北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题.共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.计算（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以是线段的中点，所以点的坐标为，即，故点的坐标为.故选：A.3.在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，连接，在正方体中，因为，所以四边形为平行四边形，所以，又在正方形中，所以，则异面直线与所成角的大小为.故选：B.4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）A.“都是白球”与“至少有一个白球” B.“恰有一个白球”与“都是红球”C.“都是白球”与“都是红球” D.“至少有一个白球”与“都是红球”〖答案〗D〖解析〗从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，选项A，“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误；选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误；选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误；选项D：“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都红球”是对立事件，故D正确.故选：D．5.已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当b⊥时，结合a⊥，可得a//b，充分性满足；当a//b时，结合a⊥a，可得b⊥a，必要性满足.故选：C.6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6〖答案〗C〖解析〗设“甲命中目标”为事件，“乙命中目标”为事件，由题意可得，，且甲乙相互独立，甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：，.故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，函数的最小正周期为，因为，则，所以，，因为，可得，因为，则，故，因此，.故选：B.8.已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，加入新数据后，，，所以ABC错误，D正确.故选：D.9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设阳马的体积为，长方体的体积为，由图2可知，阳马是底面为矩形，高为的四棱锥，则，长方体的体积为，因此，.故选：B.10.设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形〖答案〗C〖解析〗因为，则，即，即，所以，平面四边形为平行四边形，因为，则，即，因为，所以，，即，即，即，即平行四边形的两条对角线长相等，故平面四边形一定是矩形.故选：C.二、填空题.共6小题，每小题5分，共30分．11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则________．〖答案〗〖解析〗由题意可知.故〖答案〗为：.12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．〖答案〗30〖解析〗高中生中抽取了人.故〖答案〗为：30.13.在中，，，，则________；________．〖答案〗〖解析〗在中，，，，由余弦定理可得，因为，则，故.故〖答案〗为：.14.把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意可得，令，，解得，，所以的对称中心的横坐标为，，所以的一个对称中心坐标为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在中，设，，的平分线和交于点，点在线段上，且满足，设，则______；当______时，.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理可得，可得，因为为的角平分线，可知，所以，可得，所以，又，，所以，在中，，所以，所以，解得.故〖答案〗为：.16.如图1，四棱锥是一个水平放置装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中、分别为棱、的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：①没有水的部分始终呈棱锥形；②有水的部分始终呈棱柱形；③棱始终与水面所在平面平行；④水的体积与四棱锥体积之比为.其中所有正确结论序号为________．〖答案〗①③④〖解析〗对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，有水的部分的几何体不是棱柱，②错；对于③，倾斜前，在图1中，棱与水面所在平面平行，在倾斜的过程中，容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，棱始终与水面所在平面平行，③对；对于④，连接、、，设三棱锥的体积为，则三棱锥的体积也为，因为为的中点，则，所以，，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，，所以，，所以，没有水的部分的几何体的体积为，所以，有水的部分的几何体的体积为，因此，水的体积与四棱锥体积之比为，④对.故〖答案〗为：①③④.三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．解：（1）因为，所以，函数的最小正周期为.（2）当时，，故当时，函数取最大值，即，当时，函数取最小值，即.18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．（1）求频率分布直方图中的值；（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率；（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）解：（1）由，所以.（2）设事件分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则，，因为相互独立，所以，所以估计两个网箱的箱产量都不低于的概率为.（3）新养殖法.旧养殖法的平均值估计为，新养殖法的平均值估计为，又，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.19.在中，已知，．（1）求证：；（2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由，根据正弦定理可得，又因为，由余弦定理得：，可得，即.（2）若选①，由，且，所以，解得，所以，，所以.若选②，根据，所以，，因为，所以，解得，所以.若选③，由（1）可得，，则，与，矛盾，故不存在.20.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设棱与平面交于点，求的值．解：（1）平面平面，且两平面的交线为，由于，，所以，平面，故平面.（2）证明：取中点，连，，是的中点，，，由于平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，平面平面，平面，直线平面.（3）作点满足，则，，，四点共面，作的中点，则，所以，所以四边形是平行四边形，则，又，所以，即，，，四点共面，平面平面，则与平面的交点必定在上，所以与的交点即为与平面的交点，所以，所以.21.设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．（1）若，，且，求，，及；（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．解：（1）根据和可得，