2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业(原卷版）[A组基础保分练]1.已知α∈（0，π），cosα＝－35，则tanαA.34 B.－C.43 D.－2.已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于A.15 B.－C.513 D.－3.sin315°＋sin（－480°）＋cos（－330°）的值为（）A.12 B.－C.－22 D.4.（2024·云南昆明）已知sin3π＋α＝35，且αA.－45 B.－C.35 D.5.已知cosα－sinα＝－12，则sinαcosα的值为A.38 B.±C.34 D.±6.已知函数f（x）＝cosx2，则下列等式成立的是A.f（2π－x）＝f（x） B.f（2π＋x）＝f（x）C.f（－x）＝－f（x） D.f（－x）＝f（x）7.（2024·陕西西安）已知tan3π－α＝12A.1 B.－1C.13 D.－8.（多选）（2024·山东泰安）已知sinα+3cosα3cosA.tanα＝1B.tanα＝2C.cos2α＋12sin2α＝D.sin2α－cos2α＝69.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin（α－π10.已知cos（508°－α）＝1213，则cos（212°＋α）的值为     11.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），则sinθcos（π－θ）＝    12.已知－π2＜φ＜π，cosπ2＋φ为函数f（x）＝x2－65x＋925的零点，则tan[B组能力提升练]13.（2024·甘肃兰州）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2024）的值为（）A.－1 B.1C.3 D.－314.（2024·海南三亚）若α∈0，π，且cosα－sinα＝12，则A.4+75 C.4+73 15.已知曲线f（x）＝23x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则siA.12 C.35 D.－16.“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sinaπ2＋A.12 B.－C.32 D.－17.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sin（π＋α）＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是A.sinβ＝154 B.cos（π＋β）＝C.tanβ＝15 D.tanβ＝1518.（2024·广东广州）若sinα＋cosα＝－15，α∈π2，π，则tan19.（2024·广东汕头）已知sinαcosα＋π6＝3cosαsinα＋π620.已知θ∈0，π2，则4cos21.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，求sin2θ－cos2θ的值2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业(解析版）[A组基础保分练]1.已知α∈（0，π），cosα＝－35，则tanαA.34 B.－C.43 D.－答案：D解析：因为cosα＝－35且α∈（0，π），所以sinα＝1－cos2α＝45，所以2.已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于A.15 B.－C.513 D.－答案：D解析：因为tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512，所以cosα＝－125sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝25169.又3.sin315°＋sin（－480°）＋cos（－330°）的值为（）A.12 B.－C.－22 D.答案：C解析：原式＝sin（360°－45°）＋sin（－360°－120°）＋cos（－360°＋30°）＝－sin45°－sin60°＋cos30°＝－22－32＋324.（2024·云南昆明）已知sin3π＋α＝35，且αA.－45 B.－C.35 D.答案：A解析：因为sin3π＋α＝－sinα＝35，所以sinα＝－35.因为α在第三象限，所以，cosα5.已知cosα－sinα＝－12，则sinαcosα的值为A.38 B.±C.34 D.±答案：A解析：由已知得（cosα－sinα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinαcosα＝14，解得sinαcosα＝36.已知函数f（x）＝cosx2，则下列等式成立的是A.f（2π－x）＝f（x） B.f（2π＋x）＝f（x）C.f（－x）＝－f（x） D.f（－x）＝f（x）答案：D解析：对于A，f（2π－x）＝cos2π－x2＝cosπ－x2＝－cosx2≠f（x），A不成立；对于B，f（2π＋x）＝cos2π＋x2＝cosπ＋x2＝－cosx2≠f（x），B不成立；对于C，f（－x）＝cos－x27.（2024·陕西西安）已知tan3π－α＝12A.1 B.－1C.13 D.－答案：D解析：因为tan3π－α＝tanπ－α＝－tanα＝所以tanα＝－12所以sinπ2＋α－sinπ＋8.（多选）（2024·山东泰安）已知sinα+3cosα3cosA.tanα＝1B.tanα＝2C.cos2α＋12sin2α＝D.sin2α－cos2α＝6答案：BC解析：∵sinα+3cosα3cosα－sinα＝tanα∴cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝1+tanαtan2α+1＝9.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin（α－π答案：－sin2α解析：原式＝sinαcosα·（－sinα）·cosα＝－sin10.已知cos（508°－α）＝1213，则cos（212°＋α）的值为     答案：12解析：因为cos（508°－α）＝cos（360°＋148°－α）＝cos（148°－α）＝1213，所以cos（212°＋α）＝cos（360°＋α－148°）＝cos（α－148°）＝cos（148°－α）＝1211.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），则sinθcos（π－θ）＝    答案：12解析：因为sinθ＋cosθ＝15所以（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125所以sinθcosθ＝－1225所以sinθcos（π－θ）＝－sinθcosθ＝122512.已知－π2＜φ＜π，cosπ2＋φ为函数f（x）＝x2－65x＋925的零点，则tan答案：3解析：因为函数f（x）＝x2－65x＋925＝x－352，所以函数f（x）的零点为x＝35，所以cosπ2＋φ＝－sinφ＝35，即sinφ＝－35＜0.又－π2＜φ＜π，所以－π2＜φ＜0，所以cosφ＝4[B组能力提升练]13.（2024·甘肃兰州）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2024）的值为（）A.－1 B.1C.3 D.－3答案：C解析：∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）＝asinα＋bcosβ＝3，∴f（2024）＝asin（2024π＋α）＋bcos（2024π＋β）＝asinα＋bcosβ＝3.14.（2024·海南三亚）若α∈0，π，且cosα－sinα＝12，则A.4+75 C.4+73 答案：D解析：∵cosα－sinα＝12，∴（cosα－sinα）2＝14，即1－2sinαcosα＝14，∴sinαcosα∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝38，得tanα1+∴tanα＝4－73或tanα∵α∈0，π，且cosα－sinα＝12＞0，∴由三角函数定义知α∴0＜tanα＜1，故tanα＝4－15.已知曲线f（x）＝23x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则siA.12 C.35 D.－答案：C解析：由f'（x）＝2x2，得tanα＝f'（1）＝2，所以sin2α－co16.“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sinaπ2＋A.12 B.－C.32 D.－答案：D解析：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2025，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，所以sinaπ2＋π6＝sin123π2＋π17.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sin（π＋α）＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是A.sinβ＝154 B.cos（π＋β）＝C.tanβ＝15 D.tanβ＝15答案：AC解析：∵sin（π＋α）＝－sinα＝－14∴sinα＝14，cosα＝±15若α＋β＝π2，则β＝π2－对于A，sinβ＝sinπ2－α＝cosα可能成立，角β可能与角α“广义互余”对于B，若B符合，则cos（π＋β）＝－cosπ2－α＝－sinα＝－14，与cos（π＋β）＝对于C，tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±154，故C对于D，tanβ＝155，即sinβ＝155cos又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±64，故D不符合条件18.（2024·广东广州）若sinα＋cosα＝－15，α∈π2，π，则tan答案：－3解析：由题意知，sinα＋cosα＝－15得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1252sinαcosα＝－2425所以（sinα－cosα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝4925又α∈π2所以sinα－cosα＞0，所以sinα－cosα＝75由sinα＋cos所以tanα＝sinαcosα19.（2024·广东汕头）已知sinαcosα＋π6＝3cosαsinα＋π6答案：－3解析：因为sinαcosα＋π6＝3cosαsinα＋π6，所以tanα＝3tanα所以tan2α＋23tanα＋3＝0，即tanα＋32＝0，所以tan20.已知θ∈0，π2，则4cos答案：5＋42解析：1cos2θ＝sin2θcos令sinθcosθ2＝k，则1sin2θ＝1k＋1，1cos4θ＝1cos2θ2＝（∴4cos2θsin4θ＋1cos4θ＝4cos2θsin2θ·1sin2θ＋1cos4θ＝4k1k+1＋k2＋2k＋1＝4k2＋k2＋4k＋2k＋1≥2421.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，求sin2θ－cos2θ的值解：由题图知，每个直角三角形中的长直角边长为cosθ，