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2025年高考数学一轮复习-第十章-第一节两个基本计数原理-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种2.(2024·广东汕头)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色,那么在电脑上可配成的颜色种数为()A.2563B.27C.2553D.63.(2024·山西太原)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张,一共可以组成的币值有()A.3种B.6种C.7种D.8种4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有()A.12种B.24种C.72种D.216种5.(多选)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是()A.共有43种不同的安排方法B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种6.如图,a省分别与b,c,d,e四省交界,且b,c,d互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要求相邻省涂不同色,现有5种不同颜色可供选用,则不同的涂色方案种数为()A.480B.600C.720D.8407.(2024·安徽宿州)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为()A.12B.24C.36D.488.(2024·福建南平)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同[B组能力提升练]9.(多选)(2024·山东潍坊)现有4个兴趣小组,第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人,则下列说法正确的是()A.选1人为负责人的选法种数为30B.每组选1名组长的选法种数为3024C.若推选2人发言,这2人需来自不同的小组,则不同的选法种数为335D.若另有3名学生加入这4个小组,可自由选择小组,且第一组必有人选,则不同的选法有35种10.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型,图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色,且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色,已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数是()A.48B.54C.72D.10811.几只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不慎失足下落,已知:(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C;(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F;(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C;(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则这九根树枝从高到低不同的顺序共有()A.23种B.24种C.32种D.33种12.(2024·河北保定)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子,是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具,是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如表所示:用算筹计数法表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,知“=|”表示的三位数为;如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示能被5整除的三位数的个数为.13.(2024·湖南怀化)世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为.14.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时,各位均不进位(例如:134+3802=3936),则称(m,n)为“简单的”有序数对,m+n为有序数对(m,n)的值,那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是.2025年高考数学一轮复习-第十章-第一节两个基本计数原理-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种答案:B解析:赠送1本画册,3本集邮册,需从4人中选取1人赠送画册,其余赠送集邮册,有4种方法.赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人赠送画册,其余2人赠送集邮册,有6种方法.由分类计数原理可知,不同的赠送方法共有4+6=10(种).2.(2024·广东汕头)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色,那么在电脑上可配成的颜色种数为()A.2563B.27C.2553D.6答案:A解析:分3步取色,第一、第二、第三次都有256种取法,根据分步乘法计数原理得,共可配成256×256×256=2563种颜色.3.(2024·山西太原)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张,一共可以组成的币值有()A.3种B.6种C.7种D.8种答案:C解析:由题意得,三种币值取一张,共有3种取法,币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆;三种币值取两张,共有3种取法,币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆;三种币值全取,共有1种取法,币值为捌拾圆.一共可以组成的币值有3+3+1=7(种).4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有()A.12种B.24种C.72种D.216种答案:A解析:先填第一行,有3×2×1=6种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步计数原理可知,共有6×2=12种不同的填法.5.(多选)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是()A.共有43种不同的安排方法B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种答案:ABD解析:对于A,A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每个学生有4种选法,则三个学生有4×4×4=43种选法,故A正确;对于B,三人到4个工厂,有43=64种情况,其中甲工厂没有人去,即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33=27(种),则甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37(种),故B正确;对于C,若同学A必须去甲工厂,剩下2名同学安排到4个工厂即可,有42=16种安排方法,故C错误;对于D,若三名同学所选工厂各不相同,有4×3×2=24种安排方法,故D正确.6.如图,a省分别与b,c,d,e四省交界,且b,c,d互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要求相邻省涂不同色,现有5种不同颜色可供选用,则不同的涂色方案种数为()A.480B.600C.720D.840答案:C解析:依题意,按c与d涂的颜色相同和不同分成两类:若c与d涂同色,先涂d有5种方法,再涂a有4种方法,涂c有1种方法,涂e有3种方法,最后涂b有3种方法,由分步计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3=180(种),若c与d涂不同色,先涂d有5种方法,再涂a有4种方法,涂c有3种方法,涂e,b也各有3种方法,由分步计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3=540(种),所以,由分类计数原理得不同的涂色方案共有180+540=720(种).7.(2024·安徽宿州)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为()A.12B.24C.36D.48答案:C解析:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).8.(2024·福建南平)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为.答案:80解析:某月5日至9日,日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4种用车方案;第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12种用车方案,第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8种用车方案,共计12+8=20种用车方案.根据分步计数原理可知,不同的用车方案种数为4×20=80.[B组能力提升练]9.(多选)(2024·山东潍坊)现有4个兴趣小组,第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人,则下列说法正确的是()A.选1人为负责人的选法种数为30B.每组选1名组长的选法种数为3024C.若推选2人发言,这2人需来自不同的小组,则不同的选法种数为335D.若另有3名学生加入这4个小组,可自由选择小组,且第一组必有人选,则不同的选法有35种答案:ABC解析:对于A,选1人为负责人的选法种数:6+7+8+9=30,故A正确;对于B,每组选1名组长的选法:6×7×8×9=3024,故B正确;对于C,2人需来自不同的小组的选法:6×7+6×8+6×9+7×8+7×9+8×9=335,故C正确;对于D,依题意:若不考虑限制,每个人有4种选择,共有43种选择,若第一组没有人选,每个人有3种选择,共有33种选择,所以不同的选法有:43-33=37,故D错误.10.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型,图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色,且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色,已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数是()A.48B.54C.72D.108答案:C解析:设“赵爽弦图”ABCD为①区,△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形分别为②,③,④,⑤区.第一步给①区涂色,有4种涂色方法.第二步给②区涂色,有3种涂色方法.第三步给③区涂色,有2种涂色方法.第四步给④区涂色,若④区与②区同色,⑤区有2种涂色方法.若④区与②区不同色,则④区有1种涂色方法,⑤区有1种涂色方法.所以共有4×3×2×(2+1×1)=72种涂色方法.11.几只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不慎失足下落,已知:(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C;(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F;(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C;(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则这九根树枝从高到低不同的顺序共有()A.23种B.24种C.32种D.33种答案:D解析:不妨设A,B,C,D,E,F,G,H,I代表树枝的高度,九根树枝从上至下共九个位置,根据甲依次撞击到树枝A,B,C;乙依次撞击到树枝D,E,F;丙依次撞击到树枝G,A,C;丁依次撞击到树枝B,D,H;戊依次撞击到树枝I,C,E,可得G>A>B,且G,A,B在前四个位置,C>E>F,D>E>F,且E,F一定排在后四个位置,(1)若I排在前四个位置中的一个位置,前四个位置有4种排法,若第五个位置排C,则第六个位置一定排D,后三个位置共有3种排法,若第五个位置排D,则后四个位置共有4种排法,所以I排在前四个位置中的一个位置时,共有4×(3+4)=28种排法;(2)若I不排在前四个位置中的一个位置,则G,A,B,D按顺序排在前四个位置,由于I>C>E>F,所以后五个位置的排法就是H的不同排法,共5种排法,即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法,由分类计数原理可得,这九根树枝从高到低不同的顺序有28+5=33(种).12.(2024·河北保定)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子,是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具,是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如表所示:用算筹计数法表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,知“=|”表示的三位数为;如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示能被5整除的三位数的个数为.答案:62114解析:由题意,结合表格中的数据和图形,知“=|”表示的三位数为621;共有5根算筹,要能被5整除,则个位数必须为0或5,①当个位数为5时,不符合题意;②当个位数为0时,则5根算筹全部放在十位和百位,若百位有1根,十位有
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