2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节 基本不等式-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节基本不等式-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（  ）A.a＜b＜ab＜a＋b2 B.a＜ab＜C.a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜2.若x＜0，则关于x＋1xA.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－23.（2024·江西南昌）若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是（  ）A.x＝y B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝14.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1A.3 B.4C.5 D.65.（2024·河北邢台）已知正数a，b满足3a＋1b＝1，则3a＋A.13 B.16C.9 D.126.已知a，b∈正实数，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为（  ）A.16 B.32C.64 D.1287.（多选）若x≥y，则下列不等式中正确的是（  ）A.2x≥2y B.x＋yC.x2≥y2 D.x2＋y2≥2xy8.（多选）设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是（  ）A.nm＋2nB.mn的最大值为1C.m＋n的最小值为2D.m2＋n2的最小值为29.已知函数f（x）＝3x＋a3x+1（a＞0）的最小值为5，则10.（2024·湖北孝感模拟）1x＋1y（x＋412.（2024·上海模拟）已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2＋b2的最小值为    .13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系式为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为     万元.[B组能力提升练]14.（2024·湖南益阳模拟）《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（  ）A.a＋b2≥ab（a＞0，bB.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b≤ab（a＞0，bD.a＋b2≤a2＋b22（15.已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，yA.2 B.4C.6 D.816.已知棱长为6的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则43a＋1bA.72 B.C.7+4317.（多选）（2024·海南三亚模拟）设x＞0，y＞0，满足x＋y＝1，则下列结论正确的是（  ）A.xy的最大值为1B.4x＋4y的最小值为4C.x＋y的最大值为2D.4x1－x＋18.（2024·山西太原模拟）已知a，b为正实数，a＋b＝3，则1a+1A.23 B.19.（多选）（2024·湖北黄冈模拟）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（  ）A.0＜1ab≤14 B.1a＋C.log2a＋log2b＜2 D.1a220.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为21.若直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为22.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋45000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节基本不等式-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（  ）A.a＜b＜ab＜a＋b2 B.a＜ab＜C.a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜答案：B解析：法一（特值法）：代入a＝1，b＝2，则有0＜a＝1＜ab＝2＜a＋b2＝1.5＜法二（直接法）：已知0＜a＜b和ab＜a＋b2，比较a与因为a2－（ab）2＝a（a－b）＜0，所以a＜ab，同理，由b2－（ab）2＝b（b－a）＞0，得ab＜b.因为b－a＋b2＝b－a2＞0，所以a＋b2＜b.2.若x＜0，则关于x＋1xA.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2答案：D解析：因为x＜0，所以－x＞0，－x＋1－x≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋13.（2024·江西南昌）若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是（  ）A.x＝y B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝1答案：C解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号.故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件.4.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1A.3 B.4C.5 D.6答案：C解析：p＝x＋x＋yx＋y＋x＋yy＝3＋yx＋xy≥3＋2yx·5.（2024·河北邢台）已知正数a，b满足3a＋1b＝1，则3a＋A.13 B.16C.9 D.12答案：B解析：因为正数a，b满足3a＋1b＝所以3a＋b＝3a＋b3a＋1b＝10＋3ba＋3a当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝所以3a＋b的最小值为16.6.已知a，b∈正实数，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为（  ）A.16 B.32C.64 D.128答案：B解析：ab－16＝a＋2b≥22ab，令ab＝t，则t2－22t－16≥0⇒t≥22＋722故ab≥32，即ab最小值为32（当且仅当a＝8，b＝4时取等号）.7.（多选）若x≥y，则下列不等式中正确的是（  ）A.2x≥2y B.x＋yC.x2≥y2 D.x2＋y2≥2xy答案：AD解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当0＞x≥y时，x＋y2≥xy当x=-1，y=-2时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝（x－y）2≥0恒成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确.8.（多选）设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是（  ）A.nm＋2nB.mn的最大值为1C.m＋n的最小值为2D.m2＋n2的最小值为2答案：BD解析：因为m＞0，n＞0，m＋n＝2，所以nm＋2n＝nm＋m＋nn＝nm＋mn＋1≥2nm·mn＋1＝3，当且仅当m＝n＝1时取等号，A错误；mn≤m＋n22＝1，当且仅当m＝n＝1时，mn取得最大值1，B正确；因为（m＋n）2＝m＋n＋2mn＝2＋2mn≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时取等号，故m＋n≤2，即m＋n的最大值为2，C错误；m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝4－2mn≥4－2×m＋n229.已知函数f（x）＝3x＋a3x+1（a＞0）的最小值为5，则答案：9解析：f（x）＝3x＋a3x+1＝3x＋1＋a3x+1－1≥2a－1＝5，当且仅当3x＋1＝a3x+110.（2024·湖北孝感模拟）1x＋1y（x＋4答案：9解析：1x＋1y（x＋4y）＝5＋xy＋4yx≥当且仅当xy＝4yx，即x＝4y所以1x＋1y（x＋411.（2024·四川遂宁模拟）当x＞1时，x＋4x－1答案：5解析：因为x＞1，所以x－1＞0，由基本不等式得x＋4x－1＝（x－1）＋4x－1＋1≥2当且仅当x＝3时，等号成立.因此，x＋4x－12.（2024·上海模拟）已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2＋b2的最小值为    .答案：2解析：由题意得ab＝1，即ab＝1，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系式为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为     万元.答案：8解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x万元.由于x＞0，故yx≤18－225＝8，当且仅当[B组能力提升练]14.（2024·湖南益阳模拟）《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（  ）A.a＋b2≥ab（a＞0，bB.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b≤ab（a＞0，bD.a＋b2≤a2＋b22（答案：D解析：由题图可知OF＝12AB＝a＋b2，在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝a＋b2∵CF≥OF，∴a＋b2≤a2＋b22（a15.已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，yA.2 B.4C.6 D.8答案：B解析：已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则（x＋y）1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝（1＋a）2≥9，所以a≥2或a≤－4（16.已知棱长为6的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则43a＋1bA.72 B.C.7+43答案：C解析：如图，连接CE，DE，设O为底面三角形BCD的中心，连接OA，则正四面体的高OA＝2.因为VA－BCD＝VE－BCD＋VE－ACD，所以a＋b＝2，所以43a＋1b＝1243a＋1b（a＋b）＝1273＋4b3a＋17.（多选）（2024·海南三亚模拟）设x＞0，y＞0，满足x＋y＝1，则下列结论正确的是（  ）A.xy的最大值为1B.4x＋4y的最小值为4C.x＋y的最大值为2D.4x1－x＋答案：BD解析：由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得xy≤x＋y2＝12，当且仅当x＝y＝14x＋4y≥24x×4y＝24x＋y＝4，当且仅当x＝x＋y2＝x＋2xy＋y≤1＋x＋y＝2，即x＋y≤4x1－x＋y1－y＝4xy＋yx≥24x18.（2024·山西太原模拟）已知a，b为正实数，a＋b＝3，则1a+1A.23 B.C.12 答案：A解析：因为a＋b＝3，所以1a+1＋1b+2＝161a+1＋1b+当且仅当b+2a+1＝a+1b+所以1a＋1＋119.（多选）（2024·湖北黄冈模拟）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（  ）A.0＜1ab≤14 B.1a＋C.log2a＋log2b＜2 D.1a2答案：BD解析：因为a＞0，b＞0，所以ab≤a＋b22≤a2＋b则ab≤422＝4或422≤a2＋b则1ab≥14，a2＋b2≥8，1a当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；对于B选项，1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立.20.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为答案：a2＋b2＝1（答案不唯一）解析：该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：1a2＋9b2＝1a2＋9b2（a2＋b2）＝1＋9＋9a2b2＋b2a2≥10＋21.若直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为答案：32＋解析：直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以1a＋1b＝12（a＋2b）1a＋1b＝32＋122ba＋ab≥32＋2ba·22.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋450