数学（人教版）-河南省青桐鸣新未来2023-2024学年下学期高一年级7月期末考试试题和答案

数学(人教版)全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满则z的共轭复数z=()A.1—iB.1+iC.2+i2.已知向量a=(2,x²),若aLb,则实数x=()A.—2B.2C.—13.从22,33,44,55这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为()AA4.已知m,n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题错误的是()A.若m//a,n//a,则m,n可能平行、异面或者相交B.若m//a,m⊥n,则n与α可能平行、相交或者nCa5.已知向量a=(√2cosα,√2sinα),b=(2sinβ,2cosβ),|2a-b|=4,则b在a上的投影向量为6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B-A₁DC₁的体积为72,则正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为()A.3B.4C.67.经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间(单位：小时)统计如下：甲群体总人数为40,该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2;乙群体总人数为20,该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1,若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为()数学试题(人教版)第1页(共4页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB//CD,AB=2CD=4,AD⊥AB,AD=2√2,用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D',其中∠x'A'y'=45°,则下列说法正确的是()C.四边形A'B'℃'D'为等腰梯形D.四边形A'B'℃'D'的周长为6+4√210.设A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且;,A与C互斥，则下列说法正确的是()AAB.若事件A,B相互独立，则个表面积为6π的球，设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,则下列说法正确的是()A.R的最小值为1D.当R取得最小值时，球B与侧面ACD的交线长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z为复数z的共轭复数，且满足z十z=2,则复数z的实部为13.在某次考试中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间(单位：分钟)分别为11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18,则该组数据的上四分位数为14.已知等边三角形ABC的边长为2,点M,N分别为边BC,AC上不与端点重合的动点，且 ,则AM·MN的最大值为 数学试题(人教版)第2页(共4页)四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)求a的值；(2)估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；(3)若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.16.(15分)已知复数z1=a—2+(3—a)i,z2=2+ai,i为虚数单位，a∈R.(1)若z₁在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围；(2)若z₁+z2是方程x²—2x+b=0(b∈R)的根，求|z2|.17.(15分)2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明、小王、小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.数学试题(人教版)第3页(共4页)已知小明正确解出这道题的概率,小明、小红两名同学都解答错误的概率是,小王、小红两名同学都正确解出的概率是设小明、小王、小红正确解出该道题分别为事件A,B,C,A,B,C三个事件两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C).(1)求三名同学都正确解出这道题的概率；(2)求小王正确解出这道题的概率.18.(17分)如图，PO为三棱锥P-ABC的高，且点O在△ABC的内部.点D为AP的中点，且AD=AO=2,直线OD//平面PBC.(1)求直线AP与平面ABC所成角的大小.(2)若直线AP分别与直线BP,CP所成的角相等，且BO=CO=PO.①求二面角P-BC-A的大小；②求三棱锥P-ABC的体积.19.(17分)三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知整边三角形ABC的内角A,B,C所对的(2)若C=2A,当a取最小值时，求整边三角形ABC的面积.数学试题(人教版)第4页(共4页)2023—2024学年下学期高一年级期末考试数学(人教版)参考答案3.B【解析】从22,33,44,55这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有(33,55),(44,55),共6种，其中满足两个数的和大于87的结果有(33,55),(44,55),共2种，所以任取两个数的和大于87的概率P=若m//a,m⊥n,则n与α可能平行、相交或者nCa,故B正确；若m⊥a,m⊥n,则n与α可能平行，也可能若m_α,nCa,由线面垂直的性质定理可知m⊥n,故D正确.故选C.所以a·b=—1,所以b在a上的投影向量中.故选D.棱长为a,易知三棱锥B-A₁DC₁为正四面得a=6,故正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6.故选C.7.B【解析】丙样本每天使用电脑时间的平均数为故丙样本每天使用电脑时间的方差为故选B.,当且仅当a=c时取等号，3,即.故选C.9.BC【解析】由题意可画出其直观图如下，其中A'B'//C'D',A'B′=AB=4,C'D′=过点D',C′分别作D'M⊥A'B',C'N⊥A'B',垂足分别为点M,N,NB′=A'B′-C'D′—A'M=1,故B'C′=故四边形A'B'C'D'的周长为4+2+2√2=6+2√2,即D错误.故选BC.,所以A选项错误；对于B选项，因为事件A,B相互独立，所项正确；对于C选项，因为事件A与C互斥，故P(AC)=0,所以C选项错误；,所以D选项正确.故选BD.0,则BD=2cosθ,AB=2sin0,由中△BCD中，由余弦定理得CD²=BC²+.设△BCD的外接圆半时，R取得最小值1,EF=1,则点F在侧面ACD上的轨迹长即为球B与侧面ACD的交线长.取Rt△ACD研究，∠CEF₁=45°;当F₂在AD上时，在△ACD中，由正弦定理得∠F₁EF₂=30°,所以点F在侧面ACD上的运动轨迹是半径为1,圆心角为30°的圆小值时，球B与侧面ACD的交线长为·故C正确，D错误.故选AC.;;12.1【解析】设z=a+bi,a,b∈R,i为虚数z的实部为1.13.15.5【解析】因为12×75%=9,所以这组数据的上四分位数是(BA-BM)·(CB+BM-CN)=tBC)·(CB+tBC—tCA)=(Bt(1-t)BC²-tCB·CA=-(cos60°—t·44·cos60°=—2(1—t)—2t+4t(1—15.解：(1)由题意知，0.16+10a+0.30+0.20+0.10=1,解得a=0.024.(4分)(2)由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为5×0.16+15×0.24+25×0.30+35×0.20+45×023.4(分钟).(8分)(3)由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为2000×(0.20+0.10)=600(人).(13分)16.解：(1)因为z1在复平面内对应的点位于第一象限，所以(4分)解得a∈(2,3).(6分)(2)由题意可得z1十z2=a+3i,(7分)故(a+3i)²-2(a+3i)+b=0,所以解得a=1.(13分)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=所以三名同学都正确解出这道题的概率为(6分)(2)因为(8分)(10分)所以(11分)(12分)(14分)所以小王正确解出这道题的概率为(15分)的高，18.解：(1)因为PO为三棱锥P-ABC(15分)的高，又AOC平面ABC,故PO⊥AO.因为点D为AP的中点，又PO⊥底面ABC,则∠DAO即为直线AP与平面ABC所成的角，故AP与平面ABC所成角的大小为(5分)(2)①如图，延长AO交BC于点E,连接PE.直线PE为过直线DO的平面APE与平面PBC的交线，又OD//平面PBC,故OD//PE.(5分)(6分)则AO=AD=OE=OD=2,BO=PO=又PO⊥平面ABC,BO,COC平面ABC,故PO⊥BO,PO⊥CO,故PB=PC.(8分)因为直线AP与直线BP,CP所成的角相等，故△BPA≌△CPA,故AB=AC.(10又AB=AC,