福建省泉州市鲤城区2024届高三下学期5月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州市鲤城区2024届高三下学期5月联考数学试卷一、选择题1.若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵全集是实数集，集合，∴，∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.故选：A.2若（，2，3，…，n），则数据组和，（）A.有相同的平均数 B.有相同的中位数C.有相同的方差 D.有相同的众数〖答案〗C〖解析〗由（，4，3，…，n），得的平均数、中位数和众数都相应地比数据组的平均数、中位数和众数大4，ABD错误；数据组与数据组相对于各自平均数的波动大小不变，因此两个数据组的方差相同，C正确.故选：C3.若复数z满足，则z的一个可能值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，由，得，即，整理得，显然选项ACD不满足要求，B符合要求.故选：B4.若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，，整理得，即，由，得，所以.故选：D5.若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，由于，所以.故选：B6.已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知，根据二面角定义知，因为O是AB的中点，所以C是SA的中点，且，因为，所以是边长为的等边三角形，所以圆锥的底面半径为，圆锥的高为所以该圆锥的体积为.故选：C.7.若函数，，则（）A.函数，的图象关于直线对称B.，使得C.若，则D.若，则〖答案〗C〖解析〗对A：当时，，恒成立，所以在上单调递增，且增长速度比快，即的图象在上方；同理的图象也在上方.所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错；对B：设（），则，（），设（），则在上恒成立，所以在单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，即.当时，单调递减；当时，单调递增.所以（因为，故不能取“”）.所以在恒成立，故B错；对C：因为，.因为在上单调递增，所以，故C正确；对D：由，由的单调性，只有一解，且，所以.由，由的单调性，只有一解，且，所以.所以.故D错.8.若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（）A.曲线C关于原点对称 B.C. D.曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1〖答案〗D〖解析〗对于A，曲线上任意点，显然成立，即点在曲线C上，因此曲线C关于原点对称，A正确；对于B，由，得，因此，即，B正确；对于C，令，由消去得，则有，解得，C正确；对于D，令，得，解得或，显然点在曲线C上，点到原点距离，D错误.故选：D.二、选择题9.若函数，则（）A.若，则既是奇函数，也是偶函数B.若为奇函数，则C.若，则存在两个不同的零点D.若的定义域为R，则〖答案〗BCD〖解析〗对A：时，，由可得定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故A错误；对B：若为奇函数，则，对函数定义域中任意成立，所以，而时，函数定义域为，故B正确；对于C：当时，由可得，解得或，故C正确；对于D：若的定义域为R，则对任意成立，于是，当时，由知恒成立，当时，需恒成立，即恒成立，所以，综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确.故选：BCD.10.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（）A.C的方程为B.C的离心率为2C.若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为D.若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为〖答案〗BC〖解析〗对于A，双曲线C：的渐近线方程，则，于是双曲线C的方程为，A错误；对于B，双曲线C的离心率，B正确；对于C，，，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确；对于D，由点在双曲线上支上，得，，的周长，设的内切圆半径为r，则，解得，因此的内切圆面积为，D错误.故选：BC.11.已知随机变量X的分布列如下：123…n…若数列是等差数列，则（）A.若n为奇数，则 B.C.若数列单调递增，则 D.〖答案〗ACD〖解析〗由数列是等差数列且，得，所以，对于A，当n为奇数时，，故A正确；对于B，由得，故选项B错误；对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确；对于D：由，其中，所以，因为，，所以，故选项D正确.故选：ACD三、填空题12.若，则______.（用含n的式子表示）〖答案〗〖解析〗依题意，，所以.故〖答案〗为：13.若将正方体绕着棱AB旋转后，CD所在位置为的位置，则直线和平面所成的角为______.〖答案〗〖解析〗如图，由对称性，不妨设点在正方形内，则为顶角的等腰三角形，，所以平面与平面的夹角为，旋转后显然与平面垂直，所以直线和平面所成的角为.故〖答案〗为：.14.若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗抛物线C：的焦点为，准线方程为，设直线AB方程为，由消去得，显然，，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以则的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题15.如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.解：（1）由E，F分别为和的中点，得，而平面，平面，所以平面.（2）棱柱中，侧棱底面，取AB中点O，中点M，连接，则，平面，而平面，则有，又，则，即直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，假设在平面上存在点P，使，设，，，即，显然，由，得，因此，即，此时，所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使.16.已知函数（且）.（1）若，求a；（2）若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围.解：（1）当时，，由得：（），所以.当时，，由得：（），所以.所以.（2）时，.所以，（）.所以，（）对于任意，在区间上总存在极值就是：有两个不相等的实根，且必有一根在区间内.因为函数是开口向上的二次函数，且，所以必有：.由，设，则在上单调递减，所以，所以，由.综上可知：.所以，所求的取值范围是：17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.（1）写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；（2）若外的点D满足，，求面积的最大值.解：（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，若是直角三角形，则.命题q的为假命题，理由如下：由为直角三角形，且，得或，而，当时，，当时，，因此逆命题q是假命题.（2）由于外的点D满足，而，则四点共圆，由，得，且，设，则，在中，由正弦定理得外接圆直径，，在中，，在中，，则的面积，显然，，因此当时，，所以面积的最大值为.18.测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的概率为0.8.（1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；（2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；（ii）设为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若满足对于，，直接写出符合题意的.（注：最终结果均保留两位小数.）解：（1）设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为，球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为，守门员乙扑出点球的事件为E，则，，，设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F，则为互斥事件，则.（2）（i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1，或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事件：①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为；②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为，此时罚进的点球的概率为；③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，此时罚进的概率为；④第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为，所以第二轮球员甲罚进的概率为.（ii）.由（1）及（2）（i）知，，则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而随的增大而增大，于是若满足对于，均有，则.19.在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点.（1）将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的〖解析〗式；（2）费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：（i）证明：.（ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路