2025年高考数学一轮复习课时作业-空间向量的运算及其坐标表示【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-空间向量的运算及其坐标表示【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值为()A.-1 B.0 C.1 D.22.(5分)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=()A.9 B.-9 C.-3 D.33.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,则BD1·AD等于(A.1 B.2 C.3 D.64.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则EF的坐标为()A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 6.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=7.(5分)如图所示,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=(用a,b,c表示).

8.(5分)(2023·西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+9.(5分)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=.

10.(10分)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,A11.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE⊥b?(O为原点)【能力提升练】12.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且满足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,则|DE|的最小值是(A.13 B.23 C.3313.(5分)已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是.

14.(10分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;(2)求cos<BA1,(3)求证:A1B⊥C1M.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间向量的运算及其坐标表示【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·CD+(AB+BC)·(AB-AD)+AD·BC=AB·CD+AB·AB+AB·BC-AB·AD=AB·(BC+CD)+AB·(AB-AD)=AB·BD+AB·DB=0.2.(5分)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=()A.9 B.-9 C.-3 D.3【解析】选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以2x-y=73.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,则BD1·AD等于(A.1 B.2 C.3 D.6【解析】选A.由长方体的性质可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,BD1=BA+BC+所以BD1·AD=(BA+BC+BB1)·AD=BA·AD+BC·AD+BB14.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则EF的坐标为()A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)【解析】选B.取AC的中点M,连接ME,MF,图略,ME=12AB=MF=12CD=而EF=MF-ME=(-2,-3,-3).5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 【解析】选C.由题知,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,因为AB1=BB1-BA,BC所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-BA因为AB1=5,BC1=2,所以cos<AB1,BC1>=AB1·BC6.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=【解析】由题干图可得:AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+3BD·=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.答案:37.(5分)如图所示,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=(用a,b,c表示).

【解析】连接OD(图略),OE=OA+AE=a+1=a+12(OD-OA)=12a=12a+12×12(OB+OC)=12a+14答案:12a+14b+8.(5分)(2023·西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+【解析】空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足由于MG=3GN,得AG-AM=3(AN-AG),整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM=3AD+94DC=3AD+94AC-9=34AD+94所以AG=316AD+916故x=16,y=916,z=316,所以x+y+z答案:119.(5分)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=.

【解析】因为PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|PC|=12.答案:1210.(10分)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,A【解析】因为AM=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(AA所以由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA111.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE⊥b?(O为原点)【解析】(2)令AE=tAB(t∈R),所以OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE⊥b,则OE·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95因此存在点E,使得OE⊥b,此时E点的坐标为-6【能力提升练】12.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且满足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,则|DE|的最小值是(A.13 B.23 C.33【解析】选C.因为DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD由空间向量的共面定理可知,点E,A,C,D1四点共面,即点E在平面ACD1上,所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d,由正方体的棱长为1,可得△ACD1是边长为2的等边三角形,则S△ACD1=12×(2)2S△ACD=12×1×1=1由等体积法得VD-AC所以13×32×d=13解得d=33,所以|DE|的最小值为313.(5分)已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是.

【解析】因为OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),又因为OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),则QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-2当λ=43时,QA·QB此时OQ的坐标为43答案:414.(10分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;【解析】(1)如图,以点C作为坐标原点O,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐