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2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.已知α∈(0,π),cosα=-35,则tanαA.34 B.-C.43 D.-2.已知α是第四象限角,tanα=-512,则sinα等于A.15 B.-C.513 D.-3.sin315°+sin(-480°)+cos(-330°)的值为()A.12 B.-C.-22 D.4.(2024·云南昆明)已知sin3π+α=35,且αA.-45 B.-C.35 D.5.已知cosα-sinα=-12,则sinαcosα的值为A.38 B.±C.34 D.±6.已知函数f(x)=cosx2,则下列等式成立的是A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)7.(2024·陕西西安)已知tan3π-α=12A.1 B.-1C.13 D.-8.(多选)(2024·山东泰安)已知sinα+3cosα3cosA.tanα=1B.tanα=2C.cos2α+12sin2α=D.sin2α-cos2α=69.化简cosα-π2sin5π2+α·sin(α-π10.已知cos(508°-α)=1213,则cos(212°+α)的值为 11.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则sinθcos(π-θ)= 12.已知-π2<φ<π,cosπ2+φ为函数f(x)=x2-65x+925的零点,则tan[B组能力提升练]13.(2024·甘肃兰州)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2024)的值为()A.-1 B.1C.3 D.-314.(2024·海南三亚)若α∈0,π,且cosα-sinα=12,则A.4+75 C.4+73 15.已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则siA.12 C.35 D.-16.“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串;重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”,如果把这个数字设为a,则sinaπ2+A.12 B.-C.32 D.-17.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=π2,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-14,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是A.sinβ=154 B.cos(π+β)=C.tanβ=15 D.tanβ=1518.(2024·广东广州)若sinα+cosα=-15,α∈π2,π,则tan19.(2024·广东汕头)已知sinαcosα+π6=3cosαsinα+π620.已知θ∈0,π2,则4cos21.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,求sin2θ-cos2θ的值2025年高考数学一轮复习-第四章-第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.已知α∈(0,π),cosα=-35,则tanαA.34 B.-C.43 D.-答案:D解析:因为cosα=-35且α∈(0,π),所以sinα=1-cos2α=45,所以2.已知α是第四象限角,tanα=-512,则sinα等于A.15 B.-C.513 D.-答案:D解析:因为tanα=-512,所以sinαcosα=-512,所以cosα=-125sinα,代入sin2α+cos2α=1,得sin2α=25169.又3.sin315°+sin(-480°)+cos(-330°)的值为()A.12 B.-C.-22 D.答案:C解析:原式=sin(360°-45°)+sin(-360°-120°)+cos(-360°+30°)=-sin45°-sin60°+cos30°=-22-32+324.(2024·云南昆明)已知sin3π+α=35,且αA.-45 B.-C.35 D.答案:A解析:因为sin3π+α=-sinα=35,所以sinα=-35.因为α在第三象限,所以,cosα5.已知cosα-sinα=-12,则sinαcosα的值为A.38 B.±C.34 D.±答案:A解析:由已知得(cosα-sinα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=14,解得sinαcosα=36.已知函数f(x)=cosx2,则下列等式成立的是A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)答案:D解析:对于A,f(2π-x)=cos2π-x2=cosπ-x2=-cosx2≠f(x),A不成立;对于B,f(2π+x)=cos2π+x2=cosπ+x2=-cosx2≠f(x),B不成立;对于C,f(-x)=cos-x27.(2024·陕西西安)已知tan3π-α=12A.1 B.-1C.13 D.-答案:D解析:因为tan3π-α=tanπ-α=-tanα=所以tanα=-12所以sinπ2+α-sinπ+8.(多选)(2024·山东泰安)已知sinα+3cosα3cosA.tanα=1B.tanα=2C.cos2α+12sin2α=D.sin2α-cos2α=6答案:BC解析:∵sinα+3cosα3cosα-sinα=tanα∴cos2α+12sin2α=cos2α+sinαcosα=cos2α+sinαcosαsin2α+cos2α=1+tanαtan2α+1=9.化简cosα-π2sin5π2+α·sin(α-π答案:-sin2α解析:原式=sinαcosα·(-sinα)·cosα=-sin10.已知cos(508°-α)=1213,则cos(212°+α)的值为 答案:12解析:因为cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=1213,所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=1211.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则sinθcos(π-θ)= 答案:12解析:因为sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125所以sinθcosθ=-1225所以sinθcos(π-θ)=-sinθcosθ=122512.已知-π2<φ<π,cosπ2+φ为函数f(x)=x2-65x+925的零点,则tan答案:3解析:因为函数f(x)=x2-65x+925=x-352,所以函数f(x)的零点为x=35,所以cosπ2+φ=-sinφ=35,即sinφ=-35<0.又-π2<φ<π,所以-π2<φ<0,所以cosφ=4[B组能力提升练]13.(2024·甘肃兰州)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2024)的值为()A.-1 B.1C.3 D.-3答案:C解析:∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,∴f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=asinα+bcosβ=3.14.(2024·海南三亚)若α∈0,π,且cosα-sinα=12,则A.4+75 C.4+73 答案:D解析:∵cosα-sinα=12,∴(cosα-sinα)2=14,即1-2sinαcosα=14,∴sinαcosα∴sinαcosαsin2α+cos2α=38,得tanα1+∴tanα=4-73或tanα∵α∈0,π,且cosα-sinα=12>0,∴由三角函数定义知α∴0<tanα<1,故tanα=4-15.已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则siA.12 C.35 D.-答案:C解析:由f'(x)=2x2,得tanα=f'(1)=2,所以sin2α-co16.“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串;重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”,如果把这个数字设为a,则sinaπ2+A.12 B.-C.32 D.-答案:D解析:根据“数字黑洞”的定义,任取数字2025,经过第一步之后变为314,经过第二步之后变为123,再变为123,再变为123,所以“数字黑洞”为123,即a=123,所以sinaπ2+π6=sin123π2+π17.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=π2,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-14,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是A.sinβ=154 B.cos(π+β)=C.tanβ=15 D.tanβ=15答案:AC解析:∵sin(π+α)=-sinα=-14∴sinα=14,cosα=±15若α+β=π2,则β=π2-对于A,sinβ=sinπ2-α=cosα可能成立,角β可能与角α“广义互余”对于B,若B符合,则cos(π+β)=-cosπ2-α=-sinα=-14,与cos(π+β)=对于C,tanβ=15,即sinβ=15cosβ,又sin2β+cos2β=1,故sinβ=±154,故C对于D,tanβ=155,即sinβ=155cos又sin2β+cos2β=1,故sinβ=±64,故D不符合条件18.(2024·广东广州)若sinα+cosα=-15,α∈π2,π,则tan答案:-3解析:由题意知,sinα+cosα=-15得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1252sinαcosα=-2425所以(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=4925又α∈π2所以sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=75由sinα+cos所以tanα=sinαcosα19.(2024·广东汕头)已知sinαcosα+π6=3cosαsinα+π6答案:-3解析:因为sinαcosα+π6=3cosαsinα+π6,所以tanα=3tanα所以tan2α+23tanα+3=0,即tanα+32=0,所以tan20.已知θ∈0,π2,则4cos答案:5+42解析:1cos2θ=sin2θcos令sinθcosθ2=k,则1sin2θ=1k+1,1cos4θ=1cos2θ2=(∴4cos2θsin4θ+1cos4θ=4cos2θsin2θ·1sin2θ+1cos4θ=4k1k+1+k2+2k+1=4k2+k2+4k+2k+1≥2421.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,求sin2θ-cos2θ的值解:由题图知,每个直角三角形中的长直角边长为cosθ,
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