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2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.(多选)(2024·四川内江)下列说法中正确的有()A.正四面体是正三棱锥B.棱锥的侧面是全等的三角形C.正三棱锥是正四面体D.延长棱台所有侧棱,它们会交于一点2.已知圆锥的表面积为3π,其侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为()A.1B.2C.3D.43.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为()A.6πB.43πC.46πD.63π4.(2024·四川泸州)已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形,那么△ABC的面积为()A.62B.C.32D.5.如图是一个实心金属几何体的直观图,它的中间部分是高l为6124的圆柱,上、下两端均是半径r为2的半球.A.3B.4C.5D.66.(2024·山东威海)如图,圆柱的底面半径为1,平面ABCD为圆柱的轴截面,从A点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点,若绳子的最短长度为3π,则该圆柱的侧面积为()A.42π2B.22π2C.52π2D.4π27.在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕ADA.4πB.(4+2)πC.6πD.(5+2)π8.(多选)(2024·山东潍坊)已知等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1+2)πC.22πD.(2+2)π9.(2024·上海)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,侧面积为8π,则该圆锥的体积等于.10.(2024·上海)长、宽、高分别为5,4,3的长方体的外接球的表面积是.11.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为.12.(2024·福建福州)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,F是线段A1B1上的动点,则AF+FC1的最小值为.[B组能力提升练]13.(多选)(2023·黑龙江哈尔滨)下列说法中不正确的是()A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台C.任意两条直线都可以确定一个平面D.空间中三条直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面14.(2024·浙江绍兴)已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为()A.6πB.8πC.16πD.20π15.(多选)“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现,被刻在他的墓碑上,当圆柱容球时,圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球,体积为V球;圆柱的表面积为S圆柱,体积为V圆柱,则()A.S圆柱∶S球=3∶2B.V圆柱∶V球=3∶2C.S圆柱∶V圆柱=3∶2D.S球∶V球=3∶216.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=2π3.若△PAB的面积等于A.πB.6πC.3πD.36π17.(多选)(2024·山东济南)已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为3,A,B为底面圆周上两个动点(A与B不重合),则下列说法正确的是()A.圆锥的体积为πB.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π18.(2024·江苏常州)已知四棱台ABCDA1B1C1D1的两底面均为长方形,且上下底面中心的连线与底面垂直,若AB=9,AD=6,A1B1=3,棱台的体积为263,则该棱台的表面积是()A.60B.163+127C.83+67+60D.163+127+6019.(2024·广东佛山)如图,圆台O1O2的上底面圆的半径为2,下底面圆的半径为22,若圆台O1O2的外接球(上下底面圆在同一球面上)的表面积为40π且其球心O在线段O1O2上.则圆台O1O2的体积为.20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆,顶点S是正方形ABCD的中心,则圆锥SO的体积为,侧面积为.2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.(多选)(2024·四川内江)下列说法中正确的有()A.正四面体是正三棱锥B.棱锥的侧面是全等的三角形C.正三棱锥是正四面体D.延长棱台所有侧棱,它们会交于一点答案:AD解析:A选项,正四面体的四个面都是等边三角形,是正三棱锥,A选项正确.B选项,棱锥的侧面是三角形,不一定全等,B选项错误.C选项,正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等,所以正三棱锥不一定是正四面体,C选项错误.D选项,根据棱台的定义可知,延长棱台所有侧棱,它们会交于一点,D选项正确.2.已知圆锥的表面积为3π,其侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,所以2πr=πl,所以l=2r,所以πr2+πrl=3πr2=3π,解得r=1,所以该圆锥的底面直径为2r=2.3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为()A.6πB.43πC.46πD.63π答案:B解析:球半径r=1+(2)2=3,所以球的体积为43π×(3)4.(2024·四川泸州)已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形,那么△ABC的面积为()A.62B.C.32D.答案:A解析:由题意可知,直观图△A'B'C'的面积S△A'B'C'=12×1×1×32=所以△ABC的面积S△ABC=22S△A'B'C'=625.如图是一个实心金属几何体的直观图,它的中间部分是高l为6124的圆柱,上、下两端均是半径r为2的半球.A.3B.4C.5D.6答案:C解析:设实心球的半径为R,原实心金属几何体的体积V=43πr3+πr2l=43π×8+π×4×6124=1256π.因为43πR3=1256π,所以R=6.(2024·山东威海)如图,圆柱的底面半径为1,平面ABCD为圆柱的轴截面,从A点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点,若绳子的最短长度为3π,则该圆柱的侧面积为()A.42π2B.22π2C.52π2D.4π2答案:A解析:沿AD将圆柱的侧面展开,绳子的最短长度即侧面展开图中A,C两点间的距离,连接AC(图略),则AC=3π,展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h,则AC2=AB2+h2,即9π2=π2+h2,得h=22π,所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π=42π2.7.在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕ADA.4πB.(4+2)πC.6πD.(5+2)π答案:D解析:∵在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1=1的圆锥的组合体,∴几何体的表面积S=π×12+2π×1×2+π×1×12+12=(8.(多选)(2024·山东潍坊)已知等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1+2)πC.22πD.(2+2)π答案:AB解析:若以直角边所在直线为旋转轴,得到一个底面半径为1、高为1的圆锥,其表面积为π×12+π×1×2=(1+2)π;若以斜边所在直线为旋转轴,得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体,其表面积为2×π×22×19.(2024·上海)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,侧面积为8π,则该圆锥的体积等于.答案:83解析:设圆锥的底面半径为R,因为圆锥的轴截面是等边三角形,所以母线长为2R,高为3R,侧面积S=12·2πR·2R=8π,解得R=2所以该圆锥的体积等于V=13·π·22·23=810.(2024·上海)长、宽、高分别为5,4,3的长方体的外接球的表面积是.答案:50π解析:由题意可知,长方体的外接球的半径R=1252所以外接球的表面积是4πR2=50π.11.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为.答案:28解析:棱台的两底面边长分别为2与4,高为3(由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等),所以棱台的体积V=13×(22+42+22×412.(2024·福建福州)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,F是线段A1B1上的动点,则AF+FC1的最小值为.答案:6+2解析:将正三棱柱ABC-A1B1C1(如图1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上,如图2所示,在图2中,连接AC1,则AF+FC1≥AC1.因为AA1=A1C1=2,且∠AA1C1=90°+60°=150°,所以AC1=2AA1·sin∠AA1C1=4sin(30°+45°)=4×(sin30°×cos45°+cos30°×sin45°)=6+2,所以当A,F,C1共线时,AF+FC1取得最小值,为6+2.[B组能力提升练]13.(多选)(2023·黑龙江哈尔滨)下列说法中不正确的是()A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台C.任意两条直线都可以确定一个平面D.空间中三条直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面答案:BCD解析:对于A,因为正四棱柱的底面是正方形,而该正四棱柱的各侧面都是正方形,所以它是正方体,故A正确;对于B,用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和圆台,故B错误;对于C,两条异面直线无法确定一个平面,故C错误;对于D,当a,c是异面直线,b同时与a,c相交时,满足a与b共面,b与c共面,但此时a,c不共面,故D错误.14.(2024·浙江绍兴)已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为()A.6πB.8πC.16πD.20π答案:D解析:由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心(如图),OO'=1.由于底面为正六边形,所以△ABO'为等边三角形,故AO'=2,所以AO=AO'2+OO'所以AO为外接球的半径,故外接球表面积为4π·52=15.(多选)“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现,被刻在他的墓碑上,当圆柱容球时,圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球,体积为V球;圆柱的表面积为S圆柱,体积为V圆柱,则()A.S圆柱∶S球=3∶2B.V圆柱∶V球=3∶2C.S圆柱∶V圆柱=3∶2D.S球∶V球=3∶2答案:AB解析:设球的半径为R,则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,则S球=4πR2,V球=43πR3,S圆柱=2πR2+2πR·2R=6πR2,V圆柱=πR2·2R=2πR3所以S圆柱∶S球=6πR2∶4πR2=3∶2,故A正确;V圆柱∶V球=2πR3∶43πR3=3∶2,故BS圆柱∶V圆柱=6πR2∶2πR3=3∶R,故C错误;S球∶V球=4πR2∶43πR3=3∶R,故D错误16.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=2π3.若△PAB的面积等于A.πB.6πC.3πD.36π答案:B解析:设圆锥的母线长为l,底面半径长为r,则r=3.在△AOB中,由∠AOB=120°,OA=OB=3,得AB=3.S△PAB=12AB·l2-AB22=12×3×l2-94=934,所以l=3,则圆锥的高h=l2-r2=9-3=6,故V17.(多选)(2024·山东济南)已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为3,A,B为底面圆周上两个动点(A与B不重合),则下列说法正确的是()A.圆锥的体积为πB.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π答案:ABD解析:如图所示,点O为点P在圆锥底面上的射影,连接OA,OB.PO=22−(3)2=1,圆锥的体积V=13×π×(3)2×1=π,A正确;PA=PB=2,B正确;易知直线PA与圆锥底面所成的角为∠PAO=π6,D正确;取AB的中点C,连接PC,设∠PAC=θ,则θ∈π6,π2,S△PAB=2sinθ·2cosθ=2sin2θ,当θ18.(2024·江苏常州)已知四棱台ABCDA1B1C1D1的两底面均为长方形,且上下底面中心的连线与底面垂直,若AB=9,AD=6,A1B1=3,棱台的体积为263,则该棱台的表面积是()A.60B.163+127C.83+67+60D.163+127+60答案:D解析:设棱台的上底面A1B1C1D1的面积为S1,下底面ABCD的面积为S2,因为棱台的上下底面相似且AB=9,AD=6,A1B1=3,所以A1D1=2,
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