贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊数学试卷一、单项选择题1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为全集，，，∴，则．故选：D．2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗抛物线，则，，故焦点坐标为.故选：D.3.已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.故选：D.4.在中，，，，则外接圆的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，，由余弦定理可得：，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，则．故选：B．5.已知点O为的重心，，则（）A. B. C.1 D.6〖答案〗A〖解析〗根据向量加法三角形运算法知（∗）；F为中点，则（∗∗）；点O为的重心，则，代入（∗∗）得到，，代入（∗）得到，，结合，可得，所以.故选：A6.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（）A. B.1 C. D.﹣2〖答案〗C〖解析〗圆与直线与相交于A，B两点，且．则圆心到直线的距离，利用垂径定理得，所以，解得．故选：C．7.定义在R上的奇函数，满足，时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为定义在R上的奇函数，满足，所以，故的周期为，当时，，则，所以，所以．故选：C．8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知，，，则，，，作出函数，，，的图象，由图可知．故选：A．二、多项选择题9.已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（）A.B.C.点是函数图象的对称中心D.将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称〖答案〗ABD〖解析〗因为函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，，因为直线为函数图象的一条对称轴，所以，，则，，因为，所以，故AB正确；所以，因为，故C错误；将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为，图象关于轴对称，故D正确.故选：ABD.10.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则（）A.的面积为B.三棱锥的体积为C.存在点P，使得⊥D.存在点P，使得⊥平面〖答案〗BD〖解析〗A选项，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，当点P与重合时，为等边三角形，边长为，故的面积为，故A错误；B选项，因为，其中，表示点P到平面的距离，故，所以三棱锥的体积为，故B正确；C选项：在正方体中，以为直径的球面，半径，则直线与该球面没有公共点，故不存在点P，故C错误；D选项：取的中点M，连接PM，当P为的中点时，即为的交点时，因为，，所以四边形为平行四边形，故，又，所以四边形为平行四边形，所以，因为⊥平面，易知⊥平面，因为平面，所以PM⊥，又因为在正方体中，⊥，而，所以⊥平面，故D正确．故选：BD．11.（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（）A.若，则B.若的面积为，则C.若线段的中点在y轴上，则D.内切圆的圆心到轴的距离为1〖答案〗BCD〖解析〗渐近线方程为，由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为，，所以或，选项A错；记，则，由，可得，即有，所以，选项B对：因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对；取点在双曲线的右支上，如图所示，，又因为，解得，，所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对．故选：BCD．三、填空题12.若复数是方程的根，则复数的模为______．〖答案〗〖解析〗设复数，若复数是方程的根，则，整理得所以，若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意故，从而解得，所以复数，故复数的模为.故〖答案〗为：.13.诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为___________．〖答案〗〖解析〗由题意，甲、乙两队抢到该题的概率均为，该题被答对的概率为．故〖答案〗：．14.已知正四面体的棱长为，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为_______．〖答案〗〖解析〗以点为球心的球，其球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：一类与三个侧面，设与侧面交线为，则在过球心的大圆上，且与交于中点，正四面体中每个面都是等边三角形，且，，又，则，根据对称性可知：与侧面ABD，ACD的交线与相等，另一类交线是与底面BCD的交线，过A作AO⊥平面BCD，则，，，故与底面BCD刚好相交于底面BCD各边中点处，形成的交线此时是底面BCD的内切圆，内切圆半径为，故弧长为，该球球面与正四面体ABCD的表面相交所得到的曲线长度之和为．故〖答案〗为：．四、解答题15.已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）设数列的公差为d，则根据题意可得，解得，则．（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，又恒成立，则恒成立，设，则，当时，，即；当时，，则，则；则，故，故实数λ的取值范围为．16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．③泊松分布表（局部）表中列出了的值（如：时，…0.50.60.7…0…0.6065310.5488120.496585…1…0.3032650.3292870.347610…2…00758160.0987860.121663…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…（1）解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以ξ的分布列为：ξ012P所以ξ的期望为；（2）解：依题题意，得，则，所以，因为，所以，于是，所以时的概率估计值为．17.已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：取的中点为，连结，因为为中点，则，且，因为，，，所以所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面;（2）解：在中，，所以，在中，，即，因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，令，得，，所以，易知平面的一个法向量为，设二面角为，由图知为钝角，所以，所以，故二面角的正弦值为．18.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．解：（1）设，因为，所以，由得，，将，代入得，，所以动点P的轨迹C的方程为；（2）由（1）知，联立得，，由韦达定理得，，于是，从而，因为，，则，，，所以．19.若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”（1）若，判断是否为上的“4类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；（3）若为上的“2类函数”且，证明：，，.（1）解：函数是上的“4