2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节　导数在研究函数中的应用-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节导数在研究函数中的应用-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（2024·北京）设定义在R上的函数y＝f（x），其导函数为f'（x），则“函数f（x）在a，b上单调递增”是“x∈a，b时，导函数f'（x）＞A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f（x）＝xlnx＋1的单调递减区间是（  ）A.－∞，1e C.0，1e D.（e，3.已知函数f（x）＝x2＋2cosx.若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（  ）4.（2024·天津）函数f（x）＝lnx－ax（a＞0）的单调递增区间为（  ）A.0，1aC.－∞，1a D.（－∞，5.已知函数f（x）＝sinx＋acosx在区间π4，π2上是减函数，则实数A.a＞2－1 B.a≥1C.a＞1－2 D.a≥－16.若函数f（x）＝lnx＋ax2－2在区间12，2内存在单调递增区间，则实数aA.[－2，＋∞） B.－C.－2,−18 D.（－27.（多选）（2024·河北衡水质检）下列不等式成立的是（  ）A.2ln32＜32ln2 B.2ln3＜3C.5ln4＜4ln5 D.π＞elnπ8.（多选）若函数f（x）＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（  ）A.－3 B.－1C.0 D.29.已知函数fx＝－4lnx＋12x2＋5，则函数fx的单调递减区间是    10.设函数f（x）＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是    11.已知函数f（x）＝lnx－2a2x2＋3ax－1（a≥0）.讨论函数f（x）的单调性.12.已知函数f（x）＝x2＋alnx.（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）＝f（x）＋2x在[1，＋∞）上单调，求实数a的取值范围[B组能力提升练]13.下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈（0，＋∞），使得fx1－fxA.f（x）＝－x2－2x＋1B.f（x）＝x－1C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝log2（2x）＋114.已知函数f（x）＝mx3＋3（m－1）x2－m2＋1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m＝（  ）A.3 B.1C.2 D.115.已知函数f（x）＝sinx＋cosx－2x，a＝f（－π），b＝f（2e），c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系是（  ）A.a＞c＞b B.a＞b＞cC.b＞a＞c D.c＞b＞a16.（多选）若函数g（x）＝exf（x）（e＝2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数不具有M性质的为（  ）A.f（x）＝1x B.f（x）＝x2＋C.f（x）＝sinx D.f（x）＝x17.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，f（x）的导数f'（x）＜12，则不等式f（x2）＜x22＋118.（2024·贵州贵阳）已知函数fx＝lnx－12ax2－x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是     19.已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex，x∈R.（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在（－1，1）上单调递增，求实数a的取值范围.20.已知函数f（x）＝（ax－1）ex，a∈R.（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当m＞n＞0时，证明：men＋n＜nem＋m.2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节导数在研究函数中的应用-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（2024·北京）设定义在R上的函数y＝f（x），其导函数为f'（x），则“函数f（x）在a，b上单调递增”是“x∈a，b时，导函数f'（x）＞A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：函数f（x）在a，b上单调递增，f'（x）≥如y＝x3，x∈－2，2时y'＝3x2x∈a，b时，导函数f'（x）＞0，可得函数f（x）在x∈则“函数f（x）在a，b上单调递增”是“x∈a，b时，导函数f'（x）＞2.函数f（x）＝xlnx＋1的单调递减区间是（  ）A.－∞，1e C.0，1e D.（e，答案：C解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1＋lnx，令f'（x）＜0，得0＜x＜1e，所以f（x）的单调递减区间为03.已知函数f（x）＝x2＋2cosx.若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（  ）答案：A解析：设g（x）＝f'（x）＝2x－2sinx，g'（x）＝2－2cosx≥0，所以函数f'（x）在R上单调递增.4.（2024·天津）函数f（x）＝lnx－ax（a＞0）的单调递增区间为（  ）A.0，1aC.－∞，1a D.（－∞，答案：A解析：由f'（x）＝1x－a＞0，x＞0，得0＜x＜1∴f（x）的单调递增区间为0，5.已知函数f（x）＝sinx＋acosx在区间π4，π2上是减函数，则实数A.a＞2－1 B.a≥1C.a＞1－2 D.a≥－1答案：B解析：由题意，f'（x）＝cosx－asinx≤0在π4即a≥cosxsinx＝1tan因为y＝tanx在π4，π2上单调递增，所以y＝tan所以在x∈π4，π2时，0＜所以a≥1.6.若函数f（x）＝lnx＋ax2－2在区间12，2内存在单调递增区间，则实数aA.[－2，＋∞） B.－C.－2,−18 D.（－2答案：D解析：∵f（x）＝lnx＋ax2－2，∴f'（x）＝1x＋2ax若f（x）在区间12，2内存在单调递增区间，则f'（x）＞0，x故a＞－12令g（x）＝－12x2，则g（x）＝－1∴g（x）＞g12＝－2故a＞－2.7.（多选）（2024·河北衡水质检）下列不等式成立的是（  ）A.2ln32＜32ln2 B.2ln3＜3C.5ln4＜4ln5 D.π＞elnπ答案：AD解析：设f（x）＝lnxx（x＞0），则f'（x）＝∴当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减.∵32＜2＜e，∴f32＜f（2即2ln32＜32ln2，∵2＜3＜e，∴f（2）＜f（3），即2ln3＞3ln2，B不正确；∵e＜4＜5，∴f（4）＞f（5），即5ln4＞4ln5，C不正确；∵e＜π，∴f（e）＞f（π），即π＞elnπ，D正确.8.（多选）若函数f（x）＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（  ）A.－3 B.－1C.0 D.2答案：BD解析：依题意知，f'（x）＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故a解得a＞－3且a≠0.9.已知函数fx＝－4lnx＋12x2＋5，则函数fx的单调递减区间是    答案：0解析：函数定义域为0，＋∞由于函数fx＝－4lnx＋12x2＋5f'x＝－4x＋x＝x由f'x＜0得0＜x＜2，所以函数fx的单调递减区间是0，10.设函数f（x）＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是    答案：（1，2]解析：∵f（x）＝12x2－9lnx，∴f'（x）＝x－9x（x＞0），当x－9x≤0时，有0＜x≤3，即f（x）在（0，3]上单调递减，则[a－1，a＋1]⊆（0，3]，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜11.已知函数f（x）＝lnx－2a2x2＋3ax－1（a≥0）.讨论函数f（x）的单调性.解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝（4若a＝0，则f'（x）＝1x＞0，f（x）在（0，＋∞）若a＞0，令f'（x）＝0，解得x1＝1a＞0，x2＝－14a＜0（①当0＜x＜1a时，f'（x）＞0，函数f（x）在0②当x＞1a时，f'（x）＜0，函数f（x）在1a12.已知函数f（x）＝x2＋alnx.（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）＝f（x）＋2x在[1，＋∞）上单调，求实数a的取值范围解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），当a＝－2时，f'（x）＝2x－2x＝2由f'（x）＜0得0＜x＜1，故f（x）的单调递减区间是（0，1）.（2）由题意得g'（x）＝2x＋ax－2①若g（x）为[1，＋∞）上的单调递增函数，则g'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞）上恒成立设φ（x）＝2x－2x2，x∈[1，＋∞）易知φ（x）在[1，＋∞）上单调递减，∴在[1，＋∞）上，φ（x）max＝φ（1）＝0，∴a≥0.②若g（x）为[1，＋∞）上的单调递减函数，则g'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，易知其不可能成立，不符合题意.综上，实数a的取值范围是[0，＋∞）.[B组能力提升练]13.下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈（0，＋∞），使得fx1－fxA.f（x）＝－x2－2x＋1B.f（x）＝x－1C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝log2（2x）＋1答案：A解析：根据题意，“对任意的x1，x2∈（0，＋∞），使得fx1－fx2x1－x2＜0”，则函数f（对于选项A，f（x）＝－x2－2x＋1，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在（0，＋∞）上单调递减，符合题意；对于选项B，f（x）＝x－1x，其导数f'（x）＝1＋1x2，所以f（x）在（0，＋对于选项C，f（x）＝x＋1为一次函数，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意；对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，f（x）＝log2（2x）＋1在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意.14.已知函数f（x）＝mx3＋3（m－1）x2－m2＋1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m＝（  ）A.3 B.1C.2 D.1答案：B解析：函数f（x）＝mx3＋3（m－1）x2－m2＋1（m＞0），则导数f'（x）＝3mx2＋6（m－1）x.令f'（x）＜0，即3mx2＋6（m－1）x＜0.∵m＞0，f（x）的单调递减区间是（0，4），∴0，4是方程3mx2＋6（m－1）x＝0的两根，∴0＋4＝2（1－m）m，0×4＝015.已知函数f（x）＝sinx＋cosx－2x，a＝f（－π），b＝f（2e），c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系是（  ）A.a＞c＞b B.a＞b＞cC.b＞a＞c D.c＞b＞a答案：A解析：f（x）的定义域为R，f'（x）＝cosx－sinx－2＝2cosx＋π4－2∴f（x）在R上单调递减.又2e＞1，0＜ln2＜1，∴－π＜ln2＜2e，故f（－π）＞f（ln2）＞f（2e），即a＞c＞b.16.（多选）若函数g（x）＝exf（x）（e＝2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数不具有M性质的为（  ）A.f（x）＝1x B.f（x）＝x2＋C.f（x）＝sinx D.f（x）＝x答案：ACD解析：对于A，f（x）＝1x，则g（x）＝exx，g'（x）＝ex（x－1）x2，当x＜1且x≠0时，g'（x）＜0∴g（x）在（－∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增；对于B，f（x）＝x2＋1，则g（x）＝exf（x）＝ex（x2＋1），g'（x）＝ex（x2＋1）＋2xex＝ex（x＋1）2＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）＝exf（x）在定义域R上是增函数；对于C，f（x）＝sinx，则g（x）＝exsinx，g'（x）＝ex（sinx＋cosx）＝2exsinx＋π4，显然g（对于D，f（x）＝x，则g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x＜－1时，g'（x）＜0，所以g（x）在R上先减后增；∴具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.17.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，f（x）的导数f'（x）＜12，则不等式f（x2）＜x22＋1答案：{x｜x＜－1，或x＞1}解析：设F（x）＝f（x）－12x，∴F'（x）＝f'（x）－1∵f'（x）＜12，∴F'（x）＝f'（x）－12＜即函数F（x）在R上单调递减.∵f（x2）＜x22＋12，∴f（x2）－x22＜f∴F（x2）＜F（1），又函数F（x）在R上单调递减，∴x2＞1，即不等式的解集为{x｜x＜－1，或x＞1}.18.（2024·贵州贵阳）已知函数fx＝lnx－12ax2－x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是     答案：－解析：函数fx＝lnx－12ax2－x的定义域为0，＋∞，求导得f'x＝1x－ax依题意，不等式f'x＜0在0，＋∞上有解，等价于a＞1x2－1而1x2－1x＝1x－122－14≥－1所以实数a的取值范围是－119.已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex，x∈R.（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在（－1，1）上单调递增，求实数a的取值范围.解：（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，f'（x）＝－（x2－2）ex，令f'（x）＞0，即x2－2＜0，解得－2＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间是（－2，2）.（2）f'