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2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节导数在研究函数中的应用-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.(2024·北京)设定义在R上的函数y=f(x),其导函数为f'(x),则“函数f(x)在a,b上单调递增”是“x∈a,b时,导函数f'(x)>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)=xlnx+1的单调递减区间是( )A.-∞,1e C.0,1e D.(e,3.已知函数f(x)=x2+2cosx.若f'(x)是f(x)的导函数,则函数f'(x)的图象大致是( )4.(2024·天津)函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( )A.0,1aC.-∞,1a D.(-∞,5.已知函数f(x)=sinx+acosx在区间π4,π2上是减函数,则实数A.a>2-1 B.a≥1C.a>1-2 D.a≥-16.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间,则实数aA.[-2,+∞) B.-C.-2,−18 D.(-27.(多选)(2024·河北衡水质检)下列不等式成立的是( )A.2ln32<32ln2 B.2ln3<3C.5ln4<4ln5 D.π>elnπ8.(多选)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )A.-3 B.-1C.0 D.29.已知函数fx=-4lnx+12x2+5,则函数fx的单调递减区间是 10.设函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 11.已知函数f(x)=lnx-2a2x2+3ax-1(a≥0).讨论函数f(x)的单调性.12.已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围[B组能力提升练]13.下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得fx1-fxA.f(x)=-x2-2x+1B.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=log2(2x)+114.已知函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m>0)的单调递减区间是(0,4),则m=( )A.3 B.1C.2 D.115.已知函数f(x)=sinx+cosx-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>b B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a16.(多选)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数不具有M性质的为( )A.f(x)=1x B.f(x)=x2+C.f(x)=sinx D.f(x)=x17.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,f(x)的导数f'(x)<12,则不等式f(x2)<x22+118.(2024·贵州贵阳)已知函数fx=lnx-12ax2-x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 19.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex,x∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数a的取值范围.20.已知函数f(x)=(ax-1)ex,a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间;(2)当m>n>0时,证明:men+n<nem+m.2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节导数在研究函数中的应用-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.(2024·北京)设定义在R上的函数y=f(x),其导函数为f'(x),则“函数f(x)在a,b上单调递增”是“x∈a,b时,导函数f'(x)>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:函数f(x)在a,b上单调递增,f'(x)≥如y=x3,x∈-2,2时y'=3x2x∈a,b时,导函数f'(x)>0,可得函数f(x)在x∈则“函数f(x)在a,b上单调递增”是“x∈a,b时,导函数f'(x)>2.函数f(x)=xlnx+1的单调递减区间是( )A.-∞,1e C.0,1e D.(e,答案:C解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+lnx,令f'(x)<0,得0<x<1e,所以f(x)的单调递减区间为03.已知函数f(x)=x2+2cosx.若f'(x)是f(x)的导函数,则函数f'(x)的图象大致是( )答案:A解析:设g(x)=f'(x)=2x-2sinx,g'(x)=2-2cosx≥0,所以函数f'(x)在R上单调递增.4.(2024·天津)函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( )A.0,1aC.-∞,1a D.(-∞,答案:A解析:由f'(x)=1x-a>0,x>0,得0<x<1∴f(x)的单调递增区间为0,5.已知函数f(x)=sinx+acosx在区间π4,π2上是减函数,则实数A.a>2-1 B.a≥1C.a>1-2 D.a≥-1答案:B解析:由题意,f'(x)=cosx-asinx≤0在π4即a≥cosxsinx=1tan因为y=tanx在π4,π2上单调递增,所以y=tan所以在x∈π4,π2时,0<所以a≥1.6.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间12,2内存在单调递增区间,则实数aA.[-2,+∞) B.-C.-2,−18 D.(-2答案:D解析:∵f(x)=lnx+ax2-2,∴f'(x)=1x+2ax若f(x)在区间12,2内存在单调递增区间,则f'(x)>0,x故a>-12令g(x)=-12x2,则g(x)=-1∴g(x)>g12=-2故a>-2.7.(多选)(2024·河北衡水质检)下列不等式成立的是( )A.2ln32<32ln2 B.2ln3<3C.5ln4<4ln5 D.π>elnπ答案:AD解析:设f(x)=lnxx(x>0),则f'(x)=∴当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.∵32<2<e,∴f32<f(2即2ln32<32ln2,∵2<3<e,∴f(2)<f(3),即2ln3>3ln2,B不正确;∵e<4<5,∴f(4)>f(5),即5ln4>4ln5,C不正确;∵e<π,∴f(e)>f(π),即π>elnπ,D正确.8.(多选)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )A.-3 B.-1C.0 D.2答案:BD解析:依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故a解得a>-3且a≠0.9.已知函数fx=-4lnx+12x2+5,则函数fx的单调递减区间是 答案:0解析:函数定义域为0,+∞由于函数fx=-4lnx+12x2+5f'x=-4x+x=x由f'x<0得0<x<2,所以函数fx的单调递减区间是0,10.设函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 答案:(1,2]解析:∵f(x)=12x2-9lnx,∴f'(x)=x-9x(x>0),当x-9x≤0时,有0<x≤3,即f(x)在(0,3]上单调递减,则[a-1,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0且a+1≤3,解得1<11.已知函数f(x)=lnx-2a2x2+3ax-1(a≥0).讨论函数f(x)的单调性.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(4若a=0,则f'(x)=1x>0,f(x)在(0,+∞)若a>0,令f'(x)=0,解得x1=1a>0,x2=-14a<0(①当0<x<1a时,f'(x)>0,函数f(x)在0②当x>1a时,f'(x)<0,函数f(x)在1a12.已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围解:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f'(x)=2x-2x=2由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意得g'(x)=2x+ax-2①若g(x)为[1,+∞)上的单调递增函数,则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥2x-2x2在[1,+∞)上恒成立设φ(x)=2x-2x2,x∈[1,+∞)易知φ(x)在[1,+∞)上单调递减,∴在[1,+∞)上,φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.②若g(x)为[1,+∞)上的单调递减函数,则g'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,易知其不可能成立,不符合题意.综上,实数a的取值范围是[0,+∞).[B组能力提升练]13.下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得fx1-fxA.f(x)=-x2-2x+1B.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=log2(2x)+1答案:A解析:根据题意,“对任意的x1,x2∈(0,+∞),使得fx1-fx2x1-x2<0”,则函数f(对于选项A,f(x)=-x2-2x+1,为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意;对于选项B,f(x)=x-1x,其导数f'(x)=1+1x2,所以f(x)在(0,+对于选项C,f(x)=x+1为一次函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;对于选项D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.14.已知函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m>0)的单调递减区间是(0,4),则m=( )A.3 B.1C.2 D.1答案:B解析:函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m>0),则导数f'(x)=3mx2+6(m-1)x.令f'(x)<0,即3mx2+6(m-1)x<0.∵m>0,f(x)的单调递减区间是(0,4),∴0,4是方程3mx2+6(m-1)x=0的两根,∴0+4=2(1-m)m,0×4=015.已知函数f(x)=sinx+cosx-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>b B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a答案:A解析:f(x)的定义域为R,f'(x)=cosx-sinx-2=2cosx+π4-2∴f(x)在R上单调递减.又2e>1,0<ln2<1,∴-π<ln2<2e,故f(-π)>f(ln2)>f(2e),即a>c>b.16.(多选)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数不具有M性质的为( )A.f(x)=1x B.f(x)=x2+C.f(x)=sinx D.f(x)=x答案:ACD解析:对于A,f(x)=1x,则g(x)=exx,g'(x)=ex(x-1)x2,当x<1且x≠0时,g'(x)<0∴g(x)在(-∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;对于B,f(x)=x2+1,则g(x)=exf(x)=ex(x2+1),g'(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)2>0在实数集R上恒成立,∴g(x)=exf(x)在定义域R上是增函数;对于C,f(x)=sinx,则g(x)=exsinx,g'(x)=ex(sinx+cosx)=2exsinx+π4,显然g(对于D,f(x)=x,则g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex.当x<-1时,g'(x)<0,所以g(x)在R上先减后增;∴具有M性质的函数的选项为B,不具有M性质的函数的选项为A,C,D.17.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,f(x)的导数f'(x)<12,则不等式f(x2)<x22+1答案:{x|x<-1,或x>1}解析:设F(x)=f(x)-12x,∴F'(x)=f'(x)-1∵f'(x)<12,∴F'(x)=f'(x)-12<即函数F(x)在R上单调递减.∵f(x2)<x22+12,∴f(x2)-x22<f∴F(x2)<F(1),又函数F(x)在R上单调递减,∴x2>1,即不等式的解集为{x|x<-1,或x>1}.18.(2024·贵州贵阳)已知函数fx=lnx-12ax2-x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 答案:-解析:函数fx=lnx-12ax2-x的定义域为0,+∞,求导得f'x=1x-ax依题意,不等式f'x<0在0,+∞上有解,等价于a>1x2-1而1x2-1x=1x-122-14≥-1所以实数a的取值范围是-119.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex,x∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f'(x)=-(x2-2)ex,令f'(x)>0,即x2-2<0,解得-2<x<2,∴f(x)的单调递增区间是(-2,2).(2)f'
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