2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第6节 第1课时 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质课标解读考向预测1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.近三年考查了双曲线的定义、标准方程及几何性质，其中对双曲线的定义、标准方程的考查以解答题为主，几何性质主要考查了离心率和渐近线，题型以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍是考查的重点，题型以选择题、填空题为主，难度中档.必备知识——强基础1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的eq\x(\s\up1(01))绝对值等于非零常数(eq\x(\s\up1(02))小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的eq\x(\s\up1(03))焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的eq\x(\s\up1(04))焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点eq\x(\s\up1(05))F1(－c，0)，F2(c，0)eq\x(\s\up1(06))F1(0，－c)，F2(0，c)焦距eq\x(\s\up1(07))|F1F2|＝2c范围eq\x(\s\up1(08))x≤－a或eq\x(\s\up1(09))x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：eq\x(\s\up1(10))坐标轴；对称中心：eq\x(\s\up1(11))原点顶点eq\x(\s\up1(12))A1(－a，0)，A2(a，0)eq\x(\s\up1(13))A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段eq\x(\s\up1(14))A1A2，长：eq\x(\s\up1(15))2a；虚轴：线段B1B2，长：eq\x(\s\up1(16))2b，实半轴长：eq\x(\s\up1(17))a，虚半轴长：eq\x(\s\up1(18))b离心率e＝eq\f(c,a)∈eq\x(\s\up1(19))(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系c2＝eq\x(\s\up1(20))a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数eq\f(ab,c).2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数eq\f(a2b2,c2).3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.4．离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－eq\f(2b2,r1r2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·b2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x答案C解析依题意知，双曲线eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝eq\f(\r(2),2)，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x.(2)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(5) B．5C．eq\r(2) D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4，则动点M的轨迹方程为________________．答案eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)解析因为eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，即动点M的轨迹方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．答案2eq\r(3)解析解法一：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝2eq\r(3).解法二：S△F1PF2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3).【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法建立与|PF1|·|PF2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以F1F2为直径的圆上，若|PF1|·|PF2|＝12，则tan∠POF2＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)答案A解析解法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m>n.由双曲线的定义知，m－n＝4，又mn＝12，故m＝6，n＝2，由于P在以F1F2为直径的圆上，所以PF1⊥PF2，故有tan∠PF1F2＝eq\f(1,3)，从而tan∠POF2＝tan2∠PF1F2＝eq\f(2tan∠PF1F2,1－tan2∠PF1F2)＝eq\f(3,4).故选A.解法二：同解法一，得到m＝6，n＝2，则|F1F2|＝2eq\r(10)，从而得到双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1.设P(x0，y0)(y0>0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),6)＝1，,xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝10，))解得eq\f(y0,x0)＝eq\f(3,4)，即tan∠POF2＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(3,4).故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F1是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦点，A(4，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF1|＋|PA|的最小值为________．答案8＋eq\r(17)解析由题意知，a＝4，b＝3，c＝5.设双曲线的右焦点为F2，由P是双曲线右支上的点，则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，则|PF1|＋|PA|＝8＋|PF2|＋|PA|≥8＋|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立．又A(4，4)，F2(5，0)，则|AF2|＝eq\r(（5－4）2＋（0－4）2)＝eq\r(17).所以|PF1|＋|PA|的最小值为8＋eq\r(17).【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF1|＝2a＋|PF2|或|PF2|＝2a＋|PF1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P在曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是()A．9 B．10C．11 D．12答案B解析在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案eq\f(x2,2)－y2＝1解析解法一：椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq\r(3)，0)．设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,2)－y2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则2a＝||PF1|－|PF2||＝eq\r(（2＋\r(3)）2＋1)－eq\r(（2－\r(3)）2＋1)＝eq\r(8＋4\r(3))－eq\r(8－4\r(3))，即a＝eq\r(2＋\r(3))－eq\r(2－\r(3))，所以a2＝2，则b2＝c2－a2＝1，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4－λ)＋eq\f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入，可得eq\f(4,4－λ)＋eq\f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，eq\r(2))，且渐近线方程是y＝±eq\f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________________．答案y2－eq\f(x2,9)＝1解析设双曲线的方程是y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，eq\r(2))，所以λ＝2－eq\f(9,9)＝1，故双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,9)＝1.5．过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的双曲线的标准方程为________________．答案eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1解析设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的实轴长是()A．1 B．2C．eq\r(5) D．4答案D解析由eq\f(x2,4)－y2＝1，得a2＝4，解得a＝2，所以2a＝4.故双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2eq\r(2)2eq\r(3)解析双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1的虚半轴长b＝eq\r(2)，半焦距c＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，所以该双曲线的虚轴长为2eq\r(2)，焦距为2eq\r(3).【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x2＋ky2－4k＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A．2eq\r(k) B．2kC．2eq\r(－k) D．－2eq\r(k)答案C解析由题意，得k≠0，将4x2＋ky2－4k＝0整理，得eq\f(x2,k)＋eq\f(y2,4)＝1，由题意，得k<0，故焦点在y轴上，b2＝－k，所以b＝eq\r(－k)，所以该双曲线的虚轴长为2eq\r(－k)，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1与eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1有相同的()A．离心率 B．渐近线C．实轴长 D．焦点答案D解析对于双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1，其焦点在x轴上，a1＝eq\r(6)，b1＝eq\r(2)，c1＝2eq\r(2)，离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(2\r(3),3)，渐近线y＝±eq\f(b1,a1)x＝±eq\f(\r(3),3)x，实轴长2a1＝2eq\r(6)，焦点为(±2eq\r(2)，0)；对于双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1，其焦点在x轴上，a2＝eq\r(2)，b2＝eq\r(6)，c2＝2eq\r(2)，离心率e2＝eq\f(c2,a2)＝2，渐近线y＝±eq\f(b2,a2)x＝±eq\r(3)x，实轴长2a2＝2eq\r(2)，焦点为(±2eq\r(2)，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\r(5)x D．y＝±eq\f(\r(5),2)x答案B解析由题意可知，2c＝2eq\r(5)，2a＝2，所以c＝eq\r(5)，a＝1，所以b＝eq\r(c2－a2)＝2，则eq\f(b,a)＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－eq\f(x2,m2)＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案eq\f(\r(3),3)解析双曲线y2－eq\f(x2,m2)＝1(m＞0)的渐近线为y＝±eq\f(x,m)，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝eq\f(|2m|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝eq\f(\r(3),3)或m＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法方法一若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x))方法二双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k＝±eq\f(b,a)与离心率e的关系为k2＝eq\f(b2,a2)＝e2－1提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)答案D解析由e＝eq\r(5)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，解得eq\f(b,a)＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，所以弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).故选D.9．已知双曲线eq\f(x2,m＋1)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0，则m＝________．答案eq\f(1,2)解析由渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，即eq\f(m,m＋1)＝eq\f(1,3)，m＝eq\f(1,2).考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．答案eq\f(3\r(5),5)解析解法一：依题意，设|AF2|＝2m(m>0)，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq\f(|AF1|,|AB|)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),5).解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq\f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq\f(5,3)c，y0＝－eq\f(2,3)t，又eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq\f(8,3)c2－eq\f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq\f(\f(25,9)c2,a2)－eq\f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq\f(25c2,9a2)－eq\f(4t2,9b2)＝1，则eq\f(25c2,9a2)－eq\f(16c2,9b2)＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),5).解法三：由解法二得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)t))，t2＝4c2，所以|AF1|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq\r(\f(64c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq\r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq\f(4\r(5)c,3)，|AF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq\r(\f(4c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq\r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq\f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即eq\f(4\r(5)c,3)－eq\f(2\r(5)c,3)＝2a，即eq\f(\r(5),3)c＝a，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(21),3)))解析由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－a，,y＝－b.))∴P(－a，－b)，Q(a，b)．又A为双曲线的左顶点，则A(－a，0)．∴|AQ|＝eq\r(（a＋a）2＋b2)＝eq\r(4a2＋b2)，|AP|＝eq\r([－a－（－a）]2＋b2)＝b，|AQ|≥2|AP|，即eq\r(4a2＋b2)≥2b，解得4a2≥3(c2－a2)，∴e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(21),3).又e>1，故e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(21),3))).所以该双曲线的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(21),3))).【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e方程(不等式)法列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝4a2，则C的离心率为()A．eq\r(2) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(7)答案D解析由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线的定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝|eq\o(F2A,\s\up6(→))||eq\o(F2B,\s\up6(→))|cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝eq\f(1,2)，即∠AF2B＝eq\f(π,3)，故∠F2BF1＝eq\f(2π,3)，则cos∠F2BF1＝eq\f(|F1B|2＋|F2B|2－|F1F2|2,2|F1B||F2B|)＝eq\f(（4a）2＋（2a）2－（2c）2,2×4a×2a)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20a2－4c2,16a2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20,16)－eq\f(4e2,16)＝－eq\f(1,2)，则e2＝7，又e>1，故e＝eq\r(7).故选D.11．已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又e>1，所以1<e<2.故双曲线C的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)(|PF2|－4)的最小值为()A．－4 B．－3C．－2 D．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，其中|PF2|≥3，将|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)(|PF2|－4)，得|PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2|＝(|PF2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))解析因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).故y0的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(10),3)，双曲线上的点到焦点的最小距离为eq\r(10)－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为()A．1 B．eq\f(\r(6),2)C．2 D．eq\r(6)答案B解析由已知，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3)，c－a＝eq\r(10)－3，解得c＝eq\r(10)，a＝3，故b2＝c2－a2＝1.所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－y2＝1，设P(x，y)是双曲线eq\f(x2,9)－y2＝1上的点，则y2＝eq\f(x2,9)－1，且x≤－3或x≥3，则|AP|＝eq\r(（x－5）2＋y2)＝eq\r(\f(10x2,9)－10x＋24)＝eq\r(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)－x))＋24)＝eq\r(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(3,2))，所以当x＝eq\f(9,2)时，|AP|min＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1答案B解析解法一：由已知2c＝2eq\r(5)，则c＝eq\r(5).又eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，且a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1.则C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.故选B.解法二：由已知2c＝2eq\r(5)，则c＝eq\r(5)，对于C，a2＋b2＝eq\f(25,3)≠5，所以排除C；对于D，a2＋b2＝20≠5，所以排除D；又由点P(2，1)在C的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2eq\r(2)，则C的离心率为()A．3 B．6C．9 D．12答案A解析由题意可知eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，则C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋（2\r(2)）2)＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq\r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq\r(2)，则双曲线C的实轴长为()A．1 B．2C．3 D．6答案B解析由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(3)a，所以cos∠F1PF2＝eq\f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq\f(－2a2,6a2)＝－eq\f(1,3)，sin∠F1PF2＝eq\f(2\r(2),3)，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)·a·3a·eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)a2＝eq\r(2)，所以a＝1，实轴长2a＝2.故选B.4．已知双曲线E：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则下列说法正确的是()A．E的焦点到渐近线的距离为2B．m＝6C．E的实轴长为6D．E的离心率为eq\f(\r(13),2)答案D解析依题意，得eq\f(3,2)＝eq\f(\r(m),2)，解得m＝9，故B不正确；因为b＝eq\r(m)＝3，a＝2，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(13)，所以E的焦点到渐近线的距离为eq\f(3\r(13),\r(32＋22))＝3，故A不正确；因为a＝2，所以E的实轴长为2a＝4，故C不正确；E的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，故D正确．故选D.5．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq\f(\r(2),4)，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y＝eq\f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，与y＝eq\f(b,a)x联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).因为直线PF2与渐近线y＝eq\f(b,a)x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝eq\f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝eq\f(bc,\r(b2＋a2))＝eq\f(bc,c)＝b，所以b＝2.因为F1(－c，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq\f(\r(2),4)，所以eq\f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq\f(\r(2),4)，化简得eq\f(ab,a2＋c2)＝eq\f(\r(2),4)，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以eq\f(2a,2a2＋4)＝eq\f(\r(2),4)，整理得a2－2eq\r(2)a＋2＝0，即(a－eq\r(2))2＝0，解得a＝eq\r(2).所以双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1.故选D.解法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除B，C；若双曲线方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1，则F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，不妨取渐近线y＝eq\f(\r(2),2)x，则直线PF2的方程为y＝－eq\r(2)(x－2eq\r(3))，与渐近线方程y＝eq\f(\r(2),2)x联立，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(2\r(6),3)))，则kPF1＝eq\f(\r(2),5)，又直线PF1的斜率为eq\f(\r(2),4)，所以双曲线方程eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(QF1,\s\up6(→))＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．3答案B解析如图，若P在第一象限，因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(QF1,\s\up6(→))＝0，所以PF1⊥QF1，由图形的对称性，知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,9)－y2＝1，点F1是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d＋|PF1|的最小值为()A．6 B．7C．8 D．9答案B解析过P作PH垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H，则|PH|＝d，连接P与双曲线的另一个焦点F2，如图所示．由双曲线的定义可知，d＋|PF1|＝|PH|＋|PF2|＋2a，又双曲线方程为eq\f(x2,9)－y2＝1，故a＝3，b＝1，c＝eq\r(10)，所以点F2的坐标为(eq\r(10)，0)，双曲线的一条渐近线为y＝eq\f(1,3)x，故点F2到渐近线的距离为eq\f(\f(\r(10),3),\f(\r(10),3))＝1，故|PH|＋|PF2|＋2a≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，则()A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)xC．|PF1|－|PF2|＝2D．双曲线C的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝eq\r(3)，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,16－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝2eq\r(16－9)＝2eq\r(7)，离心率为e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(\r(7),4)，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝2eq\r(16－k)，虚轴长为2b2＝2eq\r(k－9)，焦距为2c2＝2eq\r(16－k＋k－9)＝2eq\r(7)，离心率为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\r(7),\r(16－k)).故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,－m)＝1，则a＝1，b＝eq\r(－m)，又双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1,\r(－m))＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案eq\f(\r(6),2)解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝eq\r(3)|B1O|，即c＝eq\r(3)b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，即C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1，F1，F2是其左、右焦点．圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|＋|PF1|的最小值是________．答案5＋2eq\r(5)解析由题设知，F1(－4，0)，F2(4，0)，E(0，2)，圆E的半径r＝1.由点P为双曲线C右支上的动点，知|PF1|＝|PF2|＋6，∴|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋6，∴(|PQ|＋|PF1|)min＝(|PQ|＋|PF2|)min＋6＝|F2E|－r＋6＝2eq\r(5)－1＋6＝5＋2eq\r(5).14．(2023·T8联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2作渐近线y＝eq\f(b,a)x的垂线，垂足为P，若∠F1PO＝eq\f(π,6)，则双曲线的离心率为________．答案eq\f(\r(21),3)解析设∠POF2＝α，则tanα＝eq\f(b,a)，又F2P垂直于渐近线y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴|PF2|＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，而tanα＝eq\f(|PF2|,|OP|)＝eq\f(b,a)，∴|OP|＝a，∴sinα＝eq\f(b,c)，cosα＝eq\f(a,c)，在△OF1P中，∠F1PO＝eq\f(π,6)，由正弦定理得eq\f(a,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))＝eq\f(c,sin\f(π,6))，∴eq\f(a,\f(b,c)·\f(\r(3),2)－\f(a,c)·\f(1,2))＝2c，∴a＝eq\r(3)b－a，∴2a＝eq\r(3)b，∴a＝eq\f(\r(3),2)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(\r(21),3).四、解答题15．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\r(5)，且过点M(－2，2eq\r(3))．(1)求双曲线C的标准方程；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(eq\r(3)，2eq\r(5))的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，所以b2＝4a2，又因为点M(－2，2eq\r(3))在双曲线C上，所以eq\f(4,a2)－eq\f(12,b2)＝1，联立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)设所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P(eq\r(3)，2eq\r(5))，则3－eq\f(20,4)＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝－2，其标准方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,2)＝1.16．已知双曲线eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x－y＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝0，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(6),3)x.(1)证明：设点P(x，y)为双曲线上任意一点，且点P到渐近线eq\r(6)x＋3y＝0与eq\r(6)x－3y＝0的距离分别为d1，d2，则d1d2＝eq\f(|\r(6)x＋3y|,\r(15))·eq\f(|\r(6)x－3y|,\r(15))＝eq\f(|6x2－9y2|,15)＝eq\f(|2x2－3y2|,5)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x2－3×8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,12)－1)))),5)＝eq\f(24,5).即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(6),3)x，,2x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6＋\r(6),10)，,y＝－\f(1＋\r(6),5).))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(6),3)x，,2x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(6)－6,10)，,y＝\f(－1＋\r(6),5).))所以直线2x－y＋1＝0与两条渐近线的交点分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6＋\r(6),10)，－\f(1＋\r(6),5)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－6,10)，\f(－1＋\r(6),5)))，所以直线2x－y＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－6,10)＋\f(6＋\r(6),10)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(6),5)＋\f(1＋\r(6),5)))\s\up12(2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),10)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),5)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(30),5).17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(3eq\r(2)，4)；③离心率e＝eq\f(5,3)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝8，求|PF2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且c＝eq\r(49－24)＝5.选条件①：设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a＝3，所以b2＝c2－a2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.选条件②：设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由双曲线过点(3eq\r(2)，4)，得eq\f(18,a2)－eq\f(16,b2)＝1，又a2＝25－b2，解得b2＝16，所以a2＝9，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.选条件③：设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由离心率e＝eq\f(5,3)，得eq\f(5,a)＝eq\f(5,3)，解得a＝3，所以b2＝c2－a2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)因为|PF1|＝8，||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝2或|PF2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且AF1⊥AB，则下列结论正确的是()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)xB．若P是双曲线C上的动点，则满足|PF2|＝5的点P有3个C．|AF1|＝2＋eq\r(14)D．△ABF1内切圆的半径为eq\r(14)－2答案ACD解析双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1中，实半轴长a＝2，虚半轴长b＝eq\r(5)，半焦距c＝3，焦点F1(－3，0)，F2(3，0)．对于A，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x，A正确；对于B，设点P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝eq\f(5,4)xeq\o\al(2,0)－5，|PF2|＝eq\r(（x0－3）2＋yeq\o\al(2,0))＝eq\r(\f(9,4)xeq\o\al(2,0)－6x0＋4)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x0－2))＝5，解得x0＝－2或x0＝eq\f(14,3)，当x0＝－2时，P(－2，0)，当x0＝eq\f(14,3)时，y0有两个值，即符合条件的点P有3个，B错误；对于C，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝4，而|F1F2|＝6，且AF1⊥AB，则|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝36，即|AF1|＋|AF2|＝eq\r(2（|AF1|2＋|AF2|2）－（|AF1|－|AF2|）2)＝2eq\r(14)，因此|AF1|＝2＋eq\r(14)，C正确；对于D，由双曲线的定义知|BF1|－|BF2|＝4，因为AF1⊥AB，所以△ABF1内切圆的半径r＝eq\f(|AF1|＋|AB|－|BF1|,2)＝eq\f(|AF1|＋|AF2|＋|BF2|－|BF1|,2)＝eq\f(2\r(14)－4,2)＝eq\r(14)－2，D正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是()A．若a＝3，b＝2，则C的两条渐近线方程是y＝±eq\f(3,2)xB．若点P的坐标为(2，4eq\r(2))，则C的离心率大于3C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2D．若C为等轴双曲线，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)答案BC解析当a＝3，b＝2时，双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)＝±eq\f(2,3)，A错误；因为点P(2，4eq\r(2))在C上，则eq\f(4,a2)－eq\f(32,b2)＝1，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(b2,4)＋8>8，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>3，B正确；因为|PF1|－|PF2|＝2a，若PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，得|PF1|·|PF2|＝2(c2－a2)＝2b2，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2，C正确；若C为等轴双曲线，则a＝b，从而|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)a.若|PF1|＝2|PF2|，则|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16a2＋4a2－8a2,2×4a×2a)＝eq\f(3,4)，D错误．故选BC.20．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点．(1)求|PF1|的最小值；(2)若右支上存在点P满足|PF1|＝4|PF2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)，则|PF1|＝eq\r(（x＋c）2＋y2)＝eq\r(（x＋c）2＋\f(b2,a2)x2－b2)＝eq\r(\f(c2,a2)x2＋2cx＋a2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x＋a))\s\up12(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x＋a))＝eq\f(c,a)x＋a≥eq\f(c,a)·a＋a＝a＋c.当P在右顶点时，|PF1|最小，所以|PF1|的最小值为a＋c.(2)设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2a，,|PF1|＝4|PF2|，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\f(8a,3)，,|PF2|＝\f(2a,3).))由余弦定理，得cosθ＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))\s\up12(2)－（2c）2,2×\f(8a,3)×\f(2a,3))＝eq\f(17a2－9c2,8a2)＝eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2，所以－1≤eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2＜1，解得1<e2≤eq\f(25,9)，又e>1，所以1<e≤eq\f(5,3).第2课时直线与双曲线的位置关系课标解读考向预测1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法.2.会求直线和双曲线相交的弦长.3.能够解决弦中点问题.从近三年高考来看，直线与双曲线的综合问题是高考的热点，题型以解答题为主，难度偏大．预计2025年高考可能会与渐近线、离心率等综合考查，选择题、填空题、解答题都有可能出现.必备知识——强基础1．直线与双曲线的位置关系将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±eq\f(b,a)时，直线与双曲线的渐近线eq\x(\s\up1(01))平行，直线与双曲线eq\x(\s\up1(02))相交于一点．(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点．2．直线与双曲线的相交弦设直线y＝kx＋m交双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（x1－x2）2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1－y2,x1－x2)))\s\up12(2))))＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，同理，可得|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)．这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与双曲线相交一定有两个公共点．()(2)直线y＝x与双曲线eq\f(x2,5)－y2＝1一定不相切．()(3)过双曲线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).()(4)直线y＝x－1被双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1截得的弦长为eq\r(2).()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)直线y＝eq\f(3,2)x＋2与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．无法确定答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋2，,\f(x2,4)－\f(y2,9)＝1，))得eq\f(x2,4)－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋2))\s\up12(2),9)＝1整理，得6x＝－13.所以x＝－eq\f(13,6)，故直线和双曲线只有一个交点，又双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x，所以直线y＝eq\f(3,2)x＋2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点．所以直线与双曲线的位置关系为相交．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册复习参考题3T4改编)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．答案(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，当1－k2＝0时，方程有解，即直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有公共点；当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)<0，解得k<－eq\r(2)或k>eq\r(2).故k的取值范围是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)直线l交双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1于A，B两点，且P(4，1)为AB的中点，则l的斜率为________．答案2解析设点A(x1，y1)，