2，2)对称，故D正确；函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A正确，B错误；函数f(x)在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，故C错误．故选AD.10．(2023·安徽合肥高三一模)已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是()答案ABC解析当0<a<1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，故A符合题意；当a＝1时，函数f(x)＝x－1在(0，＋∞)上的图象是不含端点(0，－1)的射线，故B符合题意；当a>1时，取a＝2，有f(2)＝f(4)＝0，即函数f(x)＝x2－2x，x>0的图象与x轴有两个交点，又当a>1，x>0时，随着x的无限增大，函数y＝ax呈“爆炸式”增长，其增长速度比y＝xa大，因此存在正数x0，当x>x0时，xa<ax恒成立，即f(x)<0，故C符合题意，D不符合题意．故选ABC.11．(2024·山东济南一中高三摸底)如图所示，边长为1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B恰好能经过原点．设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y＝f(x)，则下列对函数y＝f(x)的判断正确的是()A．函数y＝f(x)是偶函数B．函数y＝f(x)是周期为4的函数C．函数y＝f(x)在区间[10，12]上单调递减D．函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，eq\r(2)]答案ABD解析当－2≤x<－1时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆；当－1≤x<1时，动点P的轨迹是以B为圆心，eq\r(2)为半径的eq\f(1,4)圆；当1≤x<2时，动点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆；当2≤x≤3时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆．故函数y＝f(x)的周期为4，因此函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，故A正确；函数f(x)的周期为4，故B正确；函数y＝f(x)在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故C错误；函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，eq\r(2)]，故D正确．故选ABD.三、填空题12．对任意x∈R，函数f(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－x＋3，\f(3,2)x＋\f(1,2)，x2－4x＋3))，则f(x)的最小值是________．答案2解析在同一平面直角坐标系中作出y＝－x＋3，y＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，y＝x2－4x＋3的图象，则f(x)的图象如图中实线部分所示，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3，,y＝\f(3,2)x＋\f(1,2)，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))由图可得f(x)min＝f(1)＝2.13．设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．其中正确命题的序号是________．答案②④解析若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，①错误；若y＝f(x＋2)是偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，②正确；f(x－2)＝f(2－x)＝f(－(x－2))，令x－2＝t，即f(t)＝f(－t)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，③错误；y＝f(x－2)是将f(x)的图象向右平移2个单位长度而得，y＝f(2－x)＝f(－(x－2))是将f(x)的图象沿y轴对称后再向右平移2个单位长度而得，因此y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称，④正确．14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,g(x)，x<0，))若∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式：________．答案g(x)＝eq\f(1,x)(答案不唯一)解析由∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0，可得g(x0)＝－f(－x0)，由y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，可得y＝lnx与y＝－ln(－x)的图象关于原点对称，如图，取y＝eq\f(1,x)时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝eq\f(1,x)符合条件．15.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A．(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)D．(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)答案C解析根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2>0，,f(x)>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2<0，,f(x)<0，))解得x<－2或eq\r(2)<x<2或－eq\r(2)<x<0.故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)．故选C.16．某村准备将一块边长为2km的正三角形空地(记为△ABC)规划为公园，并用一条垂直于边BC的小路(宽度不计)把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图，BC∥x轴，小路记为直线x＝m(0<m<2)，小路右侧为健身休闲区，设其面积为f(m)km2，则函数S＝f(m)的图象大致为()答案C解析由题图可知，A(1，0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则直线AB：y＝－eq\r(3)x＋eq\r(3)，直线AC：y＝eq\r(3)x－eq\r(3).当0<m≤1时，S＝f(m)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)－eq\f(1,2)×m×[eq\r(3)－(－eq\r(3)m＋eq\r(3))]＝eq\f(\r(3),2)(2－m2)；当1<m<2时，S＝f(m)＝eq\f(1,2)×(2－m)×[eq\r(3)－eq\r(3)(m－1)]＝eq\f(\r(3),2)(2－m)2.结合选项知选C.17．(多选)(2024·黑龙江龙东五地市期中联考)设函数f(x)＝min{|x－3|，3|x|－1，|x＋3|}，则下列说法正确的是()A．f(f(3))＝1B．函数f(x)为偶函数C．函数f(x)的最小值为0D．当x∈[－3，3]时，f(x)－1≤a，则a的取值范围为[2，＋∞)答案BC解析在同一坐标系作出y＝3|x|－1，y＝|x－3|和y＝|x＋3|的图象如图所示，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－1，,y＝－x＋3，,0<x<3，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即得图中B(1，2)，由对称性可得A(－1，2)，则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x＋3|，x≤－1，,3|x|－1，－1<x<1，,|x－3|，x≥1，))其图象是图中实线部分．则f(f(3))＝f(0)＝0，故A错误；由图象可知函数f(x)为偶函数，函数f(x)的最小值为0，B，C正确；当x∈[－3，3]时，f(x)max＝2，由于f(x)－1≤a，所以a≥2－1＝1，D错误．故选BC.18．(2024·江西临川一中高三模拟)函数f(x)的定义域为[－1，1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1，0]时，g(x)＝f(x)．给出下列四个结论：①g(1)＝eq\f(1,2)；②函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称；③不等式g(x)>0的解集为R；④函数g(x)的单调递增区间为[2k，2k＋1]，k∈Z.其中所有正确结论的序号是________．答案①②④解析对于①，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，又g(－1)＝f(－1)＝eq\f(1,2)，所以g(1)＝eq\f(1,2)，故①正确；对于②，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故②正确；对于③，由题意可知，g(0)＝f(0)＝0，故③错误；对于④，由题意可知，g(x)在[－1，0]上单调递减，又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0，1]上单调递增．又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)的周期为2，所以函数g(x)在[2k，2k＋1]，k∈Z上单调递增，故④正确．第八节函数与方程课标解读考向预测1.理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.会用二分法求方程的近似解.从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2025年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.必备知识——强基础1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有eq\x(\s\up1(01))f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．4．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且eq\x(\s\up1(02))f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值．函数零点的相关技巧：(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．(3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号．(4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2答案B(2)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()答案A解析根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知选项A中的函数不能用二分法求零点．故选A.(3)(人教A必修第一册习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为()x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64A.2 B．3C．4 D．5答案B解析由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B.(4)若函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则实数k的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))考点探究——提素养考点一函数零点所在区间的判断例1(1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案C解析因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点，因为f(0)f(1)＝5(3－lg3)>0，f(1)f(2)＝(3－lg3)(1－lg5)>0，f(2)f(3)＝(1－lg5)(－1－lg7)<0，f(3)f(4)＝(－1－lg7)×(－3－lg9)>0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3)．故选C.(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．答案1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)解析注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.【通性通法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【巩固迁移】1．(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.2．已知2<a<3<b<4，函数y＝logax与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．答案2解析依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.考点二函数零点个数的判断例2(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≤1，,log2(x－1)，x>1，))则函数y＝f(x)零点的个数为________．答案2解析当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)零点的个数为2.(2)方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的实数根的个数为________．答案1解析解法一：lnx＋cosx＝eq\f(1,3)，即cosx－eq\f(1,3)＝－lnx，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝cosx－eq\f(1,3)和y＝－lnx的大致图象，如图所示，在(0，1)上两函数的图象只有一个交点，即方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的实数根的个数为1.解法二：令f(x)＝lnx＋cosx－eq\f(1,3)，则f′(x)＝eq\f(1,x)－sinx，显然在(0，1)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)＋coseq\f(1,e)－eq\f(1,3)＝－1－eq\f(1,3)＋coseq\f(1,e)<0，f(1)＝ln1＋cos1－eq\f(1,3)＝0＋cos1－eq\f(1,3)>coseq\f(π,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以在(0，1)上函数f(x)的图象和x轴有且只有一个交点，即方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的实数根的个数为1.【通性通法】求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点．(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．【巩固迁移】3．(2024·江苏无锡模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lgx，x>0))的零点的个数为________．答案2解析当x≤0时，f(x)＝x2－2，根据二次函数的性质可知，此时f(x)单调递减，零点为x＝－eq\r(2)；当x>0时，f(x)＝2x－6＋lgx，∵y＝2x－6单调递增，y＝lgx单调递增，∴f(x)＝2x－6＋lgx单调递增．f(1)＝－4<0，f(3)＝lg3>0，由零点存在定理知，在区间(1，3)必有唯一零点．综上所述，函数f(x)的零点的个数为2.4．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－|log2x|的零点有________个．答案2解析f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－|log2x|的零点的个数即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＝|log2x|的根的个数，即为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)与y＝|log2x|图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数f(x)的零点有2个．考点三函数零点的应用(多考向探究)考向1利用零点比较大小例3已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为()A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a答案A解析解法一：因为函数y＝3x，y＝x均为R上的增函数，故函数f(x)＝3x＋x为R上的增函数，因为f(－1)＝eq\f(1,3)－1<0，f(0)＝1>0，所以－1<a<0.因为函数y＝log2x，y＝x在(0，＋∞)上均为增函数，故函数g(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上为增函数，因为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)<0，g(1)＝1>0，所以eq\f(1,2)<b<1.由h(c)＝c(c2＋1)＝0可得c＝0，因此a<c<b.故选A.解法二：由题设，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以问题可转化为直线y＝－x与y＝3x，y＝log2x，y＝x3的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知a<c＝0<b.故选A.【通性通法】(1)直接利用方程研究零点．(2)利用图象交点研究零点．(3)利用零点存在定理研究零点．【巩固迁移】5．(2023·江西南昌模拟预测)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝lnx＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．c<a<b答案C解析由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝ex的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝lnx的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出函数y＝2x，y＝ex，y＝lnx，y＝4－x的图象，如图所示，由图可知b<a<c.故选C.考向2根据零点个数求参数例4(2023·山东济南高三三模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A.【通性通法】根据零点个数求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．【巩固迁移】6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为()A．1 B．－1C．0 D．－2答案B解析函数f(x)＝2|x|＋x2＋a的定义域为R，f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2＋a，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x＝0时，f(x)min＝a＋1，由函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选B.7．设a∈R，对任意实数x，记f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为________．答案[10，＋∞)解析设g(x)＝x2－ax＋3a－5，h(x)＝|x|－2，由|x|－2＝0可得x＝±2.要使得函数f(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则Δ＝a2－12a＋20≥0，解得a≤2或a≥10.①当a＝2时，g(x)＝x2－2x＋1，作出函数g(x)，h(x)的图象如图所示，此时函数f(x)只有2个零点，不符合题意；②当a<2时，设函数g(x)的2个零点分别为x1，x2(x1<x2)，要使得函数f(x)至少有3个零点，则x2≤－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)<－2，,g(－2)＝4＋5a－5≥0，))无解；③当a＝10时，g(x)＝x2－10x＋25，作出函数g(x)，h(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点个数为3，符合题意；④当a>10时，设函数g(x)的2个零点分别为x3，x4(x3<x4)，要使得函数f(x)至少有3个零点，则x3≥2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)>2，,g(2)＝4＋a－5≥0，))解得a>4，所以a>10.综上所述，实数a的取值范围是[10，＋∞)．考向3根据零点范围求参数例5已知函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))解析由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在区间(1，3]上有零点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(1)<0，,f(3)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m<0.因此实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).【通性通法】根据零点范围求参数的方法(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．【巩固迁移】8．(2024·湖北荆州中学高三月考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析作出函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝eq\f(1,2)，当x＝1时，f(x)极大值＝eq\f(1,2)，方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，x∈[0，3)的图象有4个交点，则有a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).课时作业一、单项选择题1．(2024·江苏扬中第二高级中学高三期初检测)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)答案B解析因为函数f(x)＝2x＋3x在定义域内单调递增，f(－1)＝eq\f(1,2)－3＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝1＋0＝1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选B.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A．2 B．－2，0C.eq\f(1,2) D．0答案D解析当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)(舍去)．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.3．函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析令f(x)＝ex|lnx|－1＝0，即|lnx|＝e－x，则函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数等价于两个函数y＝e－x与y＝|lnx|图象的交点个数，y＝e－x与y＝|lnx|的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是2.故选B.4．(2023·河南扶沟期末)若关于x的方程logeq\s\up-7(\f(1,2))x＝eq\f(m,1－m)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上有解，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪(1，＋∞)答案B解析y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上为减函数，则1<y<2，即1<eq\f(m,1－m)<2，解得eq\f(1,2)<m<eq\f(2,3).故选B.5．已知三个函数f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案D解析∵函数f(x)＝2x－1＋x－1为增函数，又f(0)＝2－1－1＝－eq\f(1,2)<0，f(1)＝1>0，∴a∈(0，1)，由g(x)＝ex－1－1＝0，得x＝1，即b＝1，∵h(x)＝log2(x－1)＋x－1在(1，＋∞)上单调递增，又heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋eq\f(3,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，h(2)＝log2(2－1)＋2－1＝1>0，∴eq\f(3,2)<c<2，∴c>b>a.故选D.6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A．(0，1) B．(2，＋∞)C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)答案D解析方程mx－x－m＝0有两个不同的实数根等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，当m>1时，如图1所示，由图可知，当m>1时，函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，满足题意；当0<m<1时，如图2所示，由图可知，当0<m<1时，函数y＝mx与y＝x＋m的图象有且仅有一个交点，不满足题意．综上所述，实数m的取值范围为(1，＋∞)．故选D.7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))若函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．[0，1] B．(－1，1)C．[0，1) D．(－∞，1]答案D解析由题意，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))当x≤0时，函数f(x)＝ex为增函数，其中f(0)＝1，当x>0时，函数f(x)＝lnx为增函数，且f(1)＝0，又由函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，即为g(x)＝0有两个不等的实数根，即y＝f(x)与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，如图所示，当y＝－x＋m恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，实数m的取值范围是(－∞，1]．故选D.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1，10) B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)答案C解析函数f(x)的图象如图所示，不妨设a<b<c，则－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0<－eq\f(1,2)c＋6<1，所以ab＝1，10<c<12，所以10<abc<12.故选C.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A．函数y＝x2－3x－4的零点是(4，0)，(－1，0)B．方程ex＝3＋x有两个解C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上答案BCD解析对于A，令y＝x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以函数y＝x2－3x－4的零点是－1和4，故A错误；对于B，分别作出y＝ex，y＝3＋x的图象，y＝ex与y＝3＋x的图象有两个交点，即方程ex＝3＋x有两个解，故B正确；对于C，因为同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，因为y＝3x＋3x－8单调递增，由零点存在定理知，因为f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D正确．故选BCD.10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－eq\f(1,4)C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3答案ABD解析对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为2，3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝eq\b\lc\(\rc