2025年高考数学一轮复习-函数与导数【课件】

函数与导数内容索引必考知识常用结论经典重温1.函数的单调性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.PARTONE必考知识如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.(2)单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数零点(1)函数零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使

的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与

有公共点.(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的解.f(x)＝0x轴f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝03.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数).(2)①周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数4.指数函数与对数函数的基本性质(1)过定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过点

，y＝logax(a>0，且a≠1)恒过点

.(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调

；y＝logax在

上单调递增；当0<a<1时，y＝ax在R上单调

；y＝logax在

上单调递减.(0,1)(1,0)(0，＋∞)(0，＋∞)递增递减5.导数的概念及几何意义(1)如果当Δx→0时，平均变化率___无限趋近于一个确定的值，即___有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的

(也称

)，记作

或

，即f′(x0)＝________＝__________________.导数瞬时变化率f′(x0)(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝

.(3)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的

，相应的切线方程为_________________________.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)6.导数的单调性、极值及最值(1)函数的单调性与导数的关系：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，f′(x)>0，f(x)在(a，b)上

；f′(x)<0，f(x)在(a，b)上

；f′(x)＝0，f(x)在(a，b)上是

.单调递增单调递减常数函数(2)函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0(3)函数的最大(小)值①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值.②求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的

；将函数y＝f(x)的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)1.函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.PARTTWO常用结论(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.函数的周期性的重要结论周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|.3.函数的对称性的重要结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.4.函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数).(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).5.函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a>0)的图象.(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的

，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象.6.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)，(2)＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)，(2)＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，(2)(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0)幂函数f(x)＝xnf(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)三角函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx经典重温12345678910A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)PARTTHREE经典重温√12345678910∴1<x<2或2<x≤3，∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3].A.2 B.9C.65 D.513√12345678910f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.123453.(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝x2－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为A.3x－y－4＝0 B.3x－y＋4＝0C.3x＋y＋4＝0 D.3x＋y－4＝0√67891012345678910由f(x)＝x2－xf′(1)，得f′(x)＝2x－f′(1)，所以f′(1)＝2－f′(1)，得f′(1)＝1，所以f(x)＝x2－x，f′(x)＝2x－1，所以f(2)＝22－2＝2，f′(2)＝2×2－1＝3，所以所求切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.A.a<b<c

B.b<a<cC.c<a<b

D.c<b<a√1234567891012345678910由x>0时，xf′(x)－f(x)<0，得g′(x)<0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又log25>log24＝2,1<20.2<2,0<0.22＝0.04<1，可得log25>20.2>0.22，故g(log25)<g(20.2)<g(0.22)，即c<a<b.123456789105.(2024·蕲春第一高级中学模拟)设函数f(x)＝

若f(x1)＝f(x2)(x1<x2)，且2x2－x1的最小值为ln2，则a的值为√12345678910令f(x1)＝f(x2)＝t，由图象可得t∈(－∞，－2a]，因为x1<x2，所以x1－2a＝t，lnx2＝t，即x1＝t＋2a，x2＝et，则2x2－x1＝2et－t－2a，令g(t)＝2et－t－2a，t≤－2a，则g′(t)＝2et－1，令g′(t)＝0，解得t＝－ln2，12345678910g(t)min＝g(－2a)＝2e－2a＝ln2，123456.(2024·烟台模拟)已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1<x<0时，f(x)＝2x，则f(2＋log25)的值为_____.67891012345678910由题设，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，故f(2＋x)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(2＋log25)＝

.123457.(2024·杭州模拟)我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子·本经训》和《山海经·海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以“米”为单位，所得结果的数量级是_____(光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速v＝3×105km/s；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字2.6×103的数量级是3).6789101912345678910根据题意得，太阳距离地球约3500光年，一年有365×24×3600s，光速v＝3×105km/s，光一年走过的路程为365×24×3600×3×105km，3500光年走过的路程为3500×365×24×3600×3×105×1000＝3.31128×1019(m)，所以数量级为19.123456789108.已知直线y＝mx与函数f(x)＝

的图象恰有3个公共点，则实数m的取值范围是_____________.12345678910作出f(x)的图象，如图，当m≤0时，直线y＝mx和函数f(x)的图象只有1个交点；1234567891012345(1)讨论函数f(x)的单调性；67891012345678910函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；12345678910综上，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，12345(2)若不等式f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.67891012345678910由f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，因为g(1)＝0，所以要使g(x)在x∈(0,1]内恒大于等于零，12345678910则g(x)在x∈(0,1]上单调递减，所以g′(x)≤0，所以ax－1－x2≤0，所以a≤2且a≠0，所以实数a的取值范围(－∞，0)∪(0,2].1234510.已知函数f(x)＝ex＋sinx－cosx－ax.(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；678910由题意知，f′(x)＝ex＋cosx＋sinx－a，因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝ex＋cosx＋sinx－a≥0在x