2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（多选）（2024·四川内江）下列说法中正确的有（）A.正四面体是正三棱锥B.棱锥的侧面是全等的三角形C.正三棱锥是正四面体D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点2.已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A.1B.2C.3D.43.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A.6πB.43πC.46πD.63π4.（2024·四川泸州）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（）A.62B.C.32D.5.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为6124的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球.A.3B.4C.5D.66.（2024·山东威海）如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（）A.42π2B.22π2C.52π2D.4π27.在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕ADA.4πB.（4＋2）πC.6πD.（5＋2）π8.（多选）（2024·山东潍坊）已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A.2πB.（1＋2）πC.22πD.（2＋2）π9.（2024·上海）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于.10.（2024·上海）长、宽、高分别为5，4，3的长方体的外接球的表面积是.11.（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.12.（2024·福建福州）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为.[B组能力提升练]13.（多选）（2023·黑龙江哈尔滨）下列说法中不正确的是（）A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台C.任意两条直线都可以确定一个平面D.空间中三条直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面14.（2024·浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A.6πB.8πC.16πD.20π15.（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球，体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱，体积为V圆柱，则（）A.S圆柱∶S球＝3∶2B.V圆柱∶V球＝3∶2C.S圆柱∶V圆柱＝3∶2D.S球∶V球＝3∶216.（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3.若△PAB的面积等于A.πB.6πC.3πD.36π17.（多选）（2024·山东济南）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点（A与B不重合），则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为πB.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π18.（2024·江苏常州）已知四棱台ABCDA1B1C1D1的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，棱台的体积为263，则该棱台的表面积是（）A.60B.163＋127C.83＋67＋60D.163＋127＋6019.（2024·广东佛山）如图，圆台O1O2的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为22，若圆台O1O2的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为40π且其球心O在线段O1O2上.则圆台O1O2的体积为.20.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为，侧面积为.2025年高考数学一轮复习-第七章-第一节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（多选）（2024·四川内江）下列说法中正确的有（）A.正四面体是正三棱锥B.棱锥的侧面是全等的三角形C.正三棱锥是正四面体D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点答案：AD解析：A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确.B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误.C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等，所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误.D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确.2.已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，所以2πr＝πl，所以l＝2r，所以πr2＋πrl＝3πr2＝3π，解得r＝1，所以该圆锥的底面直径为2r＝2.3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A.6πB.43πC.46πD.63π答案：B解析：球半径r＝1+（2）2＝3，所以球的体积为43π×（3）4.（2024·四川泸州）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（）A.62B.C.32D.答案：A解析：由题意可知，直观图△A'B'C'的面积S△A'B'C'＝12×1×1×32＝所以△ABC的面积S△ABC＝22S△A'B'C'＝625.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高l为6124的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球.A.3B.4C.5D.6答案：C解析：设实心球的半径为R，原实心金属几何体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×8＋π×4×6124＝1256π.因为43πR3＝1256π，所以R＝6.（2024·山东威海）如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（）A.42π2B.22π2C.52π2D.4π2答案：A解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC（图略），则AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2.7.在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕ADA.4πB.（4＋2）πC.6πD.（5＋2）π答案：D解析：∵在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝（8.（多选）（2024·山东潍坊）已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A.2πB.（1＋2）πC.22πD.（2＋2）π答案：AB解析：若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为1、高为1的圆锥，其表面积为π×12＋π×1×2＝（1＋2）π；若以斜边所在直线为旋转轴，得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体，其表面积为2×π×22×19.（2024·上海）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于.答案：83解析：设圆锥的底面半径为R，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以母线长为2R，高为3R，侧面积S＝12·2πR·2R＝8π，解得R＝2所以该圆锥的体积等于V＝13·π·22·23＝810.（2024·上海）长、宽、高分别为5，4，3的长方体的外接球的表面积是.答案：50π解析：由题意可知，长方体的外接球的半径R＝1252所以外接球的表面积是4πR2＝50π.11.（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.答案：28解析：棱台的两底面边长分别为2与4，高为3（由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等），所以棱台的体积V＝13×（22＋42＋22×412.（2024·福建福州）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为.答案：6＋2解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1（如图1）中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图2所示，在图2中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1.因为AA1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sin∠AA1C1＝4sin（30°＋45°）＝4×（sin30°×cos45°＋cos30°×sin45°）＝6＋2，所以当A，F，C1共线时，AF＋FC1取得最小值，为6＋2.[B组能力提升练]13.（多选）（2023·黑龙江哈尔滨）下列说法中不正确的是（）A.各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台C.任意两条直线都可以确定一个平面D.空间中三条直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面答案：BCD解析：对于A，因为正四棱柱的底面是正方形，而该正四棱柱的各侧面都是正方形，所以它是正方体，故A正确；对于B，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故B错误；对于C，两条异面直线无法确定一个平面，故C错误；对于D，当a，c是异面直线，b同时与a，c相交时，满足a与b共面，b与c共面，但此时a，c不共面，故D错误.14.（2024·浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A.6πB.8πC.16πD.20π答案：D解析：由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心（如图），OO'＝1.由于底面为正六边形，所以△ABO'为等边三角形，故AO'＝2，所以AO＝AO'2＋OO'所以AO为外接球的半径，故外接球表面积为4π·52＝15.（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球，体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱，体积为V圆柱，则（）A.S圆柱∶S球＝3∶2B.V圆柱∶V球＝3∶2C.S圆柱∶V圆柱＝3∶2D.S球∶V球＝3∶2答案：AB解析：设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，则S球＝4πR2，V球＝43πR3，S圆柱＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3所以S圆柱∶S球＝6πR2∶4πR2＝3∶2，故A正确；V圆柱∶V球＝2πR3∶43πR3＝3∶2，故BS圆柱∶V圆柱＝6πR2∶2πR3＝3∶R，故C错误；S球∶V球＝4πR2∶43πR3＝3∶R，故D错误16.（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3.若△PAB的面积等于A.πB.6πC.3πD.36π答案：B解析：设圆锥的母线长为l，底面半径长为r，则r＝3.在△AOB中，由∠AOB＝120°，OA＝OB＝3，得AB＝3.S△PAB＝12AB·l2－AB22＝12×3×l2－94＝934，所以l＝3，则圆锥的高h＝l2－r2＝9－3＝6，故V17.（多选）（2024·山东济南）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点（A与B不重合），则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为πB.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π答案：ABD解析：如图所示，点O为点P在圆锥底面上的射影，连接OA，OB.PO＝22−(3）2＝1，圆锥的体积V＝13×π×（3）2×1＝π，A正确；PA＝PB＝2，B正确；易知直线PA与圆锥底面所成的角为∠PAO＝π6，D正确；取AB的中点C，连接PC，设∠PAC＝θ，则θ∈π6，π2，S△PAB＝2sinθ·2cosθ＝2sin2θ，当θ18.（2024·江苏常州）已知四棱台ABCDA1B1C1D1的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，棱台的体积为263，则该棱台的表面积是（）A.60B.163＋127C.83＋67＋60D.163＋127＋60答案：D解析：设棱台的上底面A1B1C1D1的面积为S1，下底面ABCD的面积为S2，因为棱台的上下底面相似且AB＝9，AD＝6，A1B1＝3，所以A1D1＝2，