广东省中山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省中山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在锐角三角形中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在锐角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故选：A.2.已知复数z满足，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，设，所以，所以所以或所以复数或，所以．故选：B．3.已知，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在上的投影向量是：.故选：A.4.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8 B. C.16 D.〖答案〗C〖解析〗还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以，所以原图形周长为．故选：C.5.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗D〖解析〗若，，，则可能平行，可能相交，故A错误；若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；若，则或，故C错误；因为，，所以，又，所以，故D正确.故选：D.6.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale1820－1910）设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（）A2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B.2017年至2018年，知识付费用户数量增加量为近些年来最多C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D.2016年至2022年，知识付费用户数量的年增加量逐年递增〖答案〗D〖解析〗对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；对于BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；对于C，由，即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正确.故选：D.7.把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则，因为，所以的最小值为.故选：C.8.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60〖答案〗B〖解析〗设球的半径为R，，，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗AB〖解析〗在△ABC中，，，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以b可以为7，8.故选：AB.10.以下化简结果正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，由两角和与差的正弦公式，可得，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，因为，可得，所以，所以C正确；对于D中，由余弦的倍角公式，可得，所以D正确.故选：ACD.11.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（）A.与不互斥且相互独立 B.与互斥且不相互独立C.与互斥且不相互独立 D.与不互斥且相互独立〖答案〗ABD〖解析〗对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确；对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.故选：ABD.12.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（）A. B.平面C.与所成的角的余弦值为 D.点到平面的距离为〖答案〗AD〖解析〗A选项：取中点为，则易得：，故与，，可得平面，又平面，故，A正确；B选项：若平面，则平面或在平面内，显然不成立，B错误；C选项：取中点为，则即为所求角，，故，D错误；D选项：三棱锥中，，等边三角形的外接圆半径为，所以到平面的距离为，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校从高一男生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，将得到的数据（单位：cm）从小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若该样本数据的第70百分位数是171，则x的值为______．〖答案〗170〖解析〗因为，所以第70百分位数为第14个数和第15个数的平均数，因为该样本数据的第70百分位数是171，所以，解得.故〖答案〗为：170.14.如图，在△ABC中，，，，M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足，则__________.〖答案〗〖解析〗由图可得三点共线，又，则.注意到，则.故〖答案〗为：.15.某班同学的体重状况调查中，已知30名男生的平均体重为60kg，方差为50，20名女生的平均体重为50kg，方差为60，那么该班50名同学的平均体重为__________kg，方差为__________.〖答案〗5678〖解析〗该班50名同学的平均体重为；由总体样本方差公式可得该班50名同学的方差为.故〖答案〗为：5678.16.为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数，满足，，，则_______.〖答案〗〖解析〗设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，由余弦定理得，，，∴，，∴，则，则，所以，由，得，即，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，满足，，．求：（1）；（2）与的夹角．解：（1）由，得，故，代入，，得，由，得.（2）由，由于，故与的夹角为.18.已知锐角三角形中，，.（1）求证：；（2）求的值.解：（1）证明：，，，所以.（2），，，即，将代入，得，解得，舍去负值，得.19.在某次乒乓球团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛相互独立.（1）求这场选拔赛三局结束的概率；（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.解：（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），记“三局结束比赛”，则，所以.（2）记“决胜局进入第五局比赛”，则，所以.20.古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，即利用三角形的三边长求三角形面积.若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，其中.（1）证明：海伦公式；（2）若，，求此三角形面积的最大值.解：（1），其中，得证.（2）因为，，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以得最大值为，此时，，，满足，符合题意.21.已知满足．（1）试问：角是否可能为直角？请说明理由；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．解：（1）假设角为直角，则，所以，因为，所以，所以，所以，显然，所以矛盾，故假设不成立，所以角不可能为直角．（2）因为，所以，由正弦定理，得，由余弦定理化简，得，因为为锐角三角形，所以令，则有，所以的取值范围为．22.如图1，在平行四边形ABCD中，，，，E是边BC上的点，且．连结AE，并以AE为折痕将△ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥，如图2．（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD∥l；（2）在图2中，已知．①证明：平面PAE⊥平面AECD；②求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的表面积．解：（1）由题设，，而面